Сравнение с вариационным расчетом

Проекционные методы имеют более широкое применение по сравнению с вариационными, которые могут быть сведены к адекватному выбору базисных функций. Однако, когда это возможно, представляется интересным использовать принцип виртуальных перемещений, поскольку он дает физическую интерпретацию, помогающую определить некоторое число глобальных величин с минимумом дополнительных расчетов и, что особенно важно, с высокой точностью, достигаемой за счет соответствия между физической сущностью этих величин и вариационным аспектом (часто энергетическим) метода расчета. Рассмотрим вариационные формулировки, а затем проекционный метод, называемый методом Галеркина, и проведем параллель между этими представлениями [c.14]

Таким образом, сочетание интегрального преобразования Лапласа с вариационным методом дает во втором приближении решение, которое для плоского слоя термоизоляции с заданной температурой на внешней поверхности и идеально теплоизолированной внутренней поверхностью обеспечивает приемлемое совпадение с первыми двумя членами точной формулы (3.66). Дальнейшее уточнение приближенного решения для общего случая слоя термоизоляции с криволинейной поверхностью нерационально, так как трудоемкость получения третьего и последующих приближений резко возрастает по сравнению с трудоемкостью получения второго приближения. При необходимости для получения более точных результатов целесообразно использовать дискретную модель нестационарного процесса кондукции и соответствующие численные методы расчета [12]. [c.112]

Основное содержание работы связано с изложением иной концепции построения сеток, развиваемой, главным образом, в работах российских ученых в течение 30 лет [1]. Главная особенность подхода связана со специальным способом формализации критерия (Р), приводящему к нелинейному вариационному функционалу, в который входят как первые, так и вторые частные производные функций, реализующих отображение. Этот непрерывный функционал появляется естественным образом после рассмотрения дискретного функционала, минимизирующего меру относительной погрешности неравномерной сетки по сравнению с равномерной. Такая формализация приводит к системе уравнений Э-0 четвертого порядка, гиперболической в широком смысле. Это позволило рассмотреть новые более широкие типы краевых условий, а также разработать эффективные алгоритмы и программы построения сеток для весьма сложных областей. Экономичные и эффективные процедуры расчета сеток связаны с применением итерационных процессов, использующих как специальную нестационарную модификацию уравнений Э 0, так и прямые геометрические способы минимизации дискретных функционалов, формализующих все три критерия оптимальности. [c.513]

Во-вторых, нельзя не отметить, что вариационные методы решения задач обработки давлением при исключительной трудоемкости решений не отличаются какими-либо особыми преимуществами в смысле научной строгости по сравнению с другими методами. Во всяком случае, эти методы не могут претендовать на абсолютную универсальность их применения, и в ряде конкретных случаев другие методы дают возможность избежать тех относительно громоздких вычислений, с которыми неизбежно связано применение вариационных методов расчета. [c.188]

Ранее отмечалось, что вариационные методы оказываются особенно полезными в односкоростных задачах из-за того, что операторы для потока в этом случае являются самосопряженными. В интегральном уравнении переноса для полного потока с изотропным рассеянием операторы в точности самосопряженные (см. разд. 6.1.8). Вариационные расчеты оказались очень ценными при нахождении наиболее точных критических размеров для простых систем в течение многих лет они служили в качестве стандартов при сравнении с другими расчетными методами [23]. Ниже приводятся два примера на расчет критичности и один — на решение неоднородной задачи с источником. [c.232]

В настоящей главе изучение движения простейшей модели снаряда в виде одномерного движения материальной точки обобщено на случай двух- и трехмерного движения. Отсюда естественно возникает проблема оптимизации траектории, которая оказывается тесно связанной с целым рядом смежных проблем. Простейшей задачей из этого круга проблем является задача определения оптимального управления, когда динамические характеристики снаряда заданы и требуется найти такую траекторию, которая оптимизирует некоторую заданную величину. Для случаев, когда поле сил зависит от скорости и координат снаряда, дана общая постановка задачи оптимизации траектории, а в случаях, когда силовое поле однородно или когда сила зависит от расстояния линейно, оказывается возможным получить решение в замкнутой форме. Это особенно важно в применении к баллистическим снарядам (нанример, снарядам дальнего радиуса действия класса земля — земля или носителям спутников), где расстояние, проходимое за время выгорания топлива, мало по сравнению с земным радиусом. Простой и в то же время почти оптимальной траекторией в этих случаях оказывается траектория гравитационного разворота при движении снаряда в плотной атмосфере и затем переход на траекторию, определяемую соотношением (2.6). Хотя точного решения уравнений движения по траектории гравитационного разворота не существует, все же можно построить ряд графиков, позволяющих во многих случаях подбирать требуемые значения параметров. Если ограничиться лишь получением решений, удовлетворяющих условию стационарности, то обычными методами вариационного исчисления можно исследовать те задачи оптимизации, в которых масса снаряда, программа скорости истечения и время выгорания, так же как и программа управления, являются варьируемыми функциями. Для того чтобы найти решения, являющиеся действительно максимальными или минимальными в определенном смысле, нужно проводить специальное исследование каждого отдельного случая, так как не всегда решение, удовлетворяющее требованию стационарности, является оптимальным, и наоборот. В тех задачах, где скорость истечения есть известная функция времени, как, например, это имеет место в жидкостных ракетных двигателях, из анализа следует лишь то, что оптимальной программой для М ( ) будет, как правило, программа импульсного сжигания топлива. Поэтому для получения практически интересных результатов необходимо проводить более глубокий анализ, с учетом таких факторов, как параметры двигателя, топливных баков и т. д., при одновременном учете характера траектории полета снаряда. Для выполнения такого рода анализа используется схема расчета, где анализ различных элементов Конструкции и групп уравнений (одной [c.63]

Точное решение задачи об определении оптимальной формы тела, при обтекании которого потоком газа с большой сверхзвуковой скоростью полный тепловой поток будет минимальным, связано как с вычислительными, так и с принципиальными трудностями. Поэтому в настоящее время широко используется обратный метод, основанный на сравнении тепловых потоков для разных тел заданной формы [1, 2]. Результаты таких расчетов не могут заменить решение вариационной задачи. Поэтому представляется целесообразным рассмотреть вариационную задачу об определении формы тела с минимальным тепловым потоком, используя приближенную формулу Ньютона для нахождения газодинамических параметров на границе пограничного слоя. Такой подход использовался для нахождения формы тела минимального сопротивления в идеальном газе [3-5] и с учетом силы трения [6], а также для определения формы тонкого плоского профиля с минимальным тепловым потоком при заданных аэродинамических характеристиках [7]. [c.520]

Наиболее распространены прочностные характеристики, и поэтому большая часть существующих методов расчетов и испытаний оценивает прочность материалов, конструкций и их элементов. Однако с физической точки зрения энергетические характеристики имеют важные преимущества перед прочностными. В связи с дополнительными соотношениями, которые вытекают из закона сохранения энергии, можно рассчитать энергетический баланс процессов деформации и разрушения можно определить направление (тенденцию) процесса из вариационных принципов, устанавливающих признаки действительного движения или состояния системы по сравнению со всеми другими кинематически возможными движениями или состояниями. [c.67]

На рис. 1(16 графически представлена зависимость отношения удельного давления к сопротивлению деформации от формы сечения (отношения Ь/к) при различных коэффициентах трения. Из сравнения этого рисунка с рис. 112 видно, что результаты расчетов по методу решения приближенных уравнений равновесия и уравнения пластичности и по вариационному методу близки между собой при значениях / 0.2 и й/А 12. [c.264]

Вариационный метод применялся Шердом и Зай-маном (см. работу Бермана и др. [30]) для оценки теплопроводности в условиях, когда существенны только Ы-процессы и точечные дефекты описание этого метода давалось в п. 1 2 гл. 6. Предположение о выполнении упомянутых условий для любого данного вещества ограничивает применение расчетов очень узкой областью температур. Результаты расчетов выражаются через отношение полной теплопроводности к теплопроводности, которая была бы при той же концентрации дефектов, но при условии, что распределение фононов определяется Ы-процессами, а точечные дефекты участвуют только в резистивном рассеянии. Это отношение равно 1, когда рассеяние на дефектах очень слабое, и растет по мере того, как растет роль дефектов при определении величины теплопроводности. Конечно, сама теплопроводность не возрастает при увеличении числа дефектов, но она уменьшается медленнее, чем в случае, когда П-про-цессы остаются наиболее существенными для теплопроводности при всех концентрациях дефектов. Проводилось сравнение с экспериментальными значениями теплопроводности для целого ряда кристаллов, содержащих точечные дефекты в виде как чужеродных атомов, так и атомов изотопов (в случае фторида лития). Расчеты должны быть справедливы при температурах порядка 0/20, и при таких температурах действительно наблюдалось очень хорошее согласие. [c.133]

Анализ результатов расчетов. По описанной методике выполнены расчеты для композитного материала, армированного двумя волокнами конечных размеров. С целью повышения скорости сходимости вычислительных процессов и повышения точности полученных результатов расчетов решение дискретных задач выполнялось комбинированным способом на последовательности сгущаемых сеток. Указанный способ решения дискретных задач заключается в следующем сначала в расчетной области вводится сетка с минимальным количеством узлов, которая позволяет получить качественную картину решения затем выполняется решение дискретной задачи прямым методом (метод Холецкого, метод итерирования подпространств) далее выполняется уплотнение сетки по каждому из направлений с последующей интерполяцией полученных результатов решения в дальнейшем решение дискретной задачи выполняется градиентным методом (метод сопряженных градиентов, метод градиентного спуска), для которого в качестве начального приближения используется решение, полученное на предыдущем этапе. Сходимость градиентных методов, являющихся методами вариационного типа, сильно зависит от качества начального приближения. Поскольку, прямые методы на небольшой сетке позволяют быстро и точно получить качественную картину решения дискретной задачи, указанный комбинированный способ позволяет в несколько раз (по сравнению с традиционными процедурами реализации расчетов) снизить время, необходимое для получения решения задач, повысить точность полученных результатов, а также снизить требования к вычислительным ресурсам. [c.337]

Выражение (116) no форме совпадает с (1), отличаясь от него использованием квантовомеханической плотности вероятностей Поэтому при фиксированных значениях и Яг для оценки Е] (ai, аг) можно использовать метод Метрополиса и др. В соответствии с вариационным принципом наилучшими значениями этих параметров являются те, при которых энергия минимальна. Выполнив серию расчетов с различными значениями и аг, Мак-Мпллан нашел оптимальные величины этих параметров при экспериментальном значении плотности жидкого Ще при О атм и О К. Эти значения составляют примерно = 2,6 А, Сг = 5 соответствующее минимальное значение ЕIf примерно на 18% превышает экспериментальное. При увеличении плотности вплоть до плотности при фазовом превращении жидкость — твердое тело при 25 атм и выше параметр оставался фиксированным и равным 5, а параметр варьировался таким образом, чтобы минимизировать дг при каждом значении плотности. Разрыв в полученной таким образом кривой зависимости ai от плотности интерпретировался как следствие превращения жидкость — твердое тело. На фиг. 1 и 2, взятых из статьи Мак-Миллана, изображены найденная кривая зависимости энергии от плотности и вычисленная радиальная функция распределения при экспериментальной плотности при нулевом давлении здесь же для сравнения приведены экспериментальные данные. Согласие весьма обнадеживающее, если учесть, насколько простая форма пробной волновой функции (114) использовалась в расчетах. Много подобных расчетов независимо проводилось различными авторами [81, 39] при этом были получены такие же результаты. [c.319]

В. Н. Кагпорр и J. С. Fung [1.2181 (1970) исследовали свободные колебания консольных балок Тимошенко переменной толщины. Масса балки принимается сосредоточенной в дискретных точках. Уравнения движения, полученные вариационным путем, записаны в матричной форме. Задача сведена к нахождению собственных значений симметричной матрицы порядка п, где м —число разбиений балки. Построена итерационная схема расчета верхних границ собственных значений. В качестве примера рассчитаны собственные частоты и формы колебаний балки Тимошенко (пять первых частот) и усеченного клина (три первые частоты). Приведены результаты сравнения с известными точными решениями, получено достаточно хорошее совпадение. [c.94]

Расчет электродинамических характеристик трехмерных оптических волноводов по сравнению с планарными волноводами значительно сложнее. Данные задачи решаются с применением различных приближенных методов. Для прямоугольных трехмерных волноводов находят применение приближенный анализ Маркатили, метод Гоелла [1]. Эффективными для приближенного расчета дисперсионных характеристик и распределения полей трехмерных волноводов являются метод эффективной диэлектрической проницаемости, вариационный метод, метод конечных элементов. Сравнение данных методов при расчете трехмерных микроволноводов показывает, что наиболее точные результаты дает метод конечных элементов. [c.147]

Один из результатов вариационного расчета Ч всз заключается в том, что характерный пространственный размер волновой функции пары ) очень велик по сравнению с расстоянием между электронами. Грубую оценку величины 1о можно провести следуюш им образом. Парная волновая функция Ф (г), повидимому, представляет собой суперпозицию одноэлектронных уровней с энергиями, лежащ ими в области порядка Д вблизи р, поскольку, как показывают туннельные эксперименты, вне этой области энергий плотность одноэлектронных уровней имеет почти такой же вид, как и в нормальном металле. Поэтому разброс импульсов одноэлектронных уровней, участвующих в образовании пар, задается условием [c.356]

Обобщенный смешанный метод, предложенный И. Г. Тере-гуловым [161, 160], позволяет независимо варьировать не только скорости напряжений и смещений, но и их интенсивности, что может упростить технику приближенного решения задач. На основе вариационного уравнения, полученного методом, изложенным в [292], выпучивание продольно сжатой цилиндрической панели с начальным прогибом исследовалось в работе [60]. Сравнение результатов расчета деформаций ползучести цилиндрической оболочки, рассчитанных на основе уравнений [292] при задании линейного закона распределения напряжений по толщине, с деформациями ползучести, рассчитанными на основе линеаризованных уравнений [87], проводились для оболочки с симметричным начальным прогибом в [c.274]

Рис. 44. Тепловой поток между параллельными пластинами. Сравнение вариационной теории [53] с экспериментальными данными Тигена и Спрингера [100]. Здесь д — нормальный тепловой поток, — его значение для свободномолекулярного течения результаты расчета вариаиионным методом представлены сплошной кривой, данные Тигена — крестиками (для а = 0,826] и кружками (для а = 0,759).

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...