Особые точки общего положения

В дифференциальных уравнениях, описывающих реальные физические явления, чаще всего встречаются особые точки и предельные циклы общего положения, то есть гиперболические. Однако встречаются и специальные классы дифференциальных уравнений, где дело обстоит иначе. Таковы, например, системы, обладающие симметриями, связанными с природой описываемого явления, а также гамильтоновы уравнения, обратимые системы, уравнения, сохраняющие фазовый объем. Так, например, рассмотрим однопараметрическое семейство динамических систем на прямой с симметрией второго порядка [c.12]

С рассмотрим точку 0. По слабой теореме трансверсальности, отображение -а общего положения трансверсально С. Но это и означает невырожденность особых точек векторного поля г . > [c.16]

Замечание. Суммарная размерность устойчивого и неустойчивого множества негиперболической особой точки с одно мерным центральным многообразием равна п+1 (п—размерность фазового пространства). Поэтому в классе векторных полей с такой особой точкой наличие гомоклинической траектории этой точки — явление общего положения. [c.89]

Замечание. В классе векторных полей, имеющих особую точку с парой чисто мнимых собственных значений, поля общего положения не имеют гомоклинической траектории особой точки. [c.90]

Теорема ([109]). Пусть в однопараметрическом семействе общего положения нулевому (критическому) значению параметра соответствует векторное поле Vq с вырожденной особой точкой О, имеющей одно собственное значение О, узел по гиперболическим переменным и гомоклиническую траекторию Г точки [c.111]

Теорема ( [ПО]). Пусть в однопараметрическом семействе общего положения нулевому критическому значению параметра соответствует векторное поле Vo с вырожденной особой точкой О типа седло по гиперболическим переменным, имеющей одно собственное значение О и одну гомоклиническую траекторию. Тогда для этого семейства справедливо заключение первой теоремы п. 3.1, только рождающийся грубый цикл будет седловым (то есть гиперболическим, но ни устойчивым, ни вполне неустойчивым). [c.112]

В этом параграфе описаны бифуркации при переходе через гиперповерхность в функциональном пространстве, состоящую из векторных полей с гиперболической особой точкой, имеющей гомоклиническую траекторию. Исследуется окрестность гочек общего положения на этой гиперповерхности как принадлежащих, так и не принадлежащих границе множества систем Морса—Смейла. [c.127]

Итак, пусть пространство Е расслоения Е Б трехмерно, база двумерна, а слои одномерны. В каждой точке этого трехмерного пространства имеется вертикальное направление (касательное слою, вдоль которого обе медленные переменные постоянны). В неособых точках возмущающего поля" имеется еще его направление. Особые точки для систем общего положения не лежат на медленной поверхности. Поэтому мы их не рассматриваем, и в интересующих нас точках пространства Е заданы два поля направлений вертикальное и возмущающее. [c.175]

Более общим образом мы рассматриваем быстро-медленные системы, для которых особая точка уравнения быстрых движений при изменении медленных переменных теряет устойчивость с переходом пары собственных значений через мнимую ось. Для аналитических систем общего положения положительные полутраектории из некоторой области фазового пространства стремятся при е- -0 к фазовым кривым вырожденной системы, имеющим сравнимые по длине участки, один из которых расположен на устойчивой, а другой — на неустойчивой части медленной поверхности. Этим описываемые движения сходны с утками , рассмотренными ниже, в 5. [c.192]

Медленная поверхность системы типа 2 делится на две области — устойчивую и неустойчивую. Первая состоит из устойчивых положений равновесия быстрой системы, вторая — из неустойчивых их общая граница называется границей устойчивости. На устойчивой части медленной поверхности для типичной системы типа 2 открытое множество образуют точки, из которых выходят фазовые кривые медленной системы, трансверсально пересекающие границу устойчивости и такие, что при движении параметра у вдоль медленной кривой пара собственных значений особой точки уравнения быстрых движений переходит через мнимую ось трансверсально и с ненулевой скоростью. Такие точки назовем правильными ниже рассматриваются только правильные точки на устойчивой части медленной поверхности. [c.193]

Доказательства первых двух теорем связано с введением индекса Пуанкаре (АндрОнов и др., 1959). Доказательство последней теоремы основано на том факте, что фазовые траектории не могут пересекаться. Рис. 7 иллюстрирует это положение. Кривая, пересекающая все фазовые траектории и не касающаяся их, называется Кривой без контакта. На рис. 7 окружность R — цикл без контакта. Обнаружение предельных циклов это — основная задача в теории колебаний. Однако не существует общих аналитических методов для ее решения. Следует отметить, что если при исследовании особых точек системы обнаруживаются центры, которые нри изменении параметров превращаются в неустойчивые фокусы, то вероятность существования в этой системе предельных циклов весьма велика. [c.39]

Параметры механической системы практически никогда не бывают точно известными, а иногда могут случайным образом меняться с течением времени. Если общие свойства системы мало изменяются при малом изменении параметров и эги изменения носят лишь количественный характер, то такую систему называют структурно устойчивой (по терминологии, введенной А. А. Андроновым и Л. С. Понтрягиным, грубой). Если малое изменение какого-либо параметра приводит к качественному изменению характера состояния системы, то ее называют структурно неустойчивой (негрубой). Таким изменениям соответствуют принципиальные изменения (бифуркация) структуры фазового пространства — появление новых положений равновесия (особых точек), предельных циклов и т. д. Значение параметра р = называют бифуркационным, если существуют сколь угодно близкие к нему значения параметра, при которых структура фазового пространства качественно отличается от структуры при р = Ро. [c.33]

Ранее говорилось, что функция статистического распределения играет фундаментальную роль для статистических задач. Существует несколько общих положений, ограничивающих вид функции распределения. К их изучению мы и приступаем. Но предварительно необходимо отметить важную особенность статистической физики ее основные закономерности сравнительно мало зависят от конкретных свойств частиц и от характера их взаимодействия, в частности от того, классический или квантовый характер имеет движение микрочастиц. Это свидетельствует о наличии особого рода закономерностей, появляющихся в системах из большого числа частиц, которые и называются статистическими, о качественном их своеобразии. В то же время возникает возможность параллельного использования классического и квантового подхода в ряде случаев (чем мы и будем пользоваться в дальнейшем, оговаривая специфику и особенности классического и квантового распределений, когда в этом будет необходимость). [c.38]

При = 0, z = из (1) следует = 0. Этой точке соответствует равновесное решение уравнения (1). По общей классификации особых точек дифференциальных уравнений - это особая точка типа центра. Малое отклонение начальных данных от этой точки приводит к решениям (3), которые остаются близкими к равновесному. В этом случае говорят об устойчивом положении равновесия. [c.243]

Первый вопрос при изучении кривых—вопрос об установлении ее формы. При этом большую пользу приносит знание расположения ее замечательных точек и положение асимптот. К замечательным точкам относятся точки перегиба, точки прекращения, точки с вертикальными и горизонтальными касательными и особые точки. Главнейший вид особых точек К.—кратные точки, в которых К. пересекает сама себя. Простейший пример кратной точки — двойная точка. Координаты двойной точки определяются как общие решения трех ур-ий [c.296]

Особые точки вблизи данной определяются тогда из условия дд др = 0. Для лагранжевых многообразий общего положения эта производная меняет знак при переходе с одной стороны многообразия особых точек на другую в рассматриваемой окрестности простейшей особой точки. Мы выбираем за положительную сторону ту, где эта производная положительна. [c.412]

Пр и м е р. Векторное поле общего положения в окрестности особой точки ласточкина хвоста х - - аа Ъх с = х Л- ) . - сохраняющим хвост голоморфным диффеоморфизмом приводится к нормальной форме д дс (рис. 257). [c.453]

Теорема (1976). Голоморфные функции общего положения, равные О в .самой особой точке фронта простой особенности, ло- [c.453]

Пример. В окрестности особой точки ласточкина хвоста функция общего положения сохраняющим хвост диффеоморфизмом приводится к нормальной форме а. [c.454]

Если мы исключим из рассмотрения все особые случаи и ограничимся интуитивным способом рассуждения, то мы можем следующим образом сделать это более общее положение вероятным. Пусть 1 ,. .., 1к будут значения интеграла I вдоль к периодических движений минимального типа, существование которых мы предполагаем, и пусть I будет настолько большим числом, что мы можем непрерывной деформацией кривой I перейти от какой-нибудь из соответствующих кривых 1, к любой другой так, чтобы интеграл I на I все время оставался бы меньше I. Для определенности предположим, что 1х, . 1к расположены в порядке возрастания их величины. [c.142]

При переходе к бесконечномерным пространствам теряется понятие типичности в смысле теории меры, поскольку в интересующих нас бесконечномерных пространствах динамических систем не существует естественного класса мер. Топологическое понятие, однако, по-прежнему существует. Мы будем называть типичные в этом смысле диффеоморфизмы и векторные поля обитыми или диффеоморфизмами (векторными полями) общего положения и исследовать определенные свойства таких диффеоморфизмов и векторных полей в С-топологии. Подчеркнем, что С°-топология с этой точки зрения занимает совершенно особое положение. [c.294]

При расчленении конструкции турбины на отдельные сборочные единицы, руководствуются следующими общими положениями 1) выделение той или иной группы деталей в особую сборочную единицу должно быть возможным и целесообразным как в конструктивном, так и в технологическом отношении 2) на общую сборку машины следует подавать возможно меньшее количество отдельных деталей 3) общая сборка должна быть максимально разгружена от мелких сборочных и других вспомогательных работ 4) выделение сборочных единиц должно обеспечивать их правильную сборку и, по возможности,, испытание до общей сборки турбины. [c.364]

Особые л очки общего положения. Оператор А линейной части векторного поля в особой точке поля общего положения [c.29]

Дифференциальным уравнением первого порядка, не разрешенным относительно производной, называется уравнение Р х, у, р)=0, где р—йу йх. Для гладкой функции Р общего положения это уравнение задает гладкую поверхность уравнения в Пространстве 1-струй функций у(х). Проектирование поверхности уравнения на плоскость (х, у) вдоль оси р называется складыванием. Критические точки складывания называются особыми точками уравнения. [c.38]

Следствие 2. Уравнение общего положения, не разрешенное относительно производной, в окрестности каждой своей особой точки типа сложенное седло (узел, фокус) эквивалентно нормальной форме р+кх) =у. [c.40]

Оказывается, в окрестности особой точки голоморфное векторное поле общего положения голоморфно эквивалентно своей линейной части, но для полей не общего положения дело об -стоит значительно сложнее. [c.58]

Росток аналитического векторного поля общего положения в особой точке аналитически эквивалентен своей линейной части, как показывают сформулированные ниже теоремы. [c.77]

Замечание. Если собственного базиса нет, то для любого е>0 есть почти собственный базис, в котором матрица оператора верхнетреугольная и наддиагональные элементы по модулю меньше е. При достаточно малом е сумма квадратов-модулей координат в этом базисе — функция Ляпунова. Для особых точек общего положения собственный базис есть. [c.30]

Топологический тип Диффёрёнцйа льнбгб уравнёнйя в окр ности особой точки общего положения определяется линеаризацией поля в точке (теорема 1.1 ниже). Случаи более сложных особых точек обсуждаются в 2 и 5. [c.52]

Теорема ([4]). Число перегибов, исчезающих в морсовской особой точке общего положения, равно (га+1) [c.234]

Световая гиперповерхность есть объединение алгебраических проективных гиперповерхностей, принадлежащих различным слоям расслоения контактных элементов базового пространства. Для системы и точки общего положения эти алгебраические гиперповерхности неособы (в зтом случае они строго гиперболичны). Но в некоторых точках базового многообразия эти гиперповерхности могут становиться особыми. Изучение этих особенностей для типичных вариационных гиперболических систем и есть главная цель настоящей главы. [c.279]

Список вырождений. В. типичных двупараметрических семействах общего положения встречаются ростки векторных полей в особой точке, имеющие двукратное вырождения линейной части только одного из следующих Tjlex типов [c.26]

Седло по гиперболическим переменным одна гомоклини- ческая траектория. Векторное поле с вырожденной особой точкой типа седло по гиперболическим переменным может иметь любое конечное число гомоклинических траекторий особой точки такие поля встречаются неустранимым образом в однопараметрических семействах общего положения. Обозначим через р число гомоклинических траекторий вырожденной особой точки [c.112]

Теорема (о версальности). Росток однопараметрического семейства общего положения векторных полей We) на гомокли-нической траектории негиперболической особой точки—седла по гиперболическим переменным в R —топологически эквивалентен ростку одного из главных семейств О или 0 на гомоклини-ческой траектории поля или V . [c.115]

Решая систему трех уравнений др/дх = О, др/ду = О, A x,y,t) = О относительно ж, у мы получим момент и положение возникновения (или уничтожения) особой точки. Таким образом, мы получим более общее решение задачи, поставленной Ангер- [c.196]

Таким образом, найденные неавтомоделъныерешения полностью определяют течение на пластине, если задано еще одно дополнительное условие на заднем конце. Это могут быть величина давления, положение точки отрыва или особой точки /" = оо, а в общем случае условие стыковки с другой областью течения, расположенной вниз по потоку. [c.148]

В ряде работ было предложено решение уравнения движения машинного агрегата. В работе, посвященной исследованию движения при силах, зависящих от скорости и положения звена приведения, М. И. Бать (1950) решал это уравнение путем разложения в ряд по малому параметру и интегрирования при помощи степенных рядов. Им был разработан аналитический метод исследования работы плоского механизма при произвольном законе изменения заданных сил (1960). А. П. Бессонов разработал графический метод решения того же уравнения (1953) и провел общее исследование уравнения, качественным методом изучая его особые точки (1958). [c.377]

Например, резонансный случай п = i, а = —1 соответствует классификации особенностей и бифуркаций особых точек векторных полей на прямой, т. е. особых точек дифференциальных уравнений X = V (х) и их бифуркаций в конечнопараметрических семействах. Однопараметрическое семейство общего положения приводится гладкой (голоморфной) заменой переменной х, гладко (голоморфно) зависящей от параметра, и гладкой заменой параметра к виду X — х + е + с е) (при к параметрах ответ такой X = х -[- г х - -Ь. . . -f- ej -Ь с (е) [c.428]

Примеры. 1. Двумерная поверхность общего положения в симплектическом пространстве в окрестности каждой своей точки симплектически диффеоморфна поверхности Р2 Рг, Рз = Яз . . . = О (в координатах Дарбу). 2. На четырехмерном подмногообразии устойчиво встречаются линии эллиптических и гиперболических особых точек Мартине с нормальной формой [c.448]

Регулярные особые точки. Особая точка уравнения общего положения регулярна, если криминанта в ней не касается контактной плоскости. [c.38]

Для уравнения общего положения 1) особая точка порождающего векторного поля — невырожденное седло, узел или фокус, причем модули обоих собственных чисел узла и седла различны 2) собственные векторы линеаризации поля в особой точке не касаются ни криминанты, ни ядра складывания (направления оси р). [c.39]

Сборки. Кроме сложенных особых точек, уравнение общего положения, не разрешенное относительно производной, может иметь еще только один тип нерегулярных особых точек сборки складывания. Поле направлений на поверхности уравнения в такой точке неособо, но касается криминанты. Крими- [c.40]

В последних двух случаях особенность принадлежит не только к классу 2 , но и к 2 или 2 2. Мы же ограничимся классификацией 2 ° и рассмотрим первые пять возможностей, т. е. классификацию особенностей общего положения вне многообразия 2 > коразмерности 7 в прообразе (см. п. 1.4). Коразмерности множеств особых точек этих пяти типов равны соответственно 4, 4, 5, 6, 6. Особенность первого типа азывается эллиптической, второго — гиперболической, остальные три — вырожденными. [c.167]

Примеры индекс Маслова и первый класс Понтрягина. Пусть N — лагранжево иммерсированное подмногообразие в пространстве кокасательного расслоения многообразия W. Если эта иммерсия T W — общего положения, то особое множество проекции имеет в N коразмерность 1. Ока- [c.205]

Перегибы, исчезающие в морсовской особой точке. Пусть / (С", 0)- (С, 0)—росток фунюц ии с морсовсюой особенностью, [—его неособое малое шевеление (например, вида /-1-е). Рассмотрим гауссово (касательное) отображение многообразия У= /=0 , действующее из У в пространство всех аффинных гиперплоскостей в С". Особое множество 2 этого отображения пусто близи точки 0. Действительно, это множество соответствует точкам, в которых гессиан ограничения функции 7 на касательную плоскость к V имеет дефект 2. Но ранг гессиана полунепрерывен, а в исходной особой точке исходной функции / он ни для какой касательной гиперплоскости не меньше п—2. Итак, все особенности гауссова отображения поверхности V вблизи О — это морэновские особенности 5й. При этом в случае общего положения коразмерность осо- [c.233]

Если мы смотрим на поверхность из одной из самых особь точек (9, 10, 11), то слегка покачивая голову, мы можем ув деть поверхность такой, как это изображено в клеймах соста ленных О. П. Щербаком рисунков 14—17 [15]. В середине каз дого рисунка изображена бифуркационная диаграмма, образ ванная центрами проектирований не общего положения, отмечены области дополнения к ней, отвечающие разнь клеймам. [c.48]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...