Три типа периодических движений

Во втором типе периодического движения само q не изменяется периодическим образом, но является таким, что при увеличении его на некоторую величину qa конфигурация системы, в сущности, не изменяется. Наиболее простым примером такого [c.317]

На рис. 1.19 показаны осциллограммы некоторых типов периодических движений. [c.25]

Во всех этих работах описывались некоторые типы периодических движений и ни в одной из них не рассматривался ни вопрос об их устойчивости, ни вопрос о единственности находимого периодического движения. Метод точечных отображений применительно к обш ей сформулированной выше задаче позволил установить единственность вынужденного периодического движения и его абсолютную устойчивость. [c.148]

Обобщения Морса. Методы минимума и минимакса могут дать нам только некоторые типы периодических движений. Недавняя замечательная работа Морса заставляет предполагать с большой долей вероятности, что все типы периодических движений могут быть обнаружены посредством надлежащего обобщения этих методов, основанного на более глубоком применении принципов топологии. Кроме того, числа периодических движений разных типов (из которых типы минимума и минимакса являются простейшими) связаны между собой различными соотношениями, открытыми Морсом. До сих пор, однако, применение этих соотношений подробно развито им только для случаев динамических систем с двумя степенями свободы, рассматриваемых в окрестности периодического движения. [c.147]

Мы покажем, в частности, как этот метод можно применить к предельному типу периодического движения, когда бильярдный шар движется вдоль границы бильярдного стола по кривой С. [c.184]

Непредсказуемое регулярное движение множественные регулярные аттракторы (допустим более чем один тип периодического движения) длительное движение чувствительно к начальным условиям Переходный хаос движения, которые кажутся хаотическими и имеют характерные для странного аттрактора свойства (обнаруживаемые по отображению Пуанкаре), но в конце концов вырождаются в регулярное движение Перемежаемый хаос периоды регулярного движения, прерываемого переходными вспышками хаотического движения длительность периодов регулярного движения непредсказуема [c.46]

ТРИ ТИПА ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ 207 [c.207]

Из табл. 18, в частности, видно, что ни для одного типа периодических движений пространственной задачи определители D3 и Di ни при каких значениях а одновременно в нуль не обращаются и, следовательно, при всех нерезонансных значениях параметров JA, 8 из области устойчивости линейной системы все периодические движения пространственной задачи будут устойчивы для большинства начальных условий. [c.233]

Понятно, что можно представить себе предысторию G (s), которая произвольно близка к предыстории покоя и в то же время имеет произвольно большую скорость деформации. Простым примером такой предыстории является периодическое движение очень малой амплитуды, но очень высокой частоты. Уравнение состояния типа уравнения (6-3.46) предсказывает для такой предыстории нелинейную зависимость т от G (s). Иными словами, уравнение (6-3.46) предполагает, что топология пространства предысторий, в котором функционал непрерывен, имеет иную природу, чем топология, положенная в основу формулировки теории простой жидкости. [c.228]

Q/J+2, < 2 Одновременно с этим изменением типа состояния равновесия от него рождается или с ним сливается периодическое движение. Как это происходит, показано на рис, 7.8 [c.253]

Выше предполагалось, что состояние равновесия, появляющееся на периодическом движении, простое. Рассмотрим теперь случай, когда это состояние равновесия сложное. Придерживаясь нашего принципа общности, оно должно быть таким, чтобы этой возможности в пространстве параметров отвечала бифуркационная поверхность размерности на единицу меньше, чем размерность пространства параметров, т. е. бифуркационная поверхность, отвечающая бифуркации общего типа. Из этого следует, что сложная особая точка должна быть простейшей и ей должна отвечать в пространстве параметров некоторая поверхность. В сколь угодно малой близости от нее эта сложная точка должна превратиться в простую или исчезнуть. Общие случаи превращения простых точек в сложные нам известны. Эти превращения происходят на поверхностях и /V,,-Поверхность не подходит, так как наличие у соответствующего ее точкам сложного состояния равновесия двоякоасимптотической траектории может быть лишь при выполнении некоторых дополнительных условий, поскольку для ->того требуется пересечение интегральных многообразий Sp и S.,, таких же, как и в ранее рассмотренном случае. На поверхности yv происходит слияние состояний равновесия О"" и Этот случай нас устроит, если наличие двоякоасимптотической фазовой кривой возможно в общем случае. Рассмотрим этот вопрос. Через точку О"" проходят интегральные многообразия Sp и S, и через точку 0/>+1, -I — интегральные многообразия Sp i и S i. Пересечение многообразий Sq и Sp,.i является общим. В силу того, что на поверхности /V,, состояния равновесия О -" и сливаются, до момента этого слияния поверхности Sg и Sp+i в окрестности этих точек в общем случае пересекаются по некоторой двоякоасимптотической фазо- [c.264]

И всеми остальными движениями, асимптотически приближающиеся к ним, как при возрастании, так и убывании времени. Этот класс систем был выделен Смейлом [50—52] и получил название систем Морса—Смейла [271. Важность и распространенность таких систем позволяют рассмотреть их несколько подробнее. Кроме сформулированных условий, предполагается, что все состояния равновесия и периодические движения общего типа и что их интегральные многообразия пересекаются только oбa им образом. Фазовое пространство будем предполагать компактным. [c.274]

Аналогичные обозначения (О ,, ыц и сог. для гладких кусков поверхностей без контакта введем для седло-вых периодических движений типов и Как [c.274]

Теорема 7.1 [40J. Динамическая система с простейшими установившимися движениями, имеющая конечное число простых состояний равновесия и периодических движений и пересечения интегральных многообразий только общего типа, не имеет циклов. [c.279]

Под гомоклинической структурой понимается некоторое множество седловых периодических движений одного и того же типа и двоякоасимптотических к ним движений 7. . Фазовая траектория у, двоякоасимптотическая в том смысле, что при t — оо она асимптотически приближается к периодическому движению а при [c.314]

Ш и л ь н и к о в Л. П., О рождении периодических движений из траектории, идущей из состояния равновесия типа седло-седло в него же, ДАН СССР 170, № 1 (1966). [c.384]

Существуют три классических типа динамического движения равновесие периодическое движение, или предельный цикл квазипериодическое движение. Эти состояния называют аттракторами, поскольку в присутствии какого-либо затухания переходные отклонения подавляются и система притягивается к одному из трех перечисленных состояний Другой класс движений,характерных для нелинейных колебаний, который не сводится ни к одному из этих классических аттракторов,- непредсказуемые, если присутствует малая неопределенность начальных условий то этот класс движения часто связан с состоянием называемым странным аттрактором. [c.6]

Направление биссектрисы угла между этими начальными векторами задается углом 7)ь = 1г/4. При выбранной длине хорды это будет как раз направление к центру окружности. Выпустим теперь из какой-нибудь границы хорды внутрь области свободного движения траекторию с начальным углом 1 1. Траектория достигнет окружности в симметричной относительно вертикального диаметра точке, отразится от нее под углом 3-2 К симметричному горизонтальному направлению бросания, вернется в исходную точку, отразится от нее под углом и так далее. Существуют и другие, более сложные типы периодических траекторий с соударениями. О [c.297]

ПО. —, О рождении периодического движения из траектории, идущей из состояния равновесия типа седло-седло в него же. Докл. АН СССР, 1966, 170, Ко 1, 48—52 [c.214]

О рождении периодического движения из траектории, двоякоасимптотической к состоянию равновесия типа седло. Мат. сб., 1968, 77, № 3, 461—472 [c.214]

Уравнение (5-74) при отыскании автомодельного или стационарного решения вида д (х— t) сразу переходит в уравнение (5-63) и отвечает за возникновение прогрессивных волн типа периодического бора. Из уравнения (5-74) следует, что количество движения в возмущении растет по времени. Проинтегрировав уравнение (5-75) по X от —оо до 4-00, получим закон роста п.мпульса [c.122]

По согласно нашим предположениям периодические движения, соответствующие точкам I и, /. ие кратные. Если они принадлежат к устойчивому типу, то число (т не будет для них соизмеримо с 2тг. Со- [c.220]

Вводные замечания. Задача трех или большего числа тел считается по справедливости одной из самых знаменитых проблем в математике. Тем не менее, до недавнего времени весь интерес в этой проблеме был направлен на формальную сторону вопроса и в частности на формальное решение посредством рядов. Пуанкаре был первым, получившим блестящие качественные результаты, касающиеся в особенности специального предельного случая так называемой ограниченной проблемы трех тел , рассмотренной впервые Хиллом. Что касается общей проблемы, то главные результаты, полученные Пуанкаре, следующие во-первых, он установил существование различных типов периодических движений методом аналитического продолжения во-вторых, он показал, что в силу самой структуры дифференциальных уравнений проблемы тригономстричсскис ряды могут быть полезными, и, наконец, в-третьих, он указал на пригодность этих рядов, как асимптотических. Все эти результаты остаются справедливыми не только для проблемы трех тел, но и для всякой гамильтоновой системы. К несчастью, в его исследованиях всегда имеется вспомогательный параметр //, причем при /X = О система будет специального интегрируемого типа. Таким образом, возникающие трудности (по крайней мере, отчасти) более зависят от особой природы интегрируемого предельного случая (когда два из трех тел имеют массу 0), чем присущи самой проблеме. [c.259]

Периодические движения в консервативной системе отличаются той особенностью, что они никогда не бывают изолированными. Это связано с тем, что если при некотором значении произвольной постоянной в интеграле движения мы имеем замкнутую фазовую траекторию, то в силу непрерывной зависимости решения дифференциальных уравнений от начальных условий и при близких значениях этой постоянной фазовые траектории будут оставаться замкнутыми. Таким образом, замкнутые траектории образуют континуум, заполняя целые области двумерного фазового пространства. При этом возможны два случая в первом случае замкнутые траектории, вложенные одна в другую, стягиваются либо к особой точке типа центра, либо к сепаратрисам седловых особых точек. В случае, когда фазовое пространство представляет собою цилиндрическую поверхность, замкнутые траектории могут охватывать фазовый цилиР1др. [c.29]

Теперь рассмотрим оставшиеся возможности для изменения периодического движения Г, т. е. те, при которых наруилается существование гладкого взаимно однозначного отображения секущей. Для таких изменений есть следующие возможности замкнутая кривая Г стягивается в точку, на ней появляется состояние равновесия, она уходит в бесконечность ). Замкнутая кривая может стянуться только к особой точке — состоянию равновесия — и поэтому этот случай уже был изучен при рассмотрении бифуркаций состояний равновесия. Он соответствует переходу через бифуркационную поверхность Л/, . Второй случай новый, хотя он тоже связан с бифуркацией состояния равновесия, но не был замечен, поскольку раньше рассмотрение относилось только к окрестности состояния равновесия и не выходило за ее пределы. Перейдем к его рассмотрению. Третий случай оставим без внимания ввиду очевидности связанных с ним изменений. В рассматриваемом случае при бифуркационном значении параметра имеется состояние равновесия О и фазовая кривая Г, выходящая и вновь входящая в него. Пусть это состояние равновесия простое, типа О ". Так как фазовая кривая Г выходит из О" , то она лежит на инвариантном многообразии S,,, а так как она в него еще и входит, то она принадлежит еще и многообразию S l,. Отсюда следует, что многообразия Sp и 5 пересекаются по кривой Г. Соответствующая картинка представлена на рис. 7.14. Как нетрудно понять, пересечение поверхностей S,, и не является общим случаем и при общих сколь угодно малых изменениях параметров динамической системы должйо исчезнуть. Это означае т, что в пространстве параметров этому случаю вообще не отвечают области, а, как можно обнаружить, в общем случае только некоторые поверхности на едирплцу меньшей размерности. Таким образом, исследование этой бифуркации периодического движения свелось к следующему вопросу когда фазовая кривая, идущая из простого седлового дви- [c.262]

Выше была изложена созданная к настоящему времени локальная теория состояний равновесия и периодических движений, а также попутно и отчасти неподвижных точек преобразования. При этом полностью рассмотрены все основные типы равновесий и периодических движений и их основные бифуркации. Это рассмотрение носит в некотором смысле законченный и завершенный характер. Точнее, можно думать, что рассмотрение более сложных случаев не даст ничего принципиально нового для общего понимания и общего качественного изучения динамических систем. Это естественно в предположении, что речь идет об изучении классов динамических систем, в котором только этим бифуркациям соответствуют в пространстве параметров разделяющие его бифуркационные поверхности. Вместе с тем эта надежда уже ни в коей мере не оправдывается для специальных классов динамических систем и в первую очередь для так называемых консервативных систем, где понятие общности совсем друп е, Когсерва-тивные системы требуют своего, во многом специфического исследования. Эта специфичность проявляется не всегда, многие вопросы и, в частности те, которым в значительной мере будет посвящен дальнейший текст, в полной мере относятся и к консервативному случаю. [c.267]

В теории колебаний, были простейшие типы движений — состояния равновесия, периодические движения и в значительно меньшей мере квазипериодические. Более сложные движения представлялись не поддаюш,имися изучению и имеющими весьма отдаленное отношение к движениям реальных систем. Нелинейное колебательное мышление, воспитанное в основном на фазовой плоскости, не допускало такой возможности и считало стохастичность уделом систем с очень большим числом степеней свободы, настолько большим, что все запутывается, становится неясным и сто-хастичным. Возникновение стохастичности в механике и физике также обычно связывалось с большим числом степеней свободы, с большим числом возможных колебаний или волн. [c.326]

Эта система допускает следующие решения а = Ь = Л = 0, что соответствует отсутствию в системе установившегося периодического движения (состояние покоя). Такое состояние является возможным равновесным состоянием системы, и вопрос о его осуществимости при данных значениях параметров системы и характере внешнего воздействия можно решить только на основе рассмотрения вопроса об устойчивости данного состояния. Анализ устойчивости системы по отношению к малым отклонениям от состояния покоя приводит к линейному уравнению с периодически изменяющимся коэффициентом (типа уравнения Матьё). Для этого уравнения, как мы [c.136]

Метод В КБ (Венцеля, Крамерса, Бриллюэна). При исследовании периодических движений в механизмах могут быть слу чаи, когда в уравнении движения типа (9.51) функции p t) и f t) медленно изменяются по времени. Тогда функцию p t) по аналогии с уравнением консервативного типа (9.8) можно рас сматривать как медленно изменяющуюся собственную частоту. [c.175]

Распределение периодических движений устойчивого типа. Пашей иервой задачей будет локазательетво следующего утверж- [c.219]

Смотреть страницы где упоминается термин Три типа периодических движений : [c.92] [c.212] [c.481] [c.487] [c.250] [c.278] [c.162] [c.163] [c.127] [c.432] [c.190] [c.132] [c.133] [c.139] [c.140] [c.142] [c.169] [c.213] [c.213] [c.216]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...