Асимптотический метод малых

Отсутствие у символа оператора вещественных нулей позволяет в рамках асимптотического метода малых Л для построения внешнего решения т х) уравнения (22) распространить оператор на всю вещественную ось. Полученное таким образом уравнение применением преобразования Фурье легко сводится к следующему [c.283]

Видно, что данные, основанные на асимптотическом методе малых А , при не очень малых значениях А ближе к результатам [50], а при А 0.1 ближе к результатам [54]. Это закономерно, ибо метод ортогональных многочленов, примененный в [50], эффективен лишь при больших и средних А, а при малых А теряет устойчивость. В то же время вырожденное решение [54] эффективно лишь при очень малых А. [c.79]

Ниже подробно рассмотрим асимптотический метод малых Л , основанный на аппроксимации (17). В [5] для решения задач 1, [c.93]

При Л 2 формулы (13) дают погрешность не более 5%. Построим решение уравнения (4) при помощи асимптотического метода малых Л [8]. Основа метода — разбиение уравнения (4) на два [c.100]

В качестве примера приведем две формы приближенного решения, полученного [9] асимптотическим методом малых X, (гл. 1, 7) для случая/(г) [c.202]

Заметим, что в отличие от работы [19] асимптотический метод малых Х- может быть применен непосредственно к уравнению (2.4). [c.202]

Асимптотическим методом малых можно построить [19] приближенное решение задачи для плоского штампа, область контакта которого представляет собой в плане эллипс с круговым отверстием [c.203]

При малых S/a можно было бы для решения задачи с успехом применить асимптотический метод малых Я (гл. 1, 7). [c.205]

Асимптотический метод малых Я [c.112]

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД МАЛЫХ X [c.113]

Асимптотический метод малых Я. может быть также применен для исследования интегральных уравнений (9.3) и (9.5). Продемонстрируем это на примере уравнений (9.3), поскольку приведенные ниже результаты в частном случае будут справедливы и для уравиения (9.5). [c.258]

Заметим, что основное содержание методов малого параметра [34] и асимптотических методов [20] может трактоваться как исследование специфических бифуркаций и возмущений. Так, теория периодических движений Пуанкаре решает вопрос о рождении периодических движений от семейств периодических движений, теория квазилинейных систем с быстровращающимися фазами — вопрос о рождении интегральных тороидальных многообразий от многопараметрических семейств тороидальных многообразий, теория дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных исследует сингулярные возмущения решений дифференциальных уравнений и т. д. [c.267]

Метод усреднения принадлежит к асимптотическим методам исследований в теории нелинейных колебаний. Как уже было упомянуто, теперь эта теория достигла значительного совершенства. Изложенные выше приемы решения задач следует рассматривать как историческое введение к существующим методам, включающим стандартные формы уравнений колебательного движения слабо нелинейных систем, т. е. систем с малыми значениями е, рассмотренными выше, В настоящее время существует обширная литература, относящаяся к этой области механики. Отсылаем читателей к этим работам ). [c.294]

Асимптотические методы. В асимптотических методах для нахождения коэффициента интенсивности напряжений Кг применяют выражения, дающие распределение напряжений в малой окрестности вершины трещины (13.4). Если в результате решения получены надежные значения напряжений и перемещений точки (г, 0), близкой к вершине, то коэффициент Кх можно вычислить так [c.88]

Третью группу составляют работы, в которых решение строится методом малого параметра. В общем виде такой подход с доказательством сходимости рассмотрен в [1,93]. Различные конкретные задачи решались таким путем в [8, 63, 102, 148, 218, 219, 220, 237]. Допущение о малости параметров, входящих в функцию, описывающую неоднородность тела, существенно использовано в [30, 92, 161] для построения асимптотических решений. [c.43]

Аналитические методы статистического анализа нелинейных динамических систем условно можно подразделить на следующие 1) исследование на основе уравнений Фоккера—Планка—Колмогорова (ФПК) [42 и др. 1 2) характеристические функции на основе уравнений В. С. Пугачева [25, 68, 69] 3) статистическая линеаризация многомерных нелинейных функций И. Е. Казакова [33, 34, 54] 4) метод моментов [33, 74, 69] 5) семиинварианты (кумулянты) [251 6) метод малого параметра, усреднения и асимптотический метод [27, 50] 7) канонические разложения [85] 8) метод Винера [85 ] с использованием рядов Вольтерра и ортогональных спектров [85] и др. [c.144]

В дальнейшем будем считать, что параметры, характеризующие затухание системы и ее нелинейность, малы. Это предположение позволяет применить асимптотический метод, приведенный в работах [50, 81 и др]. [c.174]

Обобщенная координата системы f (t), a(t), % t), т) t) — стационарные независимые случайные функции времени с известными статистическими характеристиками. Предполагаем, что интенсивность возмущений % (t) я ц (t) не приводит к большим изменениям амплитуды А (t) и фазы If) выхода / (t) системы за период величины Ро и а малые и система узкополосна. Тогда выход системы будет близок к квазигармоническим колебаниям с медленно изменяющимися во времени амплитудой и фазой. В первом приближении, следуя асимптотическому методу, можно принять [c.199]

Для высокочастотных колебаний, когда толщина колеблющегося слоя достаточно мала, можно воспользоваться асимптотическим методом ВКБ, как и в случае анализа акустических уравнений. [c.201]

Точное аналитическое решение нелинейных задач теплопроводности обычно возможно лишь при определенных сочетаниях зависимостей теплофизических характеристик материала тела от температуры [7, 21]. Оно получается путем подстановок или функциональных преобразований уравнений (см. 2.1), и его целесообразно использовать как контрольное для оценки погрешности, которая получается при том или ином способе линеаризации. Для приближенного аналитического решения нелинейных дифференциальных уравнений разработаны методы последовательных приближений (простой итерации или усреднения функциональных поправок), возмущений (малого параметра), различные асимптотические методы [10]. [c.44]

В качестве методов выявления указанных выше типов решений системы (28) и исследования их устойчивости во многих случаях могут быть использованы классические асимптотические методы теории нелинейных колебаний. Например, в случае малой объемной концентрации мелкодисперсных фаз движение несущей среды может быть найдено независимо от движения частиц и пузырьков. Динамическое поведение последних удобно исследовать в переменных Лагранжа, после введения которых уравнения движения представляются в виде [4, 5] [c.110]

Последовательно решая уравнения метода малого параметра, найдем приближенные значения характеристических показателей (15) также в виде рядов по степеням (i,. В области асимптотической устойчивости действительные части всех характеристических показателей должны быть отрицательны. Отрезки границ областей неустойчивости, примыкающие к частоте найдем, приравняв нулю действительные части соответствующих характеристических показателей. [c.127]

В этом пункте описан асимптотический метод нелинейной механики в том виде, в котором он разработан в основном в трудах Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова [11, 12, 32]. Этот метод представляет собой одно из наиболее мощных средств современной прикладной математики. Он позволяет получать приближенные аналитические решения весьма сложных нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр е. Эффективнее всего применение асимптотического метода для построения приближенных решений нелинейных уравнений, которые при 8=0 вырождаются в линейные, описывающие гармонический колебательный процесс. [c.65]

Большинство методов малого параметра (например, метод Пуанкаре, метод усреднения, метод пограничного слоя) первоначально возникли при решении конкретных задач механики и физики, а затем были развиты и обобщены. Впоследствии многие из этих методов получили математическое обоснование например асимптотические методы нелинейной механики, а также метод усреднения обоснованы в работах Н. М Крылова и И. И. Боголюбова [II, 32]. [c.65]

Обычно члены Ri, Щ в (6.5.56) малы по сравнению с U и максимальным значением Ф. Это позволяет применить метод Пуанкаре или другие асимптотические методы. Периодические режимы в первом приближении метода Пуанкаре определяются соотношениями [c.392]

Применим для решения задачи (2.1)-(2.б) асимптотический метод, предполагая малой величину г]. При этом будут выяснены и условия, которым должны удовлетворять определяющие параметры (Рг, ш , X, Рй/р, А /Л) для того, чтобы условие малости р было выполнено. [c.176]

Для применения асимптотического метода будем считать величину и ее производную у малыми. Условия, при которых величина действительно мала в сравнении с характерным продольным масштабом жидкого слоя, определяются в процессе решения задачи. [c.187]

Полученный выше результат сводится к тому, что для интегралов с большой изменяемостью функция изменяемости определяется уравнением (П.2.6), а функция интенсивности — уравнением (П.2.7). Так как в (П.2.7) входит малый параметр е, то интегралы с большой изменяемостью можно строить асимптотическим методом, который в данном случае сводится к интегрированию уравнения (П.2.7) с помощью простого итерационного процесса, описанного в 1. [c.472]

Как уже отмечалось при изложении теории пограничного слоя в потоке несжимаемой жидкости, путь непосредственного интегрирования уравнений Навье — Стокса при тех значениях числа Рейнольдса, которые характерны для теории пограничного слоя первого приближения (уравнения Прандтля), в рассматриваемых случаях оказывается недоступным, причем не только для аналитического, но и для численного, машинного решения. На помощь приходят асимптотические методы (методы малых возмущений). Мы уже познакомились с частным случаем применения такого рода методов, когда рассматривали основной для теории пограничного слоя прием сшивания решений уравнений Прандтля с внешним невязким потоком ( 86). [c.700]

Основное значение асимптотических методов не сводится только к учету обратного влияния пограничного слоя на внешний невязкий поток, выражаюш,егося в искажении внешнего потока за счет оттеснения линий тока в нем от твердой поверхности, обусловленном подтормаживающим влиянием твердой стенки (вспомнить 105). Особо важно, что эти методы раскрывают природу других весьма важных физических явлений в сверхзвуковом пограничном слое, одним из наиболее существенных из которых является противоречащая, на первый взгляд, гиперболическому и параболическому характеру уравнений движения во внешней и внутренней областях пограничного слоя возможность распространения возмущений вверх по потоку. Механизм этого распространения становится ясным и получает количественное определение благодаря рассмотрению расположенной непосредственно на твердой поверхности подобласти малых скоростей, свободно пропускающей волны возмущений вверх по потоку. Этот эффект носит наименование свободного взаимодействия, а область пограничного слоя, где он имеет место,— области свободного взаимодействия. [c.702]

Первая задача, а именно задача о внезапном нагружении границы полости, была рассмотрена в двух работах. В первой из них Лессен использовал метод возмущений, в котором в качестве малого параметра была взята величина е. Во второй работе Чедвик2 применил асимптотический метод малых значений времени. [c.202]

Родственной представленным здесь задачам является задача определения деформаций и температур в окрестности сферической полости в неограниченном пространстве. Задача о внезапном нагреве границы тела с полостью была предметом двух работ. В первой работе Лессен использовал метод возмущений, во второй Чедвик ) применил асимптотический метод малых времен. [c.795]

Таким образом, размерность Хаусдорфа-Безиковича D при использовании метода покрытия кубиками, или квадратами характеризует свойства множества точек в пределе при /->0. Если вычислить при /->0 или найти значение ЩГ) при /- 0, то из соотношения (2.19) следует, что асимптотически при малых I размерность Хаусдорфа-Безиковича можно определить из соотношения [4] [c.96]

С широким внедрением ЭВМ и вычислительной математики аналитические методы в аэродинамике не утрачивают своего значения. Хотя число этих методов относительно невелико (размерностный количественный анализ, асимптотические методы, методы характеристик и малого параметра, линеаризация уравнений движения), тем не менее с их помощью можно решать многие прикладные задачи. Для инженерной практики важное значение имеет тот факт, что аналитическое решение определяет соответствующие зависимости от параметров в явном виде, в то время как в вычислительном эксперименте необходимо проводить значительное число однотипных расчетов, которые позволяют установить правильные количественные соотношения между газодинамическими характеристиками. [c.3]

Здесь в правые части уравнений перенесены те члены, существование которых приводит к отклонению движения системы от режима q = onst нетрудно видеть, что это — члены, явно содержащие q. Учитывая малость динамических ошибок, можно предположить, что на искомом режиме правые части уравнений (4.46) и (4.47) будут оставаться малыми по величине. Это обстоятельство можно было бы подчеркнуть введением в правые части в качестве множителя малого параметра, что позволило бы использовать для определения стационарного решения классический аппарат метода Пуанкаре, или асимптотические методы [11, 47]. [c.78]

В большинстве случаег определяют голько члены нуле1юго и первого приближения. Практически мате.матические ожидания в правых частях (214) вычисляются для специальных классов случайных возмущений и некоторых нелинейных функций ( ), Асимптотические методы Крылоиа — Боголюбова. Часто приходится исследовать колебательные системы со слабыми нелинейностями и малыми случайными возмущениями типа белого шума. Такие возмущенные системы обычно содержат [c.135]

Поскольку функция ф входнг в выражение для W под знаком интеграла, то можно ограничиться ее приближенным определением из уравнения (5), например и виде суммы небольшого числа гармоник илн небольшого числа членов ряда по степеням малого параметра. Поэтому изложенный подход естественно сочетается с асимптотическими методами н методами Пуанкаре —Ляпунова (см, п, 3 гл. И), Часто можно считать, что ip мало по сравнению с X (X мало по сравнению с вследствие исходного предположения). Наконец, во многих случаях допустимо учитывать лишь лннеПные члены в разло/Г<енин функции по степеням ф и ф, положив согласно (6) [c.242]

В технических устройствах отношение гП /т-1 - малая величина малы также перемещения X по сравнению с эксцентриситетом е. Это позволяет применить метод Пуанкаре или другие асимптотические методы теории нелинейных колебаний [2, 15, 17]. Наиболее прост так называемый нерезонансный случай, когда члены ТП2Х и Ьх одного порядка. Практически часто оказывается, что члены (ф), /Г(ф), sin. ф тоже одного порядка. При этом для стационарных движений метод Пуанкаре в первом приближении дает [c.390]

В середине 1950-х гг. Г. Г. Черный создал асимптотический метод интегрирования уравнений газовой динамики применительно к гиперзвуковым течениям с сильными ударными волнами. И тогда, и много позже, пока компьютеры и численные методы не достигли должного совершенства, этот метод оказался широко востребован. Во всем мире он вызвал появление обширной литературы, насчитыва-югцей сотни работ. Все основные качественные результаты теории гиперзвукового обтекания тел, подтвержденные затем результатами вычислительной газовой динамики, первоначально были получены методом Г. Г. Черного. Этим методом, с привлечением нестационарной аналогии, Г. Г. Черный исследовал особенности гиперзвукового обтекания тел с малым затуплением. Найденные им параметры подобия в настоягцее время считаются универсальными. Выполненное Г. Г. Черным исследование пространственного обтекания крыльев позволило ему дать полную классификацию возможных режимов гиперзвукового обтекания треугольных крыльев на больших углах атаки. [c.10]

Моделирования композита эквивалентной однородной средой бывает недостаточно для исследования локальных пластических деформаций или разрушения, дисперсии волн и решения других задач, определяемых как раз неоднородностью свойств материала по координатам 29). Из асимптотических методов, используемых для решения задач такого типа, наибольшее распространение и обоснование получили метод гомогенизации 30) и метод Бахвалова —Победри [31, 32]. Главная идея метода гомогенизации состоит в использовании в качестве малого параметра характерного размера ячейки, при этом предполагается, что решение статической краевой задачи теории упругости представляет собой медленно меняющуюся функцию координат, на которую накладываются локальные периодические пульсации. Метод Бахвалова —Победри основан на разделении медленных и быстрых переменных в аналогичных задачах. [c.19]

Асимптотические методы теории малых возмущений показывают, что на больших расстояниях от профиля влияние малых второго порядка становится существенным уже в первом приближении и искажает картину течения на рис. 95. Характеристики иекрив-.чяются и перестают быть параллельными между собой. См. М. Ван-Дайк, Методы возмущений в механике жидкости, Мир , М., 1967, стр. 147—161. [c.219]

Данная монография вносит фундаментальный вклад в развитие механики многослойных резиноармированных конструкций. В ней предложен новый подход, основанный на двумерных моделях деформации эластомерных и армирующих слоев, поскольку они являются тонкими, в результате синтеза этих моделей создана дискретная теория композитных эластомерных конструкций, где деформация каждого слоя описывается своими у )авне-ниями, а порядок общей системы уравне 1ий пакета зависит о т числа слоев. Для вывода определяющих уравнений деформации резиновых и армирующих слоев и конструкции в целом последовательно применяются асимптотические методы, испол >зую-щие малую толщину слоев, при этом общая толщина пакета не предполагается малой. [c.4]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...