Общий случай задачи трех тел

Зная периодические члены, находим Яо и Со зная чисто вековые члены, находим щ и, следовательно, v. Таким образом, приходим к доказательству некоторых свойств разложений (21), т. е. разложений, полученных методом Лагранжа. Эти свойства являются намного более простыми по сравнению со свойствами общего случая задачи трех тел. Эта относительная простота легко объясняется отсутствием переменных, аналогичных и л, так что Fo зависит от п переменных из 2п. [c.157]

Вернемся к общему случаю задачи трех тел. В 104 мы показали, что общий член разложения неизвестных имеет вид [c.171]

ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ [c.228]

Это имеет место для многочлена А в общем случав задачи трех тел. Когда наклонность равна нулю, многочлен А является разложимым, и в этом случае теорема Пикара также применима. [c.422]

Как уже отмечалось, предположения А-Е выбирались так, чтобы развиваемая теория была применима к одному частному случаю задачи трех тел, который будет рассмотрен в 3. Однако можно поставить целый ряд вопросов, остающихся пока открытыми, но несомненно представляющих интерес и с точки зрения общей теории нелинейных колебаний. [c.81]

Теорема Зундмана, о которой шла речь в первой главе, представляет собой наиболее далеко идущий результат но общему решению задачи трех тел. К сожалению, полный блестящих идей метод Зундмана пе распространен па случай п > 3. Как показывает более подробное исследование, это происходит но той причине, что хотя одновременное столкновение всех п тел в одной точке можно исключить в соответствии с результатами 6, по даже нри одновременном столкновении только трех из п тел получается существенная особенность. [c.126]

Идя навстречу многочисленным пожеланиям, авторы внесли новые главы, освещающие дополнительные разделы курса теоретической механики. Это потребовало увеличения объема книги, в связи с чем настоящее издание выходит в трех томах. Первые два тома охватывают материал, отвечающий основному курсу теоретической механики, а третий содержит дополнительные главы. Это вызвало необходимость перенести из первого тома в третий том раздел, в котором рассматривалась кинематика точки в относительных координатах (задачи преследования). Одновременно в первый том включены новые разделы кинематика колебательных движений и общий случай движения твердого тела. [c.8]

Рассматривая пространственные симметрические движения в задаче трех тел для общего закона взаимодействия, Ю. Д. Соколов установил, что, за исключением легко интегрируемого случая / (г) = Аг, единственно возможными видами таких движений являются указанные П. В. Воронцом вращения равнобедренного треугольника вокруг своей оси симметрии и оси, па-раллельной основанию, а также плоское движение с осью симметрии в соответствующей плоскости. Им исследованы плоские и пространственные томографические движения в задаче трех тел для общего закона взаимодействия. В частности, он доказал невозможность гомографического движения для степенного закона взаимодействия, отличного от закона Ньютона. [c.111]

Еще более общий случай ограниченной задачи трех тел мы получим, если допустим, что Ai, и А , т ) движутся относительно их барицентра С не по окружностям, а по каким-то иным коническим сечениям. [c.259]

Классический случай ограниченной задачи трех тел мы будем отмечать просто как частный случай более общей задачи. [c.210]

Мы предпочитаем трактовать ограниченную задачу трех тел как частный случай общей задачи, а поэтому поставим сначала общую задачу трех материальных точек и выпишем соответствующие уравнения движения. [c.210]

Общий случай ограниченной задачи трех тел [c.548]

Ограниченная задача трех тел — это задача о движении материальной точки Р с нулевой массой, притягиваемой по закону Ньютона двумя другими материальными точками Pq и Pi, имеющими отличные от нуля массы 1 — (х и ц и движущимися по кеплеровским орбитам вокруг общего центра масс. Ограниченная круговая задача трех тел является частным случаем этой задачи. [c.548]

Теорема 3 и сс следствие позволили получить ответ иа ряд теоретических вопросов небесной механики, из которых вопрос о полном захвате, вероятно, наиболее интересен. Тем не менее, целый ряд проблем, как у ке было отмечено в части 1, остается не решенным. Применительно к рассматриваемому здесь примеру это, в первую очередь, вопрос о мере множеств осциллирующих движений 03+. Кроме того, было бы чрезвычайно интересно распространить эти результаты на случай полномерного фазового пространства задачи трех тел, не говоря уж об общей задаче п тел. [c.103]

Можно прийти к весьма простому для рассмотрения предельному случаю названной задачи, если исходить вместо общей задачи трех тел из так называемой ограниченной задачи трех тел. Последняя есть частный случай плоской задачи трех тел, в которой масса точки Р3 равна пулю, а точки Рх, Р2 описывают окружности . Чтобы получить дифференциальные уравнения движения для точки Р3, введем в заданной плоскости вращающуюся систему осей с началом в центре инерции точек Р1 и Р2, так что точки Рх и Р2 относительно повой системы координат будут неподвижными. Без ограничения общности можно принять, что угловая скорость и = 1 в силу уравнений (12 5) для прямоугольных координат Х2к-1, Х2к точки Рк к = 1, 2, 3) во вращающейся системе координат получаются следующие дифференциальные уравнения [c.168]

Арнольд распространил эти результаты о квазипериодических движениях для плоской задачи трех тел на общий трехмерный случай и даже для задачи N тел при N 3. В принципе доказательства основаны на идеях, развитых в предыдущих параграфах, хотя приходится сталкиваться с трудностями, которые обусловлены вырождением системы при д = О, приводящим к нарушению условия (20), равно как и условия (23). Более того, некоторые из частот квазипериодических решений стремятся к О при и 0. Эти трудности преодолеваются при помощи более тонкой аппроксимации подробные доказательства см. в [5,7]. Пз недавних книг, в которых обсуждаются вопросы устойчивости, обратим внимание читателя на [9,10]. [c.357]

Таким образом, общая задача трех тел, описываемая девятью дифференциальными уравнениями второго порядка, сводится к трем дифференциальным уравнениям второго порядка, т. е. порядок системы понижается от 18 до 6. Если задачу ограничить еще больше, потребовав, чтобы третье тело двигалось в плоскости орбит двух массивных тел, то останется только два уравнения второго порядка, так что система будет иметь четвертый порядок. Такой частный случай называется плоской ограниченной круговой задачей трех тел. Из приведенных выше рассуждений становится понятным, почему пространственной и плоской ограниченной круговой задаче трех тел было посвящено большое число аналитических и численных исследований, хотя при такой постановке задачи мы волей-неволей лишаем себя воз.можности использовать десять известных интегралов движения. Однако при этом можно найти новый интеграл (впервые полученный Якоби), который будет полезен при исследовании поведения малой частицы. [c.146]

Рассмотрим движение твердого тела, закрепленного в одной точке. В этом случае тело не может совершать поступательного движения, так как скорость одной его точки всегда равна нулю, и движение можно представить как вращение вокруг мгновенной оси, которая изменяет свое положение и в теле, и в пространстве, но все время проходит через неподвижную точку тела. Мы могли бы выбрать три неподвижные оси, проходящие через эту точку, и написать уравнения моментов (13.25) относительно этих трех осей. Однако положение этих осей в теле, вообще говоря, будет изменяться, и связь между моментами импульса относительно трех осей и скоростями точек тела будет сложной. С другой стороны, если мы выберем оси, жестко связанные с телом, то связь между моментами импульса относительно этих осей и скоростями точек тела будет достаточно простой, но определение характера движения этих осей окажется сложной задачей. Поэтому мы не будем рассматривать в общем виде задачу о движении тела, имеющего одну закрепленную точку, а ограничимся только специальным, но важным случаем, когда тело быстро вращается вокруг мгновенной оси, а требуется определить, как будет двигаться эта ось под действием внешних моментов. [c.446]

При некоторых специальных начальных условиях можно получить очень простое решение задачи трех тел (случай Лагранжа), представляющее большой интерес для астрономии. Частным случаем задачи трех тел является так называемая ограниченная задача трех тел, в которой два тела конечной массы движутся вокруг центра инерции по эллиптическим орбитам, а третье тело имеет бесконечно малую массу. Для ограниченной задачи удалось построить разнообразные классы периодических движений (периодические орбиты Пуанкаре, Шварцшильда и др.). Для общего случая задачи трех тел подробно изучены предельные свойства движения при -> -ь оо и [c.6]

Мы ограничимся специальным частным случаем задачи трех тел, а именно тем, в котором одна из трех масс исчезающе мала, и, кроме того, обе конечные массы движутся по окружностям вокруг общего центра инерции. Двхгжение обоих этих тел, на [c.353]

С целью обойти трудности, связанные с большой размерностью фазового пространства, А. Н. Колмогоров предложил в 1954 г. изучить один частный случай задачи трех тел, в котором соображения симметрии позволяют свести задачу к системе с двумя степенями свободы. Подробнее мы рассмотрим эту систему в одной из следующих частей, а сейчас ограничимся лишь упоминанием о результатах, которые удалось на этом пути получить. Во-первых, К.А.Ситников [29] в 1959 г. доказал для этого примера (а, следовательно, и для общей задачи трех тел) существование осциллирующих движений (0S). которые были введены Шази как чисто логическая возможность, которую приходится терпеть, коль скоро не удается ее отвергнуть. Строго говоря, рассуждения К. А. Ситникова относятся лишь к одностороннему поведению решений, но соображения симметрии позволяют показать существование решений типа 08 П 05+, что и отражено в табл. 2. А. Н. Колмогоров показал, что в основе рассуждений Ситникова лежит весьма простая геометрическая конструкция и высказал в связи с этим гипотезу о строении границы областей НЕ ,, упомянутую выше. Затем автору удалось показать, что в рассматриваемом примере применимы методы символической динамики это позволило доказать непустоту классов НЕ П В+, НЕ П 08+, В П 08 , 08 П В+. К сожалению, в все построенные примеры лежат на подмногообразии высокой коразмерности, что не позволяет судить о мере соответствующих подмножеств. Все же каждое из них содержит континуум (в смысле мощности) траекторий. [c.51]

Еще в 1878 г. Ф. А. Слудский высказал без доказательства теорему о том, что необходимым условием общего соударения свободных материальных точек, взаимно притягивающихся по закону Ньютона, является аннулирование всех постоянных интегралов площадей в движении системы относительно ее центра инерции. Подобную мысль высказал и К. Вейерштрасс Он показал, что при отличной от нуля нижней границе минимума взаимных расстояний точек системы координаты этих точек являются голоморфными функциями времени в полосе комплексной i-плоскости, ограниченной двумя симметричными относительно действительной оси прямыми. Исследуя вопрос о существовании соответствующих начальных условий движения, он пришел к заключению, что по крайней мере для задачи трех тел такие начальные условия не только существуют, но и представляют собой общий случай, в то время как парное и, тем более, общее соударение точек в конечный момент может произойти только при особых условиях. Вейерштрасс без доказательства также заметил, что координаты точек системы разлагаются в окрестности момента парного соударения t = в ряды по целым положи-J тельным степеням (fj — i) и зависят от бге — 2 произвольных постоянных. Эту теорему доказал П. Пенлеве . Он показал также, что если движение в классической задаче п тел, регулярное до момента ti, в этот момент нарушает регулярность, то минимум взаимных расстояний точек при t-у ti стремится к нулю. Если п = 3, то единственной особенностью движения может быть только парное или общее соударение тел в момент Если и 3, могут быть и такие особенности, когда некоторые из взаимных расстояний, не стремясь ни к каким определенным пределам при t ti, осциллируют в каких угодно границах. П. Пенлеве установил, что начальные условия движения, соответствующие парному соударению, должны удовлетворять определенным аналитическим соотношениям, однозначным относительно координат и алгебраическим относительно скоростей, если по крайней мере массы трех точек отличны от нуля. Найти эти условия удалось Т. Леви-Чивита и Г. Бискончини . Однако эти условия выражаются очень сложными рядами и могут быть использованы непосредственно только в случае, когда соударение происходит через весьма малый промежуток времени после начального момента. [c.112]

Исследуя случай общего соударения в задаче трех тел, Сундман доказал теорему Слудского—Вейерштрасса, а также показал, что при приближении к моменту общего соударения конфигурация, образованная точками, приближается к одной из двух конфигураций, характеризующих решения Лагранжа. [c.113]

Изучая условия общего соударения в задаче п тел, Ж. Шази пришел к заключению, что при приближении к моменту удара отношения взаимных расстояний стремятся к определенным пределам, зависящим от отношений масс, и что нри этом существуют предельные конфигурации системы. Заключение Шази основывается на постулате, который ему удалось доказать только для п — 3 и п = 4. Для задачи п тел Шази доказал теорему Слудского — Вейерштрасса, а также исследовал параболические траектории этой задачи. Ж. Шази 2 принадлежат обобщения метода Сундмана на случай взаимного притяжения обратно пропорционально кубам расстояний и установление классификации движения при неограниченном возрастании времени в классической задаче трех тел. [c.114]

Дальнейшее развитие проблемы п тел принадлежит Ю. Д. Соколову многочисленные исследования которого посвящены изучению особых траекторий системы свободных материальных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся с силами, пропорциональными произвольной функции взаимных расстояний. Соколов обобщил на случай произвольных сил взаимо-114 действия в задаче п тел теорему Пенлеве о минимуме взаимных расстояний, теорему Шази о парном соударении в неизменяемой плоскости, теорему Дзио-бека о движении точек в неподвижной центральной плоскости при аннулировании кинетического момента системы относительно ее центра масс и теорему Слудского—Вейерштрасса об общем соударении тел. Он установил нижнюю границу радиусов сходимости разложений координат точек системы около момента регулярного движения. Обобпщв уравнение Лагранжа — Якоби, он исследовал поведение квадратичного момента инерции при стремлении t к некоторому особому моменту ti или оо. Соколов изучил траектории парного соударения в общей задаче трех тел, исследовал характер особых, Точек интегралов прямолинейного движения. Рассматривая ограниченную задачу трех тел в обобщенной постановке, он исследовал поведение искомых функций и доказал существование решения задачи, установил инвариантное соотношение, характеризующее условие соударения. Результаты этих исследований Соколов успешно применил к решению задач о притяжении к неподвижному и равномерно вращающемуся центрам. [c.114]

Однако один частный, или, лучше сказать, специальный случай ограниченной круговой задачи трех тел оказывается вполпе интегрируемым, и общее решение задачи в этом специальном случае может быть написано в квадратурах. Мы имеем в виду так называемую задачу двух неподвижных центров, которая была проинтегрирована еще Эйлером и с тех пор неизменно привлекала к себе внимание многих механиков и математиков. Задача двух неподвижных центров заключается в определении движения материальной точки нулевой массы , притягиваемой двумя конечными неподвижными точечными массами, но не оказывающей на них никакого влияния. Поэтому эту задачу можно рассматривать как специальный случай ограниченной задачи, в котором только две конечные массы остаются неподвижными, не только в относительной, но и в неизменной системе координат. [c.774]

Наряду с общей задачей , в которой все массы предполагаются положительными, рассматриваются и предельные случаи, когда в уравнениях (1) некоторые из та полагаются равными нулю. На физическом языке это означает, что мы пренебрегаем влиянием соответствующих тел на движение остальных. В этой ситуации говорят обычно об ограниченной задаче . Особенно известной является задача о движении тела пулевой массы ( планетоида или астероида ) в поле тяготения, создаваемом двумя телами, обращающимися по круговым орбитам вокруг общего центра масс, причем все три тела все время находятся в одной и той ке плоскости. Собственно говоря, Пуанкаре именно этот случай назвал ограниченной задачей трех тел , но теперь он часто именуется более пространно — ограпичсипой плоской круговой задачей , в отличие от ограниченной эллиптической задачи и прочих. Если приравнять нулю все массы, кроме одной, то мы получим идеальную планетную систему , в которой тела нулевой массы ( планеты ) обращаются около одного тела ( Солнца ) по чисто кеплеровским орбитам, не оказывая друг на друга никакого влияния. В классической небесномеханической теории возмущений этот случай выступает в качестве нулевого при-бли кения. [c.19]

В предельном случае р = О, 5 = О получаются решения Хилла, которые были выведены в предыдущем параграфе, где рассмотрение рекуррентных формул для коэффициентов было более простым, потому что вместо I входило 21 и отсутствовала особенность при I = 1. При ( = ОиО<р<1 получаем ограниченную задачу трех тел, в которой масса Лупы равна пулю. Для этого случая периодическое решение было найдено Брауном [2] по методу Хилла. Полученное памп общее решение было найдено Мультопом другим способом, а имеппо, с помощью метода малого параметра Пуанкаре. Этому методу посвящен следующий параграф. [c.185]

Закончим этот параграф применением наших результатов к ла-гранжевым решениям ограниченной задачи трех тел. Эти решения, которые мы изучали применительно к общей задаче трех тел, сохраняют свое значение также и для ограниченного случая. Мы предполагаем, что Pi, Рг — частицы масс /i, 1 — соответственно, и рассматриваем движение точки Рз нулевой массы во вращающейся системе координат, в которой Pi, Р2 неподвижны. При этих условиях уравнения для координат (xi, Х2) точки Р3 имеют гамильтонов вид [c.330]

Возвращаясь опять к случаю тесной двойной, сопровождаемой удаленной третьей звездой, нетрудно видеть, что элементы орбиты спутника относительно главной звезды будут изменяться. Поскольку возмущающая функция задачи оказывается малой, можно использовать уравнения Лагранжа для построения общей теории возмущений, дающей изменения (коротко-, длиннопериодные и вековые) элементов орбиты. Преимущественно используются разложения, применяемые в теории Луны, что становится понятным, если напомнить, насколько полезными оказываются координаты Якоби как в теории Луны, так и в задаче трех тел. [c.468]

При решении многих задач космической баллистики целесообразно упростить исследование за счет принятия дополнительных допущений. Во-первых, применительно к конкретным задачам межпланетного полета можно выделить небесные тела, оказывающие наибольшее влияние на движение КА, и тем самым ограничить число гравитнрующих тел в общей задаче. В частности, практический интерес представляет случай трех тел (п = 3), получивший название задачи трех тел. Необходимость решения агой задачи была вы юана реализацией в 60-е гг. XX в. лунной программы и полетов Земля—Луна—Земля. В качестве рассматриваемых трех тел принимаются КА, Луна и Земля. По- [c.87]

В настоящей работе приводятся решения некоторых задач о гетерогенном каталитическом горении на поверхности тела (пластина, конус), омываемого безграничным или струйным ламинарным потоком газа малой или большой скорости. Для случая безграничной пластины обсуждается также решение для турбулентного пограничного слоя. Для движения газа с большой скоростью дается анализ картины перераспределения полной энергии для самого общего случая взаимонало-жения трех кинетических процессов — теплопроводности, внутреннего трения и диффузии. Даны постановка и решение новых задач о горении турбулентных струй неперемешанных газов (задачи о крае струи и о спутных потоках). При этом рассмотрение ведется для случая конечной скорости реакции. [c.158]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...