Волны в упругом полупространстве со свободной границей

Интересно отметить, что возможны вообще и другие поверхностные неоднородные волны, распространяющиеся вблизи свободной границы той или иной среды. Таковы, например, волны, которые могут распространяться в жидком полупространстве под действием силы тяжести (морские поверхностные волны). В этом случае сила веса является квазиупругой силой. Однако в этом случае распространение волн сопровождается дисперсией. Другой пример — жидкое полупространство, ограниченное натянутой мембраной или упругой пластиной (см. следующий параграф). Наконец, с аналогичной картиной в жидкой среде мы встречались, рассматривая волну в жидкости, бегущую вдоль импедансной плоскости с упругим импедансом. Рэлеевская волна может распространяться и при несжимаемости среды (V = 1/2). В этом случае Сц = 0,96 с,. [c.468]

Распространение гармонических волн в упругих телах при наличии границы. Существование двух типов волн в неограниченной упругой среде вызвало большой интерес к проблеме влияния граничных поверхностей на процесс распространения гармонических волн. По существу, задача об отражении и преломлении упругих волн на границе раздела двух полупространств — одна из основных задач в упругой теории света — раскрыла интересные проявления факта наличия двух типов волн в упругом теле. Так, оказалось, что при наклонном падении на свободную поверхность упругого полупространства продольной волны кроме отраженной под тем же углом продольной возникает и поперечная волна. Более того, при определенном угле падения продольной волны всю энергию уносит только отраженная поперечная волна. [c.11]

В процессе отражения сдвиговых и продольных волн от свободной границы 2 = 0 упругого полупространства суш,ествуют определенные различия, которые мы рассмотрим отдельно. Схематическое изображение ситуаций показано на рис. 9. Случай, показанный на рис. 9, а, соответствует падению продольной Р-волны, на рис. 9,6 — падению сдвиговой SV-волны. Такое построение рис. 9 в значительной мере предполагает заданной направленность волнового процесса, которая необходима для полной конкретизации задачи (глава 1, 5). [c.44]

Пусть на свободную границу 2 = 0 упругого полупространства падает плоская волна расширения (Р-волна), которая описывается потенциалом (временной множитель ехр (—гсо ) здесь и далее опуш,ен) [c.44]

Первой публикацией по динамическим задачам теории температурных напряжений была статья Даниловской ). В ней рассматривается внезапное нагревание границы упругого полупространства. В момент / = 0+ плоскость Х = О, ограничивающая упругое полупространство лГ] О, внезапно нагревается до темлературы 00, которая затем остается постоянной ). При этом предполагается, что плоскость лг1 = О свободна от напряжений и что начальные условия для температуры и перемещений однородны. Под влиянием внезапного нагревания плоскости Х) = О в упругом полупространстве распространяется одномерная термоупругая волна. [c.746]

Уравнение (1.12) имеет шесть корней, значения которых зависят только от коэффициента Пуассона V рассматриваемой упругой среды. Рэлеевской волне соответствует корень т]д, лежащий между нулем и единицей (в дальнейшем индексом Е мы будем отмечать все величины, относящиеся к рэлеевской волне). Можно показать [4, 5], что для любых значений V, соответствующих реальным средам (О V 0,5), уравнение (1.12) имеет один и только один такой корень, являющийся одновременно и корнем исходного уравнения (1.11). Это подтверждает справедливость нашего априорного предположения и вместе с тем доказывает возможность существования рэлеевской волны на свободной границе упругого полупространства. Приближенное выражение для этого корня [6] следующее [c.9]

В настоящее время рэлеевские волны в изотропных твердых телах изучены весьма основательно [7]. Очень важным моментом явилось обобщение рэлеевских волн на случай анизотропной среды. Рассмотрим здесь кратко схему расчета и основные соотношения, которые имеют место при распространении плоской гармонической рэлеевской волны вдоль свободной границы кристалла произвольной симметрии, занимающего полупространство Хз > 0. Как известно [3], для уравнения движения анизотропной однородной идеально упругой среды при отсутствии пьезоэффекта мы вместо (1.1) имеем более сложную форму [c.16]

Другой интересной модификацией волн Лява являются поперечные (сдвиговые) волны в полупространстве со свободной границей гребенчатого профиля [20] (периодическая система канавок прямоугольной формы, пропиленных на поверхности твердого тела перпендикулярно направлению распространения волны). В зтом случае поверхностный слой полупространства как бы размягчается и имеет меньшие эффективные модули упругости по сравнению с остальной толщей полупространства. Таким образом, получается эквивалент замедляющего слоя для волн Лява. Вдоль такой границы мон<ет распространяться замедленная поперечная поверхностная волна. Однако граничные условия на такой (сложной формы) поверхности приводят к тому, что эта волна не может быть гармонической в пространстве, а имеет слон<ную пространственную структуру (типа структуры блоховских функций для движения электрона в периодическом поле кристаллической решетки). Благодаря этому данное волновое образование имеет очень сильную дисперсию фазовой и групповой скоростей. [c.30]

Будем считать твердое тело, на поверхности которого возбуждаются рэлеевские волны, однородным изотропным идеально упругим полупространством с плоской свободной границей. [c.101]

Разнообразные поверхностные волны могут существовать вблизи границ упругих тел. Поверхностные волны вблизи свободной границы твердого тела были впервые описаны Рэлеем [485] и носят его имя. Волны Рэлея постоянно наблюдаются в сейсмологии. Рассмотрим их основные свойства. Из соотношений (4.1) для потенциалов упругих волн видно, что волновой процесс в полупространстве z > О, сосредоточенный вблизи свободной границы Z = О, возникает при выполнении условий [c.108]

Важно подчеркнуть, что все проведенное выше рассмотрение переносится на другие случаи отражения от границ однородных сред (упругих полупространств, упругого и жидкого полупространств, отражение от свободной границы твердого тела), где, как и для границы двух жидкостей, коэффициенты отражения и трансформации волн при ш > О не зависят от частоты. [c.122]

Рассмотрим, как используются потенциалы смещения для описания отражения плоской волны от плоской свободной границы, и выскажем ряд замечаний, которые будут полезны при- изучении более сложных явлений. Применив способ разделения переменных, к волновым уравнениям в потенциалах, записанных в прямоугольных координатах, найдем, что решение является экспоненциальной функцией пространственных координат и времени. Коэффициенты в эксЕонентах могут быть вещественными, комплексными либо мнимыми. Первое замечание состоит в том, что хотя некоторые ограничения на эти коэффициенты вытекают непосредственно из требования конечности потенциалов, они должны быть конкретизированы для каждой заданной геометрии границ. Например, некоторые коэффициенты, допустимые для волн в плоской пластине, невозможны в случае упругого полупространства. Второе замечание касается дальнейшего выбора допустимых решений, чтобы выделить падающую волну, являющуюся источником остальных колебаний. Например, выражения, описывающие отражение падающей продольной волны, могут быть получены путем произвольного отбрасывания члена, представляющего падающую поперечную волну. Третье замечание состоит в том, что решения, которые будут получены ниже для спектральных составляющих плоских волн при помощи преобразования Фурье, могут быть использованы для изучения отражений нестационарных (импульсных) сигналов, [c.29]

Важный вопрос о возможности существования локализованных вблизи поверхности гармонических волн впервые был поставлен и решен Рэлеем в 1885 г. [256]. Он установил, что вдоль плоской свободной границы полубесконечного упругого тела может распростра-нягься гармоническая волна. Амплитуды компонент вектора перемещений в этой волне экспоненциально убывают с увеличением расстояния в глубь полупространства. Такая волна называется поверхностной волной Рэлея. Скорость распространения поверхностной волны оказалась несколько ниже скорости сдвиговых волн. [c.53]

Задачу о распространении волн Лява в пористом насыщенном слое, расположенном на упругом полубесконечном основании, рассмотрел Дересевич [276]. Пусть ось г направлена по вертикали так, что плоскость 2 = 0 является границей раздела слоя и упругого полупространства и плоскость г = Л — свободная от напряжения вторая граница слоя. Исследуются гармонические волны, характеризуемые обращением в нуль смещений обеих фаз вдоль осей х, z зависимостью смещений вдоль оси у от координат х, 2 и времени. Уравнения движения пористого слоя сводятся при этом к уравнению (16.5), которое может быть записано относительно х, г), где 1у — = /д ехр (гсо ) — смещение твердой фазы [c.140]

Авторы проанализировали полученное дисперсионное соотношение для случая затухающих волн и показали, что в области низких частот в слое существует одна сдвиговая волна, медленно затухающая при удалении от границы контакта слоя с упругим полупространством. С уменьшением длины волны переносимая этой волной энергия уменьшается и при длинах волн, меньших толщины слоя, появляется вторая затухающая вглубь волна с максимальным смещением на свободной поверхности пьезоэлектрика. В области высоких частот скорость распространения второй волны соответствует волне Гуляева-Блюстейна, что вполне объяснимо физически. [c.592]

Динамические задачи теории упругости 310 Уравнения динамической теории упругости (310). Упругие волны (310). Монохроматические волны (312). Представление решений через скалярный и векторный потенциал (313). Интеграл энергии (316). Теорема взаимности для динамических задач теории )П1ругости (317). Возбуждение волн в неограниченном пространстве объемными силами (320). Отражение плоских монохроматических волн от свободной границы полупространства (325). Падение поперечной волны (328). Поверхностные волны (328). Упругие волны в стержне (332). Волны в пластинках (333). [c.9]

Существование волн, распространяющихся вдоль плоской свободной границы упругого полупространства, было в 1885 г. математически показано Рэлеем [23], почему эти волны и называются рэле-свскими. Основная особенность рэлеевских волн состоит в том, что с возрастанием глубины амплитуда их быстро падает по экспоненциальному закону. Рэлеевская волна является комбинацией продольной и сдвиговой неоднородных волн, затухающих с различной скоростью с возрастанием глубины (продольная волна затухает быстрее сдвиговой). [c.74]

В плоской Р. в. в однородном изотропном упругом полупространстве имеются две компоненты смещения, одна из к-рых и. нанравлсна вдоль направления распространения волны (ось х), а другая w — перпендикулярно свободной границе в глубь полупространства (ось Z с началом па границе), причем [c.455]

Иногда нод Р. в. понимают волны не только на свободной гратп1Це твердого тела, но также поверхностные волны более общего тина, возникающие на границе твердого тела с жидкостью и на границе системы твердых илн жидких слоев с твердым полупространством. На границе твердого и жидкого полупространства Р. в. существуют всегда, в остальных случаях они существуют только при онределениых соотношениях упругих и геометрич. параметров слоев и твердого полупространства. [c.455]

В 1885 г. лорд Рэлей (Дж. Стретт) теоретически показал [1], что вдоль плоской свободной границы изотропного твердого полупространства могут распространяться упругие поверхностные волны, амплитуда которых быстро спадает с глубиной. С тех пор эти волны, названные рэлеевскими, прошли большой и быстрый путь развития. [c.3]

В случае свободной границы полупространства волны 1 и 2 при V < 0,26, как уже отмечалось, являются объемными. Жидкий слой делает их поверхностными вытекающими, т. е. при слое в упругом полупространстве существует рэлеевская и две вытекающие поверхностные волны. Можно показать, что и другое изменение граничных условий для полупространства (твердый слой, импеданспые граничные условия) превращает волны 1 и 2 из объемных в поверхностные вытекающие. Интересно, что при помощи изменения толщины слоя к можно управлять глубиной локализации и затуханием вытекающих волн вдоль направления распространения (ось х). В частности, что очень важно для практики, это затухание можно сделать весьма малым (порядка дифракционных и вязких потерь). [c.93]

Плоские волны в упругом полупространстве со свободной границей. Пусть упругая среда занимает область г > 0 1 2 и ф имеют тогда смысл амплитуд падаюших на границу г =0 продольной и поперечной волн,а 1 1 и [c.90]

Общие вопросы теории упругости анизотропных сред рассмотрены в книгах [167, 179] и др. Распространение волн в таких средах применительно к кристаллоакустике и сейсмике освещено в монографиях [153, 215, 255]. О рзлеевских волнах в кристаллах различной симметрии см. [344, 495]. Различие направлений фазовой и групповой скоростей упругой волны и его следствия обсуждаются в [539]. О вычислении поля на луче в анизотропной среде см. [322]. В работах [296, 512] определена зависимость фазовой скорости от направления распространения волны в однородной среде со слабой анизотропией. Распространение ультразвуковых пучков в кристалле рассматривалось в [538]. Поверхностные волны в дискретнослоистом анизотропном упругом полупространстве со свободной границей исследованы в работах [340, 341]. [c.149]

Стоит Ышетить, что к вопросу о рэлеевской волне можно подойти с совсем другой стороны, а именно, рассматривая, как в 6.1, отражение волн от свободной границы упругого полупространства. Из формул (6.5) и (6.6) мы видим, что коэффициенты отражения Уц и Г обращаются в бесконечность при таком угле падения (комплексном), когда выполняется равенство (6.18). Это означает, что мы можем устремить амплитуды падающих волн ф" и к нулю и при этом амплитуды отраженных волн ф и могут быть конечными. В результате мы получим волновой процесс вблизи границы без участия падаю-шей волны, т. е. волцу Рэлея. [c.32]

Граночные условии и общие соотношения. Совместим плоскость г = 0 <5 границей раздела, а ось г направим в сторону жидкости (рис. 7.1). Жидкость будет характеризоваться величинами без индекса, величины с индексом 1 будут относиться к упругому полупространству. В частности, к = ы/с —, волновое число в жидкости, к, = ш/сх их = (л/Ьх — волновые числа соответственно для продольных и поперечных волн в упругом полупространстве. В верхней (жидкой) среде надо положить 6 = 0. Вопрос о волнах горизонтальной поляризации был рассмотрен в 5.1. Ниже иы рассматриваем лишь вертикальную поляризацию. В граничных условиях (5.11) и (5.12) иы должны положить для жидкости ц = 0.1 ) = 0. Кроне того, первое нз условий (5.12) в рассматриваемом случае будет отсутствовать, так как здесь не требуется непрерывности и, (рассматривается случай идеальной жидкости, которая свободно скользит ВДОЩ>,.ЦО -верхностиТвердого тела). Остальные три гравич-ных условия, записанные в том же порядке, что и в (5.11), (5.12), будут а [c.32]

Мы рассмотрели на простейшем примере плоских гармонических рэлеевских волн в идеально упругом изотропном и однородном полупространствах наиболее общие свойства этих волн (скорость, характер движения в волне и т. д.), В неоднородных и анизотропных средах структура и свойства рэлеевских волн значительно сложнее, причем имеются такие анизотропные среды (например, кристаллы триклинной системы), в которых рэлеевские волны вообще не могут существовать. Иногда под волнами Рэлея понимают волны не только на свободной границе твердого тела, но также поверхностные волны более общего типа, возникающие на границе твердого тела с жидкостью и на границе системы твердых или жидких слоев с твердым полупространством. На границе твердого и жидкого полупространств рэлеевские волны существуют всегда в остальных случаях они сущест- [c.11]

Будем считать твердое тело, на поверхности которого возбуждаются рэлеевские волны, однородным изотропным идеально упругим полупространством с плоской свободной границей. Размеры излучателей по оси у (рис. 5) будем предполагать бесконечными и будем считать, что действие излучателя рэлеевских волн на поверхность твердого тела экв ивалентно действию напряжений, приложенных к свободной поверхности твердого тела на том участке, где находится излучатель. При возбуждении кварцевыми пластинками J i- peзa (рис. 5, а) и У-среза (рис. 5, б) имеем соответственно нормальные и касательные напряжения единичной амплитуды, распределенные равномерно в 0 бласти поверхности при гребенчатой структуре (рис. 5, г)—периодическую совокупность единичных нормальных напряжений, в методе лина (рис. 5, в)—систему нормальных и касательных напряжений, приложенных к свободной поверхности твердого тела в области х а1соз = Ь, определяемой геометрическими границам и пучка продольных волн, распространяющихся в клине. Напряжения здесь будем считать равными напряжениям, возникающим при падении плоской продольной волны под углом 8 на границу двух полупространств, одно из которых состоит из материала клина, а второе — из материала твердого тела (продольная волна падает в первом полупространстве, а ее амплитуда предполагается такой, что нормальные напряжения на площадке, перпендикулярной напра влению ее распространения, равны единице). [c.16]

Результаты предыдущего параграфа применимы к важной за да е о волноводном распространении звука низкой частоты в море В районах постоянной глубины море можно рассматривать как волновод, ограниченный дном и свободной поверхностью воды Для низких частот можно пренебрегать неровностями дна и не ровностью свободной поверхности, вызванной морским волнением и считать границы волновода плоскими. Кроме того, можно пре небрегать и неоднородностью среды, вызываемой изменением тем пературы и гидростатического давления с глубиной. Практически если при данной частоте возможно распространение лишь несколь ких первых номеров нормальных волн, то море можно рассматри вать как однородный плоскопараллельный слой, лежащий на упругом полупространстве — морском грунте. Морской грунт, вообще, — упругое твердое тело, неоднородное по глубине. Найти нормальные волны в волноводе, ограниченном таким упругим телом, весьма сложно. Но некоторые основные черты моря как волновода можно представить себе, упрощая задачу аппроксимируя грунт жидким однородным полупространством с некоторыми эффективными значениями плотности и сжимаемости. Тогда, пользуясь данными предыдущего параграфа, можно, ограничиваясь, как и выше, плоской задачей, написать дисперсионное уравнение нормальных волн, исходя из коэффициентов отражения плоских [c.263]

Многие источники сейсмических волн действуют на поверхности земли так, что механический контакт осуществляется непосредственно на самой поверхности. Некоторое представление о поведении таких источников можно получить, рассматривая излучение волн от сосредоточенных сил, действующих параллельно свободной границе упругого полупространства или перпендикулярно к ней. В случае механических источников излучение от кругового штампа на свободной границе обеспечивает описание как поведения самого источника, так и излучаемых объемных волн. В большинстве конкретных ситуаций предположение об однородности полупространства нуждается в уточнении, поскольку сейсмические скорости, как правило, имеют очень низкие значения вблизи поверхности Земли. Если изменение скорости с глубиной известно, то с целью уточнения амплитуды волн можно использовать более корректные формулы для геометрического расхождения (взамен простого деления на расстояние). Легко учесть также явление преломленияч на промежуточных границах. Если для каждого из слоев известен коэффициент поглощения, то представляется возможным ослабить предположение и об идеальной упругости. Разделив спектры зарегистрированных волн на спектральную характеристику поглощения и осуществив обратное преобразование Фурье, получим сейсмограммы, которые наблюдались бы в идеально упругой среде. Предположение о свободной границе является достаточно реалистическим, так как акустический контраст между воздухом и грунтом очень велик, но даже это предположение необходимо иногда применять осторожно. Так, вибрационные источники могут порождать прямую воздушную волну, а при взрывании зарядов в воздухе ударная воздушная волна сама является источником сейсмических колебаний, [c.228]

Рассмотрим теперь более с.поиатый случай — плоские га1)мопические поверхностные волны с вертикальной поляризацией, распространяющиеся в направлении положительной оси X на границе 2 = 0 (см. рис. 1.7) твердого полупространства и плоского твердого слоя толщины к с упругими параметрами Я, и плотностью р. Вторая граница слоя г = к свободна. [c.45]

В работе [74] было показано, что объемная сдвиговая волна в металле может стать поверхностной под действием сильного постоянного магнитного поля Но, направленного вдоль свободной поверхности металла и под углом к направлению распространения волны (рис. 1.19). Следуя работе [74], рассмотрим распространение упругих поверхностных волн в идеально проводящем твердом упругоизотропном полупространстве z О с полем Hq, имеющим компоненту вдоль направления распространения волны (Нох 0) и в перпендикулярном направлении в плоскости границы (Ноу Ф 0). [c.59]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...