ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Суперпозиция нормальных колебаний из "Колебания и волны Введение в акустику, радиофизику и оптику Изд.2 " Как уже указывалось (гл. V, 8) суперпозиция волн, удовлетворяющих волновому уравнению, также удовлетворяет ему. Это следует из линейности волнового уравнения. [c.219] В случае стержня, закрепленного на одном конце и свободного на другом Отсюда следует, что суперпозиция функций, удовлетворяющих рассматриваемым здесь граничным условиям, также удовлетворяет им например, если Д(0, i) = 0 и /2(0, i) = 0, то Д (0, )-f/2 (О, i) = 0. [c.219] Из линейности волнового уравнения и граничных условий следует, таким образом, что суперпозиция произвольного числа нормальных колебаний упругого тела удовлетворяет волновому уравнению и условиям на границах и является одним из возможных его движений. [c.219] Более глубокая математическая теория ) приводит к результатам, имеющим для физики фундаментальное значение. Мы их изложим (не стремясь к строгости формулировок) на примере струны с закрепленными концами. [c.219] Содержание формул (6.81), (6.82) таково любые функции Г(х), 0 х), описывающие возможное распределение смещений и скоростей струны длины Ь с закрепленными концами, могут быть представлены в виде суперпозиции пространственных синусоид с волновыми числами, являющимися целыми кратными т /Ь. Это — частный случай теоремы Фурье ). [c.220] Легко показать, что если имеют место равенства (6.81), (6.82), амплитуды и фазы ср однозначно определяются видом функций Г (х), С х) и легко могут быть вычислены, если даны эти функции. [c.220] Аналогичным образом можно вычислить и, далее, с помощью формулы (6.83) найти А , срда( г = 1, 2, 3,. ..). [c.220] Интеграл легко вычислить, применяя интегрирование по частям, что дает вырл-жение, приведенное в тексте. [c.221] Если мы оттянем струну в точке х = Ь/Ъ (рис. 215, 6) и отпустим бе начальной скорости, то придем путем аналогичного вычисления к выводу, что отсутствуют все обертоны, для которых точка х = Ь/д является узлом 7), т. е. обертоны частоты ЗАгш п — целое). [c.222] НО вид осциллограммы колебания отдельной точки струны, а также создаваемого струной звукового давления Ар различен. [c.222] Как показывает опыт, ухо воспринимает звуки, создаваемые струной в обоих случаях, как звуки одинаковой высоты, но различного тембра. Вообще (при любых начальных условиях) наше ощущение тембра звука, создаваемого струной, определяется соотношением амплитуд А , А , А ,. .. ) фазы ср , срз Тз не влияют на звуковое ощущение. [c.222] Проведенное только что рассмотрение объясняет, почему тембр звука, издаваемого щипковыми струнными музыкальными инструментами (например, мандолиной), зависит от места, где оттягивают струну. [c.222] При возбуждении струны ударом соотношение амплитуд Ау, А , А ,. . . зависит от места удара и от характера удара (от вида зависимости силы, действующей на струну при ударе, от времени). Отличие в тембре звуков, создаваемых различными ударными струнными музыкальными инструментами, например фортепиано и балалайкой, объясняется главным образом этим обстоятельством ). При игре на фортепиано струны возбуждаются ударами мягких молотков. Раскрыв фортепиано и резко ударив пальцами по одной из струн, мы услышим звук чуждого фортепиано тембра. [c.222] В смычковых инструментах (скрипка, виолончель) струны совершают автоколебания (ср. рис. 111). Смещения точек струны (их осциллограммы имеют пилообразную форму) могут быть и здесь представлены в виде суперпозиции синусоидальных составляющих. Соотношение амплитуд этих составляющих резко отличается от их соотношения в щипковых и ударных струнных инструментах. Этим объясняется отличие между тембром, например, скрипки и фортепиано. [c.222] Теория автоколебаний струн весьма сложна. Укажем лишь, что механизм передачи энергии смычком струне—того же рода, что механизм поддержания колебаний маятника трением о вращающийся вал (гл. IV). [c.222] что здесь было сказано о тембре звука, издаваемого струной, можно перенести на звучание других упругих тел. Например, когда мы ударяем молотком по металлическому стержню, последний начинает звучать. Тембр звука отличен от тембра звука той же высоты, издаваемого камертоном колебание камертона синусоидально, тогда как колебание стержня представляет собой суперпозицию большого числа синусоидальных колебаний с различными частотами. [c.222] Вернуться к основной статье