Устойчивость для большинства начальных условий

Устойчивость для большинства начальных условий [c.116]

Глава 8 посвящена исследованию треугольных точек либрации в пространственной круговой задаче. Доказано, что при всех значениях из области устойчивости в линейном приближении имеет место устойчивость для большинства начальных условий, за исключением двух значений [х, для которых в главе 7 доказана неустойчивость. Кроме того, доказано, что для почти всех значений из области устойчивости в линейном приближении точки либрации в пространственной круговой задаче формально устойчивы. В заключение главы показана формальная устойчивость треугольных точек либрации при критическом отношении масс Рауса. [c.13]

Для функции Гамильтона (1.9) ai2 — = " 25 7 = О, так что устойчивость для большинства начальных условий есть, но имеет место неустойчивость по Ляпунову, что видно из частного решения, для которого [c.90]

Доказательство. При ц = (1 = 1, 2) точки либрации неустойчивы, как уже об этом говорилось выше. Пусть [X Их и ц = Ц2- Тогда гамильтониан возмущенного движения может быть представлен в виде (1.3). Согласно исследованиям Арнольда, изложенным в главе 5, для доказательства устойчивости для большинства начальных условий достаточно проверить отличие от нуля определителя четвертого порядка [c.134]

Исследуемая механическая система обладает тремя степенями свободы. А в многомерных гамильтоновых системах, как уже подробно говорилось в пятой главе, может быть неустойчивость ПО Ляпунову, несмотря на то, что выполнены условия устойчивости для большинства начальных условий. [c.136]

В пространственной задаче неустойчивость при (х = (1 = = 1, 2) конечно, остается, а при значениях (х, не равных ц,, и принадлежащих области (5.1), доказана устойчивость для большинства начальных условий. Кроме того, для почти всех (д. из интервала (5.1) (исключения, быть может, составляют значения [c.145]

Теорема. В области устойчивости в первом приближении при (X, принадлежащем области (2.3) устойчивости в круговой задаче, и при значениях и е, не принадлежащих резонансным кривым третьего и четвертого порядков, треугольные тючки либрации в плоской эллиптической ограниченной задаче трех тел устойчивы для большинства начальных условий, если эксцентриситет достаточно мал. [c.160]

В рассматриваемой задаче, помимо устойчивости для большинства начальных условий, решался еще вопрос о формальной устойчивости периодических движений. [c.230]

Из табл. 18, в частности, видно, что ни для одного типа периодических движений пространственной задачи определители D3 и Di ни при каких значениях а одновременно в нуль не обращаются и, следовательно, при всех нерезонансных значениях параметров JA, 8 из области устойчивости линейной системы все периодические движения пространственной задачи будут устойчивы для большинства начальных условий. [c.233]

Таким образом, теорема Арнольда позволяет утверждать, что движения в планетной задаче устойчивы в смысле Лагранжа для большинства начальных условий не только в первом, но и в любом приближении. [c.841]

Остановимся сначала на результатах Арнольда по устойчивости гамильтоновых систем для большинства начальных условий [4, 102]. Пусть автономная гамильтонова система с п степенями свободы устойчива в линейном приближении и между ее частотами отсутствуют резонансные соотношения до четвертого порядка включительно. Тогда при помощи преобразования Биркгофа можно выбрать такую систему координат, что гамильтониан запишется в виде [c.87]

Так как все эти значения положительны, то (см., например, [351) при и 4 уравнение /(и) О не имеет корней. Тем самым доказана выполнимость неравенства Ф О при всех ц из области устойчивости в первом приближении (кроме ц = и ц = = Цг)- А значит, доказана и сформулированная в начале параграфа теорема об устойчивости точек либрации для большинства начальных условий. [c.135]

Таким образом (см. главу 5), в плоской задаче имеет место устойчивость треугольных точек либрации для большинства начальных условий. [c.184]

Теорема. В пространственной круговой ограниченной задаче трех тел треугольные точки либрации устойчивы для большинства в смысле жры Лебега) начальных условий при всех ц из области устойчивости в первом приближении (значения и исключаются). [c.134]

В случае пространственной задачи, т. е. когда материальная точка в возмущенном движении может выходить из плоскости экваториального сечения эллипсоида, неустойчивость на кривой (Ol = 2(02 и на части резонансной кривой (о = 3(02, конечно, остается. Если же параметры еа, e таковы, что резонансные соотношения (Oi = 2(02 и (о = 3(02 не выполнены, то, как показано в работе [25], точки либрации, лежащие на продолжении малой полуоси экваториального сечения эллипсоида, будут устойчивы для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий. [c.303]

К сожалению, не существует универсального простого метода, позволяющего точно определить, когда неустойчивые процессы на микроуровне порождают неустойчивость на макроуровне. В этом случае, так же как и при неустойчивости при сжатии элемента конструкции или конструкции в целом, важную роль играют начальные геометрические несовершенства, особенности закрепления и начальные напряжения. Как и в случае сложных задач, связанных с потерей устойчивости конструкций, для отыскания истинно начальных условий необходимо в большинстве случаев исследовать всю предысторию поведения. [c.26]

Неустойчивость, вызванная условиями теплопередачи от частиц, была замечена при исследовании процесса окисления этилена [Л. 6]. Увеличение температуры нагрева реагентов с 72 до 81°С увеличивало скорость реакции в 10—100 раз, потому что нри температуре около 80° С перепад температур от твердой фазы к газу достигает критического значения. Разность температур может быть определена относительно простым расчетом [Л. 17], который мол<ет быть проведен для всех кинетических стадий. Температурная неустойчивость имеет место также для большинства реакций горения, включающих регенерацию катализаторов, отравленных углеродом. Для быстрой регенерации катализатора иногда желательно осуществлять управление в верхней устойчивой точке. Однако, если при этом не будет тщательно поддерживаться концентрация кислорода, то внезапные повышения температуры могут привести к расплавлению катализатора. Существование двух устойчивых состояний равновесия было показано даже для случая, когда жидкие насадки содержат мелкие частицы, некоторые из которых, обладая более высокой начальной скоростью горения, нагревались до более высоких температур, чем основная масса катализатора [Л. 18]. [c.431]

Наиболее эффективно интегральный метод моделирования используется для прогнозирования поведения строительных конструкций в условиях пожара, поскольку прогрев конструкций в большинстве случаев наиболее интенсивен в развитой стадии пожара. Проведенные исследования локальных пожаров и начальной стадии пожара (НСП) позволили определить границы применения интегрального моделирования для решения практических задач пожарной профилактики и, в частности, для исследования устойчивости строительных конструкций в условиях пожара. [c.222]

Исследована устойчивость регулярных прецессий динамически симметричного спутника на круговой орбите дан анализ устойчивости плоских колебаний спутника — твердого тела на эллиптической орбите произвольного эксцентриситета рассмотрена устойчивость движения динамически симметричного спутника, когда его ось симметрии перпендикулярна плоскости эллиптической орбиты центра масс исследована устойчивость плоских вращений спутника и плоских колебаний произвольной амплитуды на круговой орбите получены новые результаты в задаче об устойчивости относительного эавновесия спутника с трехосным эллипсоидом инерции. Подробная библиография приведена в [31, 94]. В [95] указаны такие случаи, когда относительное равновесие спутника устойчиво в линейном приближении, есть устойчивость для большинства начальных условий, а на самом деле это равновесие неустойчиво но Ляпунову. Это — пример конкретной задачи механики, в которой установлено существование диффузии Арнольда (правда, эта диффузия не является экпоненци-альной). [c.125]

В главе 9 задача устойчивости рассмотрена в строгой нелинейной постановке. Исследование проводится как аналитическими (при малых значениях эксцентриситета е), так и численными (при произвольных параметрах е и [х) методами. В области устойчивости в линейном приближении, полученной впервые Дэнби [110], выделены кривые, на которых выполнены резонансные соотношения третьего и четвертого порядков. Для значений параметров е ж ц, принадлежащих этим кривым, показаны либо неустойчивость, либо устойчивость в конечном (но достаточно высоком) нелинейном приближении. При значениях параметров, не принадлежащих этим кривым (а иногда еще и кривым, на которых выполнены резонансные соотношения пятого и шестого порядков), доказаны устойчивость для большинства начальных условий и формальная устойчивость. [c.14]

Из устойчивости для больпшнства начальных условий вовсе не следует устойчивость по Ляпунову. В статье Арнольда [5] построен пример гамильтоновой системы, устойчивой для большинства начальных условий, но неустойчивой по Ляпунову. Подобное- явление неустойчивости по Ляпунову впоследствии [27] получило название диффузии Арнольда. В построенном в статье [5] примере функция Гамильтона такова, что диффузия Арнольда очень слабая время, в течение которого г (i) находится вблизи г (0), экспоненциально растет при линейном убывании возмущений. [c.88]

В 1 построены простые примеры многомерных гамильтоновых систем, которые устойчивы для большинства начальных условий, но по Ляпунову неустойчивы. Скорость диффузии Арнольда в примерах 1 оказалась весьма значительной. Однако, как правило, диффузия Арнольда (если она существует) должна быть экспоненциальной, что показано Нехорошевым в его работах 178-80]. [c.94]

Так как все эти значения положительны, то многочлен g (и) при и > 4 положителен и, следовательно, — 4с2оСоа Ф О при всех нерезонансных (х из области (2.3). Тем самым теорема об устойчивости для большинства начальных условий доказана. [c.161]

Для того чтобы в нерезонанспом случав при достаточно малых значениях параметра е сделать заключение об устойчивости в плоской задаче или заключения об устойчивости для большинства начальных условий и о формальной устойчивости в пространственной задаче, достаточно вычислить коэффициенты форм (10.4) и 10.5) при значении параметра е, равном нулю. [c.231]

В статье [184] рассмотрен вопрос об устойчивости точек либрации для случая Земли. Фигура Земли аппроксимировалась при помощи эллипсоида, мало отличающегося от шара. Параметры еа и e оказались очень малыми и не лежат на кривых (о = 2(0г и (Ol = 3(02- Поэтому для Земли точки либрации, расположенные на продолжении малой полуоси экваториального сечения аппроксимирующего эллипсоида, устойчивы по Ляпунову (в илоской задаче) или устойчивы для большинства. начальных, условий (в пространственной задаче). [c.303]

Работа [127] полностью исчерпала проблему устойчивости треугольных лагранжевых решений в плоской ограниченной круговой задаче трех тел. Б [128] А. П. Маркеев исследовал устойчивость треугольных равновесных решений в пространственной ограниченной круговой задаче трех тел. Им доказано, что для большинства начальных условий (в смысле меры Лебега) при всех значениях ц, удовлетворяющих условию (10.3.40), кроме двух значений, ц = Х], ц = хг из совокупности (10.3.43), треугольные точки либрации устойчивы. При ц = [Х1 и ц = 112 имеет место неустойчивость. [c.845]

Следствие 2. Известно, что эллиптические периодические траектории общего положения в гладкой гамильтоновой системе с двумя степенями свободы являются орбитально устойчивыми на уровне энергии [3]. Этот же результат остается верным и в случае кусочно-глад ких гамильтонианов, если дополнительно потребовать, чтобы периодическая траектория трансверсально пересекала поверхности потери гладкости (что, кстати сказать, тоже является условием общего положения). В случае трех и более степеней свободы приходится говорить об орбитальной y Toii4HBo TH для большинства начальных условий. [c.154]

Приведенные рассуждения не являются строгими. В последнее время существенный прогресс в решении проблемы устойчивости солнечной системы был достигнут В. И. Арнольдом [27], который доказал теорему Если масса, эксцентриситеты и наклонности планет достаточно малы, то для большинства начальных условий истинное движение условно периодично и мало отличается от лагранжева движения с подходящими нaчaльны ш условиями в течение всего бесконечного промежутка времени — оо<(<4-оо . Однако и сейчас еще нельзя утверждать справедливость теоремы. Лапласа. (Прим. перев.) [c.224]

Далее оказывается, что усредненная система имеет устойчивое положение равновесия, соответствующее движению всех планет в одной плоскости а одну сторону по круговым орбитам. Движение планет, соответствующее малым колебаниям в линеаризованной около этого равновесия усредненной системе, называется лагранжевым движением. Оно имеет простую геометрическую интерпретацию. Вектор, направленный из фокуса в перигелий планеты и имеющий длину, пропорциональную ее эксцентриситету (вектор Лапласа), в проекции на основную плоскость системы координат является суммой п—1 равномерно вращаюшлхся векторов. Набор угловых скоростей этих векторов одинаков для всех планет. Вектор, направленный по линии пересечения плоскости орбиты планеты с основной плоскостью (линии узлов) и пропорциональный по длине наклонению планеты, является суммой п—2 равномерно вращающихся векторов". Если в некоторый момент времени эксцентриситеты и наклонения достаточно малы, то в усредненной системе они останутся малыми и во все время движения. В частности, оказываются невозможными столкновения планет и уходы на бесконечность. Это утверждение называется теоремой Лагранжа — Лапласа об устойчивости Солнечной системы. С момента доказательства теоремы (1784 г.) центральная математическая задача небесной механики состояла в том, чтобы перенести этот вывод об устойчивости с усредненной системы на точную. На этом пути возникли многие разделы теории динамических систем, в том числе теория возмущений и эргодическая теория. Сейчас решение рассматриваемой задачи значительно продвинуто. Оказывается, при достаточно малых массах планет большая доля области фазового пространства, соответствующей не-зозмущенном движению в одну сторону по кеплеровским эллипсам малых эксцентриситетов и наклонений, заполнена условно-периодическими движениями, близкими к лагранжевым (см. 3). Таким образом, устойчивость имеет место для большинства начальных условий. При начальных условиях из исключительного множества эволюция больших полуосей если и происходит, то очень медленно — ее средняя скорость экспо- [c.186]

Дифференциальные уравнения, соответствующие гамильтониану (1.10), содержат в себе дифференциа льные уравнения исходной задачи с гамильтонианом (1.1). Для функции Гамильтона (1.10) неравенство (1.3) всегда не выполнено, так как 1) +х = О и, значит, условие устойчивости для большинства начальных данных получается только из (1.4) и означает, как легко проверить, выполнимость неравенства [c.89]

Все изложенное позволяет сделать вывод о том, что усталостному разрушению всегда предшествует локальная пластическая деформация, которая по мере накопления числа циклов приводит к разрыхлению, нарушениям сплошности, затем к возникновению микротрещин и развитию некоторых из них в макроскопические. Траектория микроскопической трещины усталости определяется ходом линий сдвигов и расположением влючений в структуре. Между однократной пластической деформацией и сдвигами при усталости имеется много общего одни и те же кристаллографические системы скольжения, качественно сходная зависимость от температуры, скорости и других факторов. В то же время усталостная деформация и разрушение, несомненно, имеют специфические особенности, которые пока не позволили свести этот вид разрушения к обычным при однократных нагружениях и установить устойчивую связь между механическими характеристиками, такими, как (То,2, Ов, и т. д., и характеристиками усталости. Важным практическим следствием из установленного раннего начала усталостного разрушения для большинства реальных условий нагружения является необходимость оценивать материалы не только по характеристикам полного разрушения, но и по начальному разрушению, обнаруживаемому иногда уже после 5—10% от общего числа циклов [5, 6]. [c.203]

A. П. Маркеевым [132] получены утверждения об устойчивости для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий, формальной устойчивости и неустойчивости по Ляпунову в зависимости от значений параметров л и е. [c.846]

Ниже будет показана неустойчивость положения равновесия Гх = 2 = О системы (1.9). Но сначала сформулируем условия устойчивост и для большинства начальных данных в общем случае гамильтоновой системы с п степенями свободы и периодической зависимостью функции Гамильтона от времени. Пусть функция в гамильтониане (1.1) зависит от 1. Введем новый импульс г +х и угол фп+х Тогда получим автономную систему с и 4- 1 степенями свободы. Гамильтониан имеет вид [c.89]

Из результатов предыдущего параграфа следует, что тело Р бесконечно малой массы будет образовывать с телами конечных масс 8 и I треугольник, близкий к равностороннему, для большинства достаточно малых отклонений от вершины равностороннего треугольника, соответствующего невозмущенному движению, и для достаточно малых относительных скоростей. И, согласно [4], для этих начальных условий, соответствующих несоизмеримым частотам, движение тела Р будет условнопериодическим. Таким образом, с вероятностью, близкой к единице, треугольные точки либрации в пространственной круговой ограниченной задаче трех тел устойчивы. Но каково движение тела Р для начальных условий, соответствуюпщх соизмеримым (или почти соизмеримым) частотам [c.135]

Для значений параметров е и ц, при которых не выполнены резонансные соотношения третьего и четвертого порядков, показана устойчивость для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий. При этом, кроме резонансных кривых третьего и четвертого порядков, пришлось исключить из рассмотрения кривые, на которых между коэффициентами нормальной формы выполнено соотношение Сц — 4с2оСо2 = 0. Эти кривые изображены на рис. 18 и 19 пунктирными линиями. Для значений параметров е я X, при которых нет резонансов третьего и четвертого порядков, было проведено исследование формальной устойчивости. На рис. 18 и 19 области формальной устойчивости отмечены штриховкой. [c.170]

ДО = О, когда начальное давление кислорода соответствует парциальному, представленному в константе равновесия. В этих условиях отсутствует движущая сила реакции окисел и металл в одинаковой мере устойчивы. Если давление в условиях эксперимента станет ниже этой величины, то окисел будет диссоциировать.-Эта меняющаяся с температурой критическая величина давления называется упругостью диссоциации окисла. Если металл образует несколько окислов, например FeO, РезОз и Рез04, то все они обладает различными упругостями диссоциации. Наиболее бог1атый кислородом окисел обкчно превращается в окисел, содержащий меньше кислорода, а не непосредственно в чистый Металл, аС У большинства окислов металлов необходимое для диссоциации парциальное давление кислорода настолько низкое, что не может быть достигнуто экспериментально. В случае золота, однако обыч- [c.13]

Наша краткая экскурсия в область геологии дает представление о работе этой огромной природной стекольной мастерской с ее гигантскими давлениями и температурами. В течение 5 ООО лет люди пытались воспроизвести эти условия в малых -тласштабах и достигли определенного успеха в производстве текол, удовлетворяющих предъявляемым к ним требованиям. Плавленый кварц, свободный от пузырьков, получить не так Трудно и обрабатывается он сравнительно легко, почему чистое кварцевое стекло должно было бы являться наиболее подходящим материалом для большинства применений. Оно механически прочно, противостоит сильным тепловым ударам и химическим воздействиям, а также прозрачно для ультрафиолетового, видимого и инфракрасного излучений. Однако точка плавления кри-стобалита—наиболее устойчивой формы кристаллического кварца—равна 1713° С, т. е. лежит выше температур, достигаемых в обычных производственных печах. Кроме того, вязкость этого вида кварца в расплавленном состоянии столь высока, что невозможно удалить пузырьки, появляющиеся при нлавлеиии вследствие начального объемного расширения, или получать кварцевые изделия желаемой формы на станках массового производства. [c.17]

В последние годы в математической работе Зигеля и А озера f3I I было показано, что некоторые классические разложения в ряды в небесной механике являются сходящимися и с их помощью можно описать решения задачи п тел, справедливые на всем интервале времени. Эта работа прояснила связь рядов Ньюкома с большинством типов планетных движений. Как отметил Басс [21 Для всех существенно нерезонансных начальных состояний ряды Ньюкома сходятся (неравномерно), и, таким образом, эти движения являются квазипериодическими однако они не обладают орбитальной устойчивостью, и поэтому произвольные малые возмущения начальных условий могут вызвать беспорядочные движения. Если движения являются резонансными пли почти-резо-иансными, то ряды могут сходиться равномерно (орбитально устойчивое квазипериодическое движение) или неравномерно (орбитально неустойчивое квазипериодическое движение), либо ряды могут расходиться (беспорядочное движение) . [c.279]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...