Работа и энергия при деформациях

Работа и энергия при деформациях [c.83]

Если действующие в плоскости пластины нагрузки мертвые , не изменяющие значений и направлений при деформациях пластины, то на бифуркационных перемещениях w они работы не совершают и приращение полной потенциальной энергии для изотропной пластины [c.209]

Энергия деформации системы состоит из энергии при изгибе полосы в плоскости наименьшей жесткости [/, и энергии при кручении [/г. Внешние нагрузки совершают работу Ах (от поперечной нагрузки) и Аг (от продольной нагрузки). Новой форме равновесия полосы соответствует равенство работ внешних нагрузок — энергиям деформации системы, т. е. [c.270]

Из формул (18.3), (18.4), (18,Ь), (18.8) и (18.9) следует, что перемещения а, и, и соответствующие им деформации и напряжения можно трактовать как решение задачи линейной теории упругости для рассматриваемого тела при условии отсутствия объемных и поверхностных сил. Но коль скоро внешних сил нет, то их работа на перемещениях а, V, О) равна нулю, а следовательно, на основании формулы Клапейрона (13.4), равна нулю и энергия, соответствующая деформациям т. е. [c.217]

Начало движения имеющейся трещины. При растяжении бесконечной пластины с трещиной длиной I трещина начинает распространяться после того, как напряжение а достигло определенного (критического) уровня, при котором соблюдается равенство приращений работы, поглощаемой на разрушение металла, и энергии упругих деформаций пластины, освобождающейся при подрастании трещины. Впервые указанное энергетическое условие для идеализированной схемы разрушения рассмотрел Гриффитс. Тело предполагается идеально хрупким, т. е. энергия расходуется только на образование новой поверхности (поверхностного натяжения). Если в сплошной [c.121]

Кинетика диффузионного превращения. Диффузионное превращение происходит по механизму образование зародыша и рост новой фазы . Этот тип превращения подчиняется тем же общим закономерностям, что и процессы кристаллизации жидкости (см. гл. 12). Существуют некоторые особенности, связанные с твердым состоянием исходной и образующейся фаз и относительно низкой температурой превращений. Образование зародышей критических размеров сопровождается увеличением свободной энергии системы, равным /з поверхностной энергии зародышей (остальные две трети компенсируются уменьшением объемной свободной энергии). Возникновение зародышей обеспечивается в результате флуктуационного повышения энергии в отдельных группах атомов. При превращении в сплавах образуются фазы, отличающиеся по составу от исходной, поэтому для образования зародыша необходимо также наличие флуктуации концентрации. Последнее затрудняет образование зародышей новой фазы, особенно если ее состав сильно отличается от исходной. Другой фактор, затрудняющий образование зародыша новой фазы, связан с упругой деформацией фаз, которая обусловлена различием удельных объемов исходной и образующейся фаз. Энергия упругой деформации увеличивает свободную энергию и, подобно поверхностной энергии, вносит положительный вклад в баланс энергии. Критический размер зародышей и работа их образования уменьшаются с увеличением степени переохлаждения (или перегрева) по отношению к равновесной температуре Гр, а также при уменьшении поверхностной энергии зародыша. [c.493]

Для определения потенциальной энергии системы следует вычислить работу, которую совершают разности сил упругости пружин и сил тяжести грузов при перемещении системы из рассматриваемого положения в положение равновесия. 2(ги разности сил изменяются в зависимости от смещений грузов из статических положений равновесия по линейному закону аналогично тому, как изменяется сила упругости пружины при деформации пружины из недеформированного состояния. [c.446]

Погрешности положения звеньев из-за их деформаций нарушают точность движения, что особенно важно для механизмов приборов. Перераспределение нагрузок между звеньями н в элементах кинематических пар особенно важно учитывать при проектировании высокоскоростных машин. Динамические нагрузки, обусловленные упругостью звеньев, достигают величин, соизмеримых с нагрузками от действия сил технологического сопротивления. Необходимость их учета приводит к росту материалоемкости конструкции. В некоторых случаях упругость звеньев такова, что при их деформировании потенциальная энергия упругой деформации становится соизмеримой с кинетической энергией звеньев механизма, с работой сил технологического сопротивления и движущих сил. В этих случаях пренебрежение упругостью звеньев при описании динамических процессов приводит к неправильным представлениям о движениях звеньев и их взаимодействии и, как следствие, к выбору неработоспособной конструкции механизма. [c.293]

При деформации тела внешние силы производят работу А. Если внешние силы статически снять, то эта работа, затраченная на деформацию тела, будет возвращена на восстановление его размеров и формы. Следовательно, работу А, затраченную на деформацию тела, можно рассматривать как накопленную телом энергию, называемую потенциальной энергией деформации W=A. Энергия деформации, отнесенная к объему тела, носит название удельной. Обозначим ее буквой Wq. Энергию деформации всего тела найдем путем интегрирования по занимаемому им объему [c.114]

Если захваты в результате роста трещины смещаются при постоянных внешних силах, то правая часть равенства (3.1) есть разность между работой внешних сил и энергией деформации. Эта разность положительная и равна G 1249]. Баланс энергии по-прежнему сохраняет вид (3.1). [c.23]

Потерянная при абсолютно неупругом ударе кинетическая энергия, идущая на деформацию поковки, представляет собой полезную работу и определяется по формуле (9), в которой полагаем, что Огд, = 0 и 01.с= 01. т. е. [c.833]

При деформации тел внешняя сила, вызывающая деформацию, совершает работу. С другой стороны, деформированное тело при исчезновении деформации само совершает работу. Если бы деформируемое тело было абсолютно упруго, то оно могло бы совершить такую же работу, которая была затрачена на деформацию тела. В абсолютно упругих телах вся работа, затраченная на деформацию тела, идет на увеличение потенциальной энергии упругой деформации. В реальных телах это не имеет места возникающие в них силы всегда зависят не только от величин деформаций, но и от скорости изменения дефор- [c.476]

Направление этого потока в рассматриваемом случае совпадает с направлением скорости тела Если бы стержень тянул тело, то по-прежнему работа, совершаемая силой, приложенной к левому концу стержня, превращалась бы в энергию упругой деформации, которая у правого конца стержня превращалась бы в тепло, т. е, скорость движения частиц стержня была бы направлена в обратную сторону (на рис. 274 — влево), а энергия по-прежнему текла бы от левого конца стержня к его правому концу (на рис. 274 — вправо). Но при этом стержень был бы растянут, т. е. изменился бы и знак деформации. [c.494]

Работа внешней силы идет на создание и поддержание энергии упругих колебаний стержня, т. е. потенциальной энергии упругой деформации и кинетической энергии движения элементов стержня, Так как колебания происходят во всем стержне, то энергия, возникающая на одном конце стержня за счет работы внешней силы, должна распространяться по стержню, чтобы поддерживать во всем стержне колебания, которые сопровождаются потерями энергии. Только предполагая, что при распространении и отражении волны потерь энергии не происходит, мы пришли к выводу, что падающая и отраженная волны имеют одинаковую амплитуду и несут с собой одинаковую энергию в противоположных направлениях в результате наложения этих двух волн энергия не должна течь по стержню, во всяком случае после того, как стоячая волна в стержне уже установилась (при установлении стоячей волны картина течения энергии получается более сложной, и мы не будем ее рассматривать). [c.690]

Вычислим энергию упругой деформации при чистом изгибе. Как и раньше допустим, что при статическом нагружении работа внешних сил полностью преобразуется в потенциальную энергию деформации. Энергия, накопленная в элементе бруса, равна работе изгибающего момента Мх на взаимном угловом перемещении do двух сечений [c.255]

При поперечном изгибе в сечениях, кроме изгибающих моментов, возникают поперечные силы, совершающие работу, но для достаточно длинных балок их влиянием на величину потенциальной энергии деформации можно пренебречь и энергию деформации вы- [c.266]

На рис. 12.10,а показано продвижение трещины от точки О к точке Oi на величину df, временно обозначенную через А. Этот переход вызывает снятие-напряжений Оу на участке Д, что приводит к уменьшению энергии деформации пластины. Если эти напряжения вновь приложить к берегам трещины длиной 2 (Z + Д), то, очевидно, она закроется и пластина вернется к исходному состоянию с длиной трещины 21. Отсюда ясно, что энергию AU можно подсчитать как численно равную ей работу напряжений Оу в процессе закрытия трещины на длине Д (рис. 12.10,6). При этом знаки работы и диффе- [c.378]

При расчете бруса, жестко защемленного обоими концами, полезно проверить решение, убедившись в равенстве работы скручивающих моментов и энергии деформации. [c.108]

При нагружении в стержне будет накапливаться потенциальная энергия деформации и, численно равная работе силы на перемещение А5. Эта работа определится площадью треугольника ОАВ. Следовательно, потенциальная энергия при сдвиге может быть определена как [c.106]

Потенциальная энергия деформации пластинки без трещины естественно больше потенциальной энергии пластинки с трещиной, поскольку вокруг трещины существует зона уменьшенных напряжений (так как на свободных поверхностях трещины напряжения равны нулю). Пусть точки приложения внешних сил не смещаются с ростом трещины и, следовательно, работа внешних сил при этом равна нулю. [c.32]

Отсюда следует, в частности, что при отсутствии деформации сдвига напряжения не возпшоют. Плотность энергии деформации W k) определяется через напряжения по формуле, связывающей работу и энергию, Sdk — dW, т. е. 5 = W (k), или [c.308]

Рассмотрим порядок величины т] в материале М. При заданной диаграмме Р это не представляет больших трудностей. Возьмем для простоты модель с тремя стержнями. Удельная диссипация энергии равна заштрихованной площади на диаграмме, изображенной на рис. 7.8, а. Вначале энергия диссипируется в первом стержне при упругой работе двух других, затем в первом и втором и, наконец, во всех трех. Можно показать, что скрытая энергия при выходе на предельные напряжения равна сумме площадей треугольников, обозначенных на рисунке цифрами 1 ж 2. При дальнейшем увеличении деформации она не изменяется. Экстраполируя этот результат на неограниченное число стержней, получим, что для материала М величина скрытой энергии при деформации e определяется соответствующей площадью, заштрихованной на рис. 7.8, б. [c.176]

В сплавах на разной основе и с разными легирующими элементами при одной основе различна диффузионная подвижность атомов [величина Q в формуле (24)]. Работа образования критического зародыша зависит от поверхностной энергии на границе матрицы и выделения и энергии упругой деформации, возникающей из-за различия в удельных объемах фаз. Поэтому скорость зарождения выделяющейся фазы [см. формулу (24) ] в разных системах различна. Так, сплавы на базе системы А1— Си—(дур-алюмины) выделяются среди алюминиевых В есьма низкой устойчивостью переохлажденного твердого раствора, а сплавы на базе системы А1—2п—Mg (типа 1915 и 1925)—очень высокой (рис. 115). Разница в устойчивости переохлажденного раствора в сплавах на базе этих двух систем предопределяет резкое различие в технологии их термообработки если сплавы типа дуралюмин необходимо закаливать в воде, то сплавы на основе системы А1 — 2п—M.g можно закаливать с охлаждением на спокойном воздухе. Прессованные полуфабрикаты из сплавов 1915 и 1925 вообще не подвергают специальной операции закалки —они самозакаливаются при охлаждении профилей и труб на воздухе с температуры ярессования. [c.203]

Очевидно, ориентированная кристаллизация будет возникать, если Р >Р2 Так как величина предэкспоненциального множителя (С1 или Сг) в меньшей степени определяет общую величину, чем величина показателя, и так как, кроме того, можно полагать, что константа С приблизительно равна Сг, то очевидно, что для образования преимущественно ориентированного кристалла необходимо, чтобы /7-ь <АФ, т. е. чтобы сумма работы образования ориентированного кристалла и энергии упругой деформации решетки была меньше, чем энергия образования не- ориентированного кристалла. Очевидно, что при (/- - = АФ ориентированная или неориентированная кристаллизации становятся равновероятными. На основании известного значения модуля упругости для кристаллической решетки мо-жно рассчитать величину энергии упругой деформации решетки Е для различных степеней искажения параметра кристаллической решетки окисла. Если сделать вероятное предположение о том, что с увеличением степени искажения кристаллической решетки в формуле (38) меняется только величина Е, то можно рассчитать, при какой степени несоответствия параметров еще будет энергетически болеб [c.83]

Природа сил Xj различная, могут быть силы электрического или магнитного поля, механические и другие силы. Соответственно под координатами понимается не только положение системы в пространстве, но и состояние ее деформации, электризации, намагниченности и др. Речь идет, таким образом, об обобщенных силах X,- и обобщенных внешних координатах системы Vj. Обобш,ение состоит, в частности, в том, что в отличие от истинных механических сил и координат обобщенные силы и координаты могут иметь иную размерность при условии, что их произведение имеет размерность энергии. Например, сила, деленная на площадь, равняется давлению (Р), а изменение расстояния в направлении действия этой силы, умноженное на площадь граничной поверхности, — это изменение объема системы (dl ). Поэтому элементарная механическая работа против сил изотропного внешнего давления записывается в термодинамике как работа расширения системы [c.43]

В начале удара, когда происходит соприкосновение шара с плоскостью, начинается деформация шара и плоскости. При этом внутренние силы совершают отрицательную работу, вследствие чего кинетическая энергия шара уменьшается н в некоторый мо мент скорость его становится равной нулю. Вслед за этим моментом благодаря упругим свойствам ша ра и плоскости начинается восстановление их формы, которое сопровождается положительной работой внутренних сил. Если в конце удара шар и плоскость полностью восстановят свою форму или, как говорят, шар и плоскость абсолютно упруги, то величина положительной работы внутренных сил будет равной величине отрицательной работы этих сил. В результате полная работа внутренних сил за время удара равна нулю. В этом случае кинетическая энергия шара после удара будет такой же, как его кинетическая энергия до удара. [c.131]

И.А. Одинг рассмотрел процесс разрушения металлов с точки зрения взаимодействия дислокаций и предложил считать предельную величину энергии упругой деформации равной скрытой теплоте плавления [179J. В этой работе энергия упругой деформации рассчитывалась не по величине, напряжений от внешних сил, а по значениям локальных напряжений, возникающих при взаимодействии силовых полей дислокаций. Роль внешних напряжений при этом сводилась к зарождению дислокаций и их перемешению. [c.328]

Ведущий шкив совершает положительную работу, которая идет на создание эь ергии упругой деформации ремня. Эта энергия течет по ремню к ведомому шкиву, и там за счет нее снова совершается механическая работа по враш,ению ведомого шкиза. При стационарном режиме (постоянных оборотах и постоянной нагрузке) у ведущего шкива в ремень втекает столько же энергии, сколько ее вытекает у ведомого шкива, и поэтому энергия упругой деформации ремня все время остается постояшюй. В стационарных случаях мы не можем непосредственно обнаружить движения энергии по ремню. Установить, что энергия движется, можно только на том основании, что количество энергии в данном объеме изменяется и, значит, энергия втекает или вытекает из этого объема. [c.160]

Звуковая волна несет с собой потенциальную энергию — энергию упругой деформации газа и кинетическую энергию движущихся частиц газа. Подсчитаем гготенциальную энергию, заключенную в элементе объема, ограниченном двумя стенками площади S, находящимися на расстоянии ). Если относительное сжатие в слое есть т], то по (20.9) сила, действующая на стенку площади S, есть SAp -= = SxT]. При изменении относительного сжатия на dr стенка перемещается на Ax-dr, и при этом совершается работа [c.723]

При абсолютно неупругом ударе деформация соударяющихся тел сохраняется и после удара, и поэтому она называется остаточной деформацией. Уменьшение кинетической энергии равно работе, затрачиваемой на эту деформацию тел т. е. Лдеф = А7 . Если до удара одно из тел неподвижно, например v = 0, то [c.60]

Магнитострнкционные материалы. Основными характеристиками магнитострикционных материалов (см. табл. 27.32), применяющихся для изготовления магнитострикционных преобразователен, являются коэффициент магнитомеханической связи К, квадрат которого равен отношению преобразованной энергии (механической или магнитной) к подводимой (соответственно магнитной или механической), динамическая маг-гщтострикционная постоянная a=(da/dS)s и маг-ьитострикционная постоянная чувствительности Л= ((ЗВ/а)где а — механическое напряжение, Я/м , В — магнитная индукция, Тл, а индексы и Я означают неизменность деформации и магнитного поля. Величина а существенна для работы излучателей, а Л — для работы приемников. Плотность р и модуль Юнга Е определяют резонансную частоту преобразователей от механической прочности, магнитострикции насыщения X и индукции насыщения Вь зависит предельная интенсивность магнитострикционных излучателей механическая добротность Q, удельное электрическое сопротивление р.-,л и коэрцитивная сила Не определяют потери энергии на вихревые токи и гистерезис при работе преобразователя. Значения К, а, Л существенно зависят от напряженности подмагничивающего поля, значение которого Яопт, отвечающее максимуму К, обычно называют оптимальным. [c.615]

Заметим, что в уравнении (9.471) первое слагаемое представляет собой вариацию потенциальной энергии деформации, а второе — ва-жацию работы внешних сил при варьировании узловых перемещений. 1оскольку при этом внешние силы и напряжения не варьируются, уравнение (9.471) можно записать так [c.335]

Гриффитс предполагал, что величина бГ есть поверхностная энергия твердого тела, имеющая ту же физическую природу, что и для жидкости. Однако впоследствии выяснилось, что затраты энергии при создании новых поверхностей при развитии трещины связаны главным образом с работой пластической деформации объемов материала, расположенных перед фронтом трещины. Если линейные размеры этих объемов малы сравнительно с длиной трещины, то поток упругой энергии по-прежнему можно вычислить, сообразуясь только с упругим решением, а затрату энергии на разрушение относить теперь к работе пластической деформации. В этом состоит концепция квазихрупкого разрушения, изложенная в [231]. Эта концепция позволила перейти от идеального материала в схеме Гриффитса к реальным материалам. Эффективность этой концепции состоит в том, что разрушение реальных конструкций практически всегда происходит по квазихрупкому механизму — макрохрупкий излом содержит значительные остаточные деформации вблизи поверхности разрушения. Таким образом, оказалось возможным распространить теорию разрушения Гриффитса на решение инженерных проблем. Энергия Г обеспечивает существование твердого тела как единого целого, а при образовании новых поверхностей (из начального разреза) принято считать, что энергия Г имеет поверхностную природу и поэтому может быть выражена соотношением [c.328]

При использовании формул Гриффитса (156) и (158) для металлов необходимо учитывать энергию пластической деформации при распространении трещины. Без такого учета расчет по формулам (156) и (158) дает либо нереально заниженные значения разрушающего напряжения для /= onst, либо при a= onst столь значительные размеры трещин, что их расчетное значение превышает размеры опытных образцов. Поэтому Орованом предложено в формулу Гриффитса ввести вместо удельной поверхностной энергии величину e=e +ep, где е — общая энергия, необходимая для увеличения единичной площади трещины, включающая поверхностную энергию и работу пластической деформации е , затрачиваемую вследствие концентрации напряжений у движущегося конца трещины. Итак, для кристаллических материалов 2Ее о,5 [c.424]

Пусть в конце трубы, по которой движется жидкость со скоростью то, произведено мгновенное закрытие крана (рис. 5.9,а). Тогда скорость частиц жидкости, натолкнувшихся на кран, будет погашена, а их кинетическая энергия перейдет в работу деформации стенок трубы и жидкости. При этом стенки трубы растягиваются, а жидкость сжимается в соответствии с повышением давления Аруд. На заторможенные частицы у крана набегают другие, соседние с ними частицы и тоже теряют скорость, в результате чего сечение п-п передвигается вправо со скоростью а, называемой скоростью ударной волны. Сама же переходная область, в которой давление изменяется на Аруд, называется ударной волной. [c.108]

Гриффитс предполагал, что величина бГ есть поверхностная энергия твердого тела, имеющая ту же физическую природу, что и для жидкости. Однако впоследствии выяснилось, что затраты энергии при создании новых поверхностей при развитии трещины связаны главным образом с работой пластической деформации объемов материала, расположенных перед фронтом трещины. Если линейные размеры этих объемов малы сравнительно с длиной трещины, то поток упругой энергии по-прежнему можно вычислить, сообразуясь только с упругим решением, а затрату энергии на разрушение относить теперь к работе пластической деформации. В этом состоит концепция квазихрункого разруше- [c.28]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...