Дисперсионное уравнение для нормальных волн

Другой способ получения дисперсионного уравнения для нормальных волн. Уравнение (36.21) для полюсов, называемое также диспер-сионным уравнением для нормальных волн, имеет весьма важное значение. Поэтому мы получим его еще другим способом, взяв для определенности акустический случай. Звуковое давление во всех точках слоя (исключая источник) должно удовлетворять волновому уравнению [c.222]

Из предыдущего ясно, насколько важным является определение таких характеристик нормальных волн, как фазовая и групповая скорости, распределение амплитуды волны по координате, перпендикулярной елоям. В 36,4 показано, как дисперсионное уравнение для нормальных волн в жидком слое-может быть получено простым путем, без анализа интегральных выражений для поля в слое. Этот метод можно распространить и на случай упругого слоя, ограниченного произвольными неоднородными упругими полупространствами, что и будет сделано ниже. [c.255]

Двухслойное покрытие 93 Дискретный спектр поля 221 Дисперсионное уравнение для нормальных волн 222 Дифракционные лучи 326 Длина цикла 257 [c.340]

Найдем дисперсионное уравнение для нормальных волн, удовлетворяющих этому требованию. Коэффициент отражения от нижней границы в этом случае комплексный [c.264]

Дисперсионные уравнение описывают все типы нормальных и других волн в изотропной пластине. В частности, если выделить только первую продольную и первую изгибную составляющие и взять предельное значение фазовой скорости при высокой частоте, то получим скорость рэлеевской волны. В пределе дисперсионное уравнение в этом случае совпадает с дисперсионным уравнением для рэлеевских волн. [c.423]

Выражение (IX.7.16) представляет собой основное дисперсионное уравнение сплошного цилиндрического стержня, которое справедливо для всех целых п О. Уравнение (IX.7.16) определяет различные семейства нормальных волн. В частности, если /г=1, то имеется семейство изгибных нормальных волн, аналогичное семейству изгибных волн в пластине. При п 2 имеется семейство изгибных нормальных волн кругового порядка. Для п==0 дисперсионное уравнение сводится к произведению двух сомножителей — элемента второй строки третьего столбца и его минора. Первый сомножитель дает дисперсионное уравнение для крутильных волн, второй— дисперсионное уравнение для семейства продольных нормальных волн в твердом цилиндре. [c.426]

Формула полностью аналогична выражению (70.3), с той разницей, что бегущая плоская волна заменена бегущей цилиндрической волной. Величины и е найдутся из граничных условий они будут совпадать со значениями для соответственной плоской волны той же частоты, бегущей в том же волноводе. Для цилиндрических и плоских нормальных волн будут совпадать дисперсионные уравнения, нумерация нормальных волн, распределение давлений и компонент скоростей частиц. Различаться будут только закон спадания поля с расстоянием и набег фазы, вблизи начала координат. В цилиндрической волне происходит спадание амплитуды асимптотически как 1/1/г, в то время как двухмерная волна в слое свою амплитуду сохраняет. На больших дистанциях набег фазы нарастает одинаково для обоих типов волн. [c.268]

Рассмотрим сначала изгибные нормальные волны в плоскости стенки. Дисперсионное уравнение для них имеет следуюш ий вид [c.29]

Для решений дисперсионного уравнения (ш, ) существует связь между й и ш, но эта связь, конечно, неоднозначна. Более точное утверждение состоит в том, ЧТО для нормальных волн при заданных ш, и / вектор [c.59]

При ЭТОМ дисперсионное уравнение для определения величин соответствующих нормальным электромагнитным волнам с О Ф О, получающееся как условие обращения в нуль детерминанта системы уравнений (7.3), имеет следующий вид [c.174]

В дисперсионном уравнении (36.21) для нормальных волн теперь мы должны положить Fj = — 1, а для F, воспользоваться выражением (7.7), в котором а, а,, р, и р, даются выражениями (7.3), (7.4) и (5.13). Для незатухающих нормальных волн (поглощением в средах пренебрегаем) aj и р, — мнимые величины [c.253]

Рис. 72.1. Графическое решение дисперсионного уравнения (72.6) для волновода с массовой стенкой. Точки ао, 01,.. . дают значения для нормальных волн соответственных номеров независимо от частоты они же дают критические значения кк для этих нормальных волн.

Как и для нулевой нормальной волны, для нормальных волн высших порядков также можно получить приближенные решения дисперсионного уравнения для предельных случаев малых и больших частот. Так, для со/соо <С 1 из (72.7) следует, что для волны номера I близко к 1п. Полагая = 1п — е, где е < 1, имеем приближенно [c.249]

Миндлин использовал способ определения корней уравнений (2.32) и (2.33), который позволяет приближенно, но довольно подробно построить спектр нормальных волн, не прибегая к сложным численным расчетам. На фиг. 17 показан такой спектр для изгибных и продольных нормальных волн при СТ = 0,31. На фиг. 17 тонкие линии представляют невзаимодействующие сдвиговые волны (8У) и волны сжатия (В). Отдельные волновые движения аналогичны волнам 8Н в пластинке, которые мы рассматривали выше. Граничные условия на свободных поверхностях пластинки -связывают эти два типа упругого движения, за исключением случаев, соответствующих некоторым особым значениям уЬ и (оЬ/Г . Связь этих двух типов волнового движения на свободной поверхности, вдоль которой распространяется волна, выражается также в частичном превращении одного типа волнового движения в другой при отражении от свободной поверхности. Тот факт, что сдвиговые волны, поляризованные в плоскости, параллельной этой поверхности, при любых углах падения отражаются от нее в виде волн того же типа, является одним из способов выражения независимости волн 8Н от продольных и изгибных волн. Дисперсионные уравнения для невзаимодействующих [c.154]

Хотя дисперсионное уравнение для изгибных нормальных волн при п = I значительно сложнее аналогичного уравнения для пластинки, поведение ветвей действительных корней очень схоже для этих двух случаев. Типичный спектр частот для семейства изгибных нормальных волн самого низкого порядка показан [c.169]

После представления решения в виде двух линейно независимых решений уравнения (10.4), определения констант и решения дисперсионного уравнения для нахождения собственных значений горизонтального волнового числа, полное решение выражается в виде суммы нормальных волн [c.94]

Выражения (2.17) и (2.18), характеризующие смещения в нормальных модах волновода, достаточно сложны. В отличие от SH-волн в слое распределение по толщине смещений для каждой моды Рэлея-Лэмба зависит от частоты или постоянной распространения Поэтому сколько-нибудь полный анализ этих соотношений можно провести лишь после изучения решения дисперсионных уравнений [c.118]

Крутильные нормальные волны (9.2) в цилиндре по свойствам очень близки к SH-волнам в слое. Дисперсионное уравнение (9.4) относительно р имеет бесконечное число вещественных корней, включая корень р = 0. В последнем случае Q и, следовательно, соответствующая нормальная волна не обладает дисперсией — фазовая и групповая скорости для нее равны g. Смещения частиц цилиндра для данной моды имеют вид [c.148]

Таким образом, при фиксированной глубине к в коротковолновом приближении кк-юо) С/ф и 11д возрастают с увеличением X, причем так, что 1/ф > >Уд (нормальная дисперсия, С/ф/ Х,>0). В длинноволновом пределе (кк - 0), 11ф Пд я дисперсионные э екты малы. Для коротких волн, когда X Хт, эффект поверхностного натяжения может стать определяющим, и тогда соотношение (6.21) аппроксимируется уравнением [c.197]

Для рассматриваемых решений роль ф играет скалярный потенциал к к А = кв =1Ях Первое граничное условие — непрерывность ф, а второе условие следует из непрерывности нормальной составляющей электрической индукции В, =г =-еЭф/Э2. Отсюда следует, что С = в , Сд - / л и для интерфейсных волн дисперсионное уравнение (2.43) принимает форму [c.31]

Соотношения (4.31) показывают, что в неограниченной среде, описываемой уравнением состояния (4.23), распространение звуковой волны всегда сопровождается поглощением (мнимая часть 1/с (со)) и дисперсией (действительная часть l/ (со)), которые связаны между собой. Подчеркнем тот факт, что приведенный вывод дисперсионных соотношений (4.29) опирается только на аналитичность и ограниченность функции X (со) в верхней полуплоскости со, которые обусловлены условием причинности и стремлением среды к состоянию термодинамического равновесия. Справедливость соотношений (4.31) для функции ф(со)= 1/с(со)—1/соо, характеризующей волновой процесс в среде, кроме того, обусловлена наличием достаточно простой связи (4,30) между с(ш) и х((й), не приводящей к нарушениям аналитичности с (со) или 1/с (со). В более сложных случаях, например для электромагнитных волн в анизотропной плазме [29] или для нормальных звуковых и электромагнитных волн в слоистых средах [30], связь между параметрами среды и волновыми параметрами приводит к нарушению аналитичности последних, и дисперсионные соотношения в общем случае не имеют места. [c.55]

При наличии внешних источников Jg система (2.14) уже неоднородна и имеет решения типа (2.2) при ш и й, не удовлетворяющих дисперсионному уравнению (2.10). Именно это обстоятельство, как отмечалось в п. 1.1, позволяет рассматривать ш и А в е у(о), к) в качестве независимых переменных. Если плотность Уед-Дш, к) отлична от нуля для ш и й, удовлетворяющих дисперсионному уравнению (2.10), то система (2.14) не имеет смысла. Это и понятно, поскольку такой случай отвечает строгому резонансу между внешним воздействием и нормальными колебаниями (волнами) в среде ). Полная ясность в отношении поведения среды при наличии резонансов может быть достигнута при исследовании задачи с начальными или граничными условиями, что и отвечает физической постановке вопроса (см., например, [7], 5). [c.56]

При этих значениях звуковое поле в системе имеет конечную величину в отсутствие падающей волны. Оно будет поверхностной или вытекающей волной для наблюдателя, расположенного вне слоя, или нормальной волной, если нас интересует поле в самом слое (см. п.п. 4.4, 15.3). (10.67) представляет собой дисперсионное уравнение да я этих волн. В случае абсолютно жестких (2, з -> оо) ли абсолютно мягких (21,з ->-0) границ слоя оно принимает вид [c.216]

Последнее уравнение позволяет каждому F сопоставить определенное к, т. е. построить дисперсионную кривую. Интересные следствия получаются аз этого уравнения для нулевой нормальной волны. Имеем, полагая в (41.6) 1 0, [c.253]

При фиксированном и., нормальным волнам могут соответствовать различные значения лучевого векюра в. В силу тождественности форм дисперсионных соотношений (1.12) и (1.13) получаем для 5 уравнение, аналогичное (2.2), которое определяет поверхность лучевых векторов [c.109]

Заканчивая рассмотрение вопроса о прохождении нормальных электромагнитных волн через кристаллическую среду при учете пространственной дисперсии, сделаем одно замечание, касающееся выбора корней дисперсионного уравнения для коэффициентов преломления нормальных волн п. . При учете пространственной дисперсии уравнение для определения величин п-1 остается фактически уравнением для (см. уравнение (6.4) для гиротропной среды и уравнение (7.4) для среды негиротропной). Следовательно, уравнения (6.4) и (7.4) определяют й лищь с точностью до знака. Ясно, что его надлежит выбирать таким образом, чтобы волны, возникшие на поверхности кристалла, затухали в глубь кристалла. Если же затухание не учитывается и, например, все и, имеют вещественные значения, то при выборе знака для щ — и, можно воспользоваться соображениями, изложенными в пп. 3.2, 3.3 и 7.2 [c.276]

В самом деле, отказавшись от условия уг < п/2, можем удовлетворить дисперсионному уравнению (72.7) бесконечным числом решений, при которых 1,Н > п/2. Критические частоты получатся при помощи построения, показанного на рис. 72.3, выполненного для случая проводимости типа пружины. Значения кЩ р (точки а , Сз,. . . ) соответствуют критическим частотам для первой, второй,. . . нормальной волны. Этот же график позволяет находить значения для любого заданного значения кН. Абсциссы точек параболы—(рсУкЬ) (кН) представляют собой значения кН, а абсциссы последовательных ветвей графика, изображающего функцию tg представляют собой значения На графике дано построение, решающее дисперсионное уравнение для данной, частоты, т. е. для заданного значения кН = х. Построение позволяет по данному кк получить соответственное значение = Ь- г 2, . для каждой из ветвей графика, соответствующей каждая отдельной нормальной волне. Для примера, изображенного на графике, первые две волны имеют значения = Ь , меньшие, чем исходное значение кН = х, и, следовательно, для них значения I вещественны (и меньше к) и соответственные [c.247]

Хотя третий и четвертый поддетерминапты в уравнении (2.18) ненамного сложнее первых двух, их корни нельзя получить в аналитической форме, так что для получения зависимости постоянной распространения от частоты всегда должны использоваться численные методы. Дисперсионное уравнение для продольных нормальных волн получаем приравниванием третьего детерминанта уравнения (2.18) нулю. Используя уравнения (2.10) и (2.11) и соотношения [c.152]

Подобным же путем четве ртый поддетерминант уравнения (2.18) дает дисперсионное уравнение для изгибных нормальных волн [c.153]

Очень важным вопросом, относящимся к фиг. 17, является вопрос о полноте совокупности представленных решений. Доказательство полноты данного ряда решений дифференциальных уравнений с соответствующими граничными условиями обычно базируется на возможности представления общего решения чере . данный ряд решений. Задача представления произвольного распределения напряжений на торцевой поверхности пластинки математически аналогична задаче представления произвольного распределения напряжений на торцевой поверхности цилиндра. И именно в связи с этой задачей для цилиндра Кертис [19 ] впервые высказал мысль, что ветви, относящиеся к действительным корням семейства продольных нормальных волн в цилиндре, аналогичные ветвям продольных нормальных волн в пластинке, не образуют полную систему решений. В частности, он заметил, что-имеется только конечное число действительных и мнимых значений уЬ, соответствующих заданному. значению (i)b/Vs, и это не позволяет представить проп.звольные граничные условия только через указанные решения. Это свидетельствует о существовании нормальных волн с комплексными значениями уЬ. Если раньше-полагали, что число нормальных волн с комплексными значениями уЬ конечно, то теперь считают, что их число неограниченно,. та1 что в принципе, возможно удовлетворение прои.чвольным граничным условиям с помощью этих решений. Математическое сходство дисперсионных уравнений для стержня круглого сечения и для пластинки позволяет предполагать, что и в случае пластинки для удовлетворения произвольным граничным условиям на. [c.159]

Дисперсионное уравнение для продольных нормальных волн впервые было опубликовано Похгаммером [22] в 1876 г., но вследствие его сложности детальные расчеты фазовых и групповых скоростей пе представлялись вплоть до 1941 г., когда Бэнкрофт [23] опубликовал результаты по изменению фазовой скорости как функции безразмерной постоянной распространения с коэффициентом Пуассона в качестве параметра. Начиная с 1941 г. многие исследователи внесли вклад в изучение детальных свойств спектра частот продольных нормальных воли. Особенно ценные работы опубликованы Кертисом [19, 2 —2 8], Холденом [ , Миндлиным [29—31 ] и Оноэ [10 ]. В настоящее время общая картина и поведение спектра частот продольных нормальных волн, по-видимому, исследованы достаточно подробно, хотя некоторые детали, касающиеся интерпретации и применений, еще остаются нерешенными задачами. Подробная схема спектра частот продольных нормальных волн в цилиндре при о = 0,31, заимствованная 113 работы Оно ) и др. [31], приведена на фиг. 19. [c.167]

Если п положить равным единице в общем дисперсионном уравнении (2.(38), то получится дисперсионное уравнение для изгибной нормальной волны самого низкого порядка. Первые детальные расчеты для нормальной волны самого низкого порядка из семейства изгибных волн были выполнены Хадсоном 321. Для этого семейства, так же как для семейств более высоких порлдков, движение, вообще говоря, содеряшт все три компоненты смещения иг о и г. В этом одно из отличий изгибных нормальных волн в цилиндре от изгибиых нормальных волн в пластинке. [c.169]

Нао и Миндлин 30] распространили расчеты по определению расположения ветвей сиоктра частот, даваемого дисперсионным уравнением, на дисперсионное уравнение для изгибных нормальных волн с ге = 1. Одним из интересных различий мен<ду пластинкой и цилиндром, раскрытым в работе Пао [33], является то, что для цилиндра некоторые из ветвей в мнимой плоскости идут к нулевому значению частоты. Таким образом, не все нормальные волны более высоких порядков требуют использования комплекс- [c.170]

ДИСПЕРГИРУЮЩАЯ СРЕДА — распределённая среда, параметры к-рой зависят от частот m и волновых векторов к возбуждаемых в ней гармопич. полей. Понятие Д. с. чётко устанавливается только для линейных однородных сред, где гармонич. поля могут существовать самостоятельно (см. Нормальные волна). При описании Д. с. принято говорить о дисперсии того или иного конкретного параметра проводимости, показателя преломления, модуля упругости и т. д. Различают дисперсию временную (зависимость параметра от ш) и пространственную (зависимость от к), однако в тех случаях, когда со и А в гармонич. процессах связаны дисперсионным уравнением, такое разделение видов дисперсии является условным. [c.639]

Вывод основного дисперсионного уравнения. При исследовании упругих нормальных волн воспользуемся представлением смещения через векторный и скалярный потенциалы и записью системы дифференциальных уравнений относительно потенциальных функций. Для решения задачи о распространении упругих волн в сплошном круговом цилиндре представим уравнения движения (IX.6.2) и (IX.6.3) в цилиндрических координатах г, 6, г. Условимся ось Zсчитать совпадаю-ш.ей с осью цилиндра. Предположим, что решения уравнений выражаются функциями [c.424]

При каждом фиксированном значении /с,/ , т. е. при заданных частоте и радиусе R цилиндра, уравнение (1.135) имеет конечное число вещественных корней --ч Рп-Каждый корень соответствует распространяющейся нормальной волне определенного номера. На рис. 1.27 приведены зависимости безразмерной фазовой скорости d t = = ktRIp от kiR для первых четырех нормальных волн, а на рис. 1.28 — распределения смещений с глубиной в первых трех волнах при 113. Как видно из рисунков, дисперсионные кривые похожи на соответствующие кривые для поперечных нормальных волн в пластинах [86], а смещения во всех волнах имеют поверхностный характер. Точки пересечения дисперсионных кривых с лучами р = 1,2,3... соответствуют собственным колебаниям цилиндра, когда по его окружности укладывается целое число длин волн. Отметим, что вопрос о физическом смысле решения (1.134) при О < р < 1 (область дисперсионных кривых выше луча /) = 1) требует дополнительного исследования, поскольку в этой области напряжения в нормальных волнах при г = О обращаются в бесконечность. [c.83]

Уточненная теория динамики ортотропной цилиндрической оболочки построена I. Mirsky [S.1351 (1964). Он учитывал поперечные нормальные напряжения, влияние инерции вращения и поперечного сдвига. Применением принципа Гамильтона—Остроградского к уравнениям трехмерной теории упругости получены шесть уравнений движения в напряжениях и перемещениях. Для случая распространения свободных гармонических волн в бесконечной оболочке выведено дисперсионное уравнение, из которого определяются частоты (шесть ветвей) в зависимости от длины волны для изотропных (сталь) и неизотропных (цинк, магний, молибден, вольфрам) материалов при различных толщинах и числах окружных полуволн. Коэффициенты сдвига fe и fee определяются по R. D. Mindlin y [2.1501, зависимость от m и п не учитывается, что дает ошибку не более 10%. Для изотропного материала результаты сравниваются с точными решениями D. С. Gazis a", на основании чего автор полагает, что первые четыре формы колебаний описываются хорошо и это будет справедливо также для ортотропной оболочки. [c.205]

Эти же авторы рассмотрели аналогичную задачу, но с соединительной прокладкой между слоями [3.114] (1968), которая беэинерционна и характеризуется только конечной, жесткостью на сдвиг. Условия равновесия прокладки приводят к равенству прогибов, а также нормальных и касательных напряжений на поверхностях примыкающих слоев. Для случая распространения гармонических волн в осевом направлении получено дисперсионное уравнение (определитель пятого порядка), в которое входит безразмерный параметр жесткости прокладки B = GH b Eyh +E2h2), где G и Ь — модуль сдвига и толщина прокладки Е[ и 2, и /12 — модули Юнга и толщины слоев. ]Дель работы состоит в исследовании влияния параметра В на колебания оболочки. В случае предельных частот (волновое число равно нулю) получены аналитические формулы для пяти фазовых скоростей (осевое и радиальное движения, три типа осевых сдвиговых движений). В общем случае вычисления выполнены на ЭВМ. Показано, что существует промежуточная область критиче- ских значений Бкр, которая разделяет области мягких и жестких В. При и Б>Б р применимы приближен- [c.206]

Перейдем теперь к более подробному обсуждению некоторых типов нормальных волн в пластинках. Для антисимметричных 5Я-В0ЛН дисперсионное уравнение [c.210]

Соотношение (15.67) показывает, что нормальная волна (в отличие от луча, см. п. 16.1) прн распространении не выходит из вертикальной плоскости, содержащей приемник и источник, фазовая скорость моды образует с зтой плоскостью угол - р. Свяэь ф/ и ip можио получить из общего выражения g = d j/df/ для групповой скорости моды. (Здесь и ниже bFjba означает вектор с компонентами bF ba , где а,- — компоненты вектора а.) Пусть известно дисперсионное уравнение ы = = j( , ф) (номер моды для краткости опускаем). Проекции групповой скорости на оси ОхиОу равны [c.349]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...