Системы координат и линейные преобразования

Системы координат и линейные преобразования [c.152]

При выборе новой координатной системы следует учесть, что 1) количество переменных (координат) при линейных преобразованиях остается неизменным 2) новые переменные и коэффициенты желательно получить вещественными 3) процесс электромеханического преобразования энергии определяется взаимодействием результирующих электромагнитных полей статора и ротора, оси которых не совпадают друг с другом 4) в силу допущений о линейности идеализированных моделей существует прямая пропорциональность между значениями магнитных полей, токов и напряжений 5) результирующий баланс мощности между обмотками статора и ротора должен быть неизменным в любой системе координат [1]. [c.83]

В этой книге излагается общая теория криволинейных координат и ее применения в механике, в учении о теплоте и теории упругости разъясняется преобразование уравнений теории упругости к криволинейной системе координат и в качестве примера исследуется деформация сферической оболочки. В заключительных главах Ламе подвергает критическому анализу принципы, на основе которых строится вывод основных уравнений теории упругости. Теперь он уже не одобряет вывод уравнений по способу Навье (с привлечением гипотезы молекулярных сил), а отдает предпочтение методу Коши (в котором используется лишь статика твердого тела). Затем он принимает гипотезу Коши, согласно которой компоненты напряжения должны быть линейными функциями компонент деформации. Для изотропных материалов принятие этой гипотезы приводит к сокращению кисла необходимых упругих постоянных до двух, находимых из испытаний на простое растяжение и простое кручение. Таким путем все не- [c.144]

Уравнения (3.21) могут быть переписаны в виде, пригодном для применения в произвольной системе координат, путем поворота системы координат и с помощью линейных формул преобразования. Мы воздерживаемся от детального разбора необходимых преобразований. Они получаются очень просто, если воспользоваться тензорным исчислением. Соответствующие формулы можно найти в работах [ ], [ ], [ ], [ ]. Таким образом окончательно получаем [c.66]

Это равенство дает линейное (с коэффициентами ") преобразование от компонент вектора п к компонентам вектора р > Оно было получено с использованием ортогональной декартовой системы координат, и, следовательно, р были определены в произвольных ортогональных декартовых системах координат. Равенство (2.10) является соотношением между векторами р и п и поэтому может быть написано в любой криволинейной системе координат. Отсюда следует, что не только в ортогональных декартовых осях, но и в произвольных криволинейных системах координат с помощью равенства (2.10) можно ввести величины которые следует рассматривать как контравариантные [c.144]

Согласно теории относительности пространственные координаты и время в двух равномерно движущихся друг относительно друга системах отсчета связаны линейным преобразованием, которое мы будем называть собственным преобразованием Лоренца. Если время и пространственные координаты в одной системе отсчета обозначить соответственно через Х0,Х1,Х2,ХЗ, а в другой через Уо,У1,У2,Уз, то мы можем написать [c.241]

Для решения задачи синтеза наивыгоднейшего формообразования поверхности детали используются различные системы координат и соответствующие линейные преобразования. Применение находят системы координат следующих видов прямоугольные и косоугольные декартовы, однородные, цилиндрические, сферические и другие криволинейные системы координат. Линейные преобразования в основном связаны с преобразованием аналитического описания геометрических образов детали и инструмента, заданных в различных системах координат. [c.150]

Формулы преобразования скаляров, векторов и тензоров линейны относительно их компонент в новой и старой системах координат. Количество компонент скаляра равно единице, или 3 , количество компонент вектора равно трем,т. е. 3 количество компонент мультипликативного тензора (1.37) или (1.38) равно девяти, или 3 . Следовательно, количество N компонент скаляров, векторов и простейших тензоров в трехмерном пространстве определяется общей формулой [c.45]

Линейные преобразования, выполняемые для приведения к каноническому виду кинетической и потенциальной энергий, не отражаются на главных частотах. Это утверждение, с одной стороны, основывается на общей теории квадратичных форм, а с другой — вытекает из теории линейных дифференциальных уравнений. Действительно, непосредственно видно, что, построив общее решение системы дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода в координатах 0у, можно найти общее решение уравнений движения в исходных координатах ри применяя формулы линейного преобразования координат. При этом решения характеристического уравнения — главные частоты — не изменяются ). [c.252]

Применяя формулы линейного преобразования (b) предыдущего параграфа и формулы (II. 196), можно найти общее решение системы дифференциальных уравнений малых колебаний в координатах Х . То, что этим способом будет найдено общее решение в координатах ж,-, вытекает из линейности как дифференциальных уравнений движения, так и формул преобразования. [c.253]

Частотные методы исследования устойчивости линей-лых и нелинейных систем весьма удобны для инженерных расчетов, поскольку частотная характеристика инвариантна относительно линейного неособенного преобразования координат и легко определяется как по уравнениям системы, так и экспериментально. Кроме того, частотные методы позволяют расширить класс рассматриваемых систем. [c.286]

Приведенные уравнения однозначно определяют (без учета физических особенностей) поведение любой ЭМ и могут рассматриваться поэтому как ее обобщенная математическая модель. Конкретная форма записи этих уравнений и их анализ значительно упрощаются при использовании различных линейных (вещественных или комплексных) преобразований координат [18]. Суть их заключается в том, что реальные обмотки ЭМ или часть их заменяются преобразованными контурами так, что они, вращаясь вместе с выбранной системой координат ЭМ, являются неподвижными относительно друг друга. Это позволяет получить в итоге сравнительно простые уравнения с постоянными коэффициентами. [c.102]

В третьей главе было сказано, что шесть компонентов тензора деформаций ehr не являются произвольными функциями координат точки тела, а должны удовлетворять шести условиям совместности деформаций Сен-Венана. Учитывая это обстоятельство, подставим формулы (5,27) в условия совместности деформаций Сен-Венана тогда после ряда преобразований найдем шесть соотношений, связывающих между собою компоненты тензора напряжений. Следовательно, в итоге будем иметь три дифференциальных уравнения (5.26) и шесть соотношений между компонентами тензора напряжений, к выводу которых и приступим. Будем считать, что тело однородное, т. е. Я и не зависят от координат. Тогда полученная система уравнений будет применима только для изотропных, однородных и линейно-упругих тел. [c.81]

Устанавливается, что произвольную поверхность прочности можно описать полиномами от напряжений или деформаций, удовлетворяя при этом определенным основным требованиям математического характера. Построенные ранее критерии разрушения анизотропных сред переписываются как тензорно-полиномиальные. При этом обнаруживается сходство различных критериев и неизвестные ранее полезные для приложений свойства преобразований, включая замену одной системы координат другой и непосредственный переход от формулировок в напряжениях к формулировкам в деформациях и обратно. Показывается также (и это идет вразрез с установившимся мнением), что различные интуитивно простые критерии (такие, как критерий максимальной деформации или критерий максимального напряжения) сложны в математическом плане. Кусочно линейный характер этих критериев приводит к дополнительным ограничениям, обеспечивающим взаимно однозначное соответствие между формулировками в напряжениях и деформациях, но иногда препятствующим применению этих критериев на практике. Устанавливается, что формулировки, использующие инвариантные в изотропном случае характеристики, ограничены частным случаем ортотропии и поэтому представляют собой вырожденные случаи тензорно-полиномиального критерия общего вида. [c.484]

Мы получили замечательный результат в новой системе отсчета диагональную форму принимает не только квадрат расстояния s , но и потенциальная энергия V. Одним линейным преобразованием координат можно одновременно привести к диагональному виду две квадратичные формы, из которых одна положительно определенная (в остальном эти формы произвольны). [c.185]

Это и будут уравнения Маджи [ ]. Они вместе с уравнениями (77) с аналитической точки зрения дают в дифференциальной форме полную постановку задачи о движении для системы 5 с двусторонними идеальными (в том числе и неголономными) связями. Действительно, если представим себе, что в уравнения (82) вместо величин q подставлены их выражения (77) через е и и выполнено дифференцирование по t, то будет очевидно, что после выполнения всех преобразований в уравнениях останутся, помимо q, е, t, только v производных ё от е, которые войдут в них линейно. Замечания, совершенно аналогичные тем, которые были сделаны в п. 36, приводят к выводу, что полученные таким образом из системы (82) v уравнений разрешимы относительно этих v производных е, так что мы заключаем, что уравнения (77) и (82) вместе составляют дифференциальную систему уравнений первого порядка, приводимую к нормальному виду относительно я-f-v неизвестных функций времени q VI е. Если конфигурация и состояние движения материальной системы в начальный момент заданы, т. е. заказаны произвольные численные начальные значения q (позиционных координат)и е (кинетических характеристик), то движение неголономной системы будет однозначно определено. [c.326]

В настоящей главе наряду с общим решением системы дифференциальных уравнений движения машинного агрегата ставится также задача отыскания частного (при фиксированных начальных данных) и периодического решений. Поэтому в исходной системе уравнений (16.7) необходимо перейти к таким переменным, для которых отыскание периодического решения имело бы смысл. В качестве системы обобщенных координат, удовлетворяющей указанному выше требованию, можно принять угловые скорости масс или относительные углы закручивания смежных масс. Останавливаясь на последней, отметим, что к этой системе координат можно перейти путем линейного преобразования вектор-функции ф (О при помощи матрицы Q по формуле [c.107]

Задачи формообразования рабочих поверхностей могут быть решены лишь в случае, когда как деталь, так и инструмент представлены в некоторой общей системе координат. Это требует использования эффективных методов перехода от одной системы координат к другой - методов преобразования координат. Вопросы преобразования координат систематизированно изложены в третьей главе Системы координат и линейные преобразования . Образование замкнутых циклов прямых и обратных последовательных преобразований координат создает предпосылки для широкого применения метода подвижного репера - дифференциально-гео-метрического метода локального исследования процесса формообразования поверхностей при механической обработке деталей. [c.15]

Переменные Ро, р с, р и Рл,/2 являются параметрами движения, т. е. функциями времени, как и переменные р( ). Они характеризуют движение всего несущего винта в невращаю-щейся системе координат, тогда как переменная р( "> описывает движение отдельной лопасти во вращающейся системе кбординат. Таким образом, имеем линейное обратимое преобразование N параметров движения р " ) т , N) во вращающейся системе координат в N параметров движения Ро, р с, Pns, Рл//2 в невращающейся системе координат. Сравним это преобразование координат с представлением установившегося решения в виде ряда Фурье. В последнем случае, когда р ") является периодической функцией движения всех лопастей одинаковы. Отсюда следует, что движение во вращающейся системе координат может быть представлено рядом Фурье с постоянными коэффициентами и бесконечным количеством членов, так что имеется аналогия между фурье-преобразованием координат и рядом Фурье. [c.328]

ДИРАКА УРАВНЕНИЕ, релятивистское дифф. ур-ние для волн, ф-ции свободной (невзаимодействующей) ч-цы со спином Vg (эл-н, мюон, кварки и др.), описывающее изменение её состояния со временем. Получено англ. физиком П. Дираком (Р. Dira ) в 1928 на основе требований релятивистской инвариантности, линейности (выражающей справедливость суперпозиции принципа), первого порядка по времени (чтобы состояние в данный момент определяло состояния во все последующие моменты времени). Для ч-цы со спином 2 этим требованиям удовлетворяет только система четырёх ур-ний, т. е. волн, ф-ция г(з должна состоять из четырёх компонент Фа, 3з, При поворотах системы координат и преобразованиях Лоренца они преобразуются как пара [c.163]

При кинематическом исследовании пространственных механизмов с низшими парами используют те же зависимости и соотношения между векторами перемещений, скоростей и ускорений, что и для плоских механизмов, только необходимые преобразования проводятся в пространственной системе координат. Основная задача анализа пространственных механизмов — это определение перемеи ений точек звеньев, получение функций положения и уравнений траекторий движения. Эти задачи решаются как обицим векторным методом, применимым для всех механизмов, так и аналитическим, применяющимся для малозвенных механизмов с простыми соотношениями линейных и угловых координат. При анализе пространственных [c.213]

Тензором п-го ранга будем называть физический или геометрический объект, который в трехмерном пространстве аналитически определяется системой 3" чисел — компонент, тензора. При преобразовании системы координат новые компоненты тензора определяются через старые фор.иулами преобразования, линейными и однородными относительно компонент тензора в старой и новой системах. Формулы преобразования устанавливают взаимно однозначное соответствие между этими компонентами. [c.45]

При изложении основ тензорной алгебры ( 33) было выяснено, что определение тензора как совокупности коэффициентов в выражении линейной связи между двумя физическими векторами не является единственным. Возможно и другое определение тензора как совокупности величин, преобразующихся при переходе от одной прямоугольной системы координат к другой по формулам преобразования произведений проекций двух векторов. Переходя от буквенной индексации к цифровой [х = хи у = а 2, 2 = хз, причем в следующих формулах предполагается суммирование по дважды повторяющимся в одночленах немым ( 33) индексам г и s, а знак принят в соответствии с матрицей (5), где плюс относится к случаю р = q, а минус— к случаю рф q] будем иметь [c.283]

Действие кинематической пары можно выразить функциональным соотношением, описывающим относительное движение элементов звеньев, образующих пару. Это соотношение должно представлять линейное преобразование между системой координат Хуг/у у, связанной с одним из элементов пары А у, и системой координат ПуПуЩу, связанной с другим элементом пары (рис. 1.20). Используемый при этом метод матриц позволяет упростить действия при [c.39]

Таким образом, матрица А диагонализирует и Т и V. Возвращаясь теперь к интерпретации Т как метрического тензора пространства конфигураций, мы можем дать следующее истолкование процессу диагонализации 1) Матрица А есть матрица линейного преобразования, осуществляющего переход от косоугольной системы координат к прямоугольной. (Это видно из того факта, что матрица преобразованного метрического тензора равна 1.) 2) Оси новой системы координат являются главными осями V, т. е. матрица V является в них диагональной. Следовательно, процесс получения основных частот малых колебаний сводится к некоторому преобразованию главных осей, подобному тому, которое рассматривалось в главе 5. [c.356]

Тот факт, что штрихованная система ж, у z t столь же пригодна в качестве системы отсчета классической механики, как и нештрихованная система ж, у, z, называется принципом относительности классической механики. В дальнейшем преобразование (2.5) мы будем называть преобразованием Галилея. Оно линейно относительно четырех координат, ортогонально относительно первых трех координат и оставляет координату времени инвариантной (t = t). Последнее означает, что принцип относительности классической механики оставляет незатронутым абсолютный характер времени, постулированный Ньютоном. [c.22]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...