Планка фУнкЦия распределения

Если процессы являются марковскими, то функцию распределения вероятностей W Xi,. . ., х,г, t) определяем из уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова [c.161]

Умножая уравнение (83.8) на /(л , 0) и интегрируя по х, получим уравнение Фоккера - Планка для функции распределения /(у, 1) [c.459]

Эта разительно контрастирует с одночастичной компонентой обобщенного уравнения Лиувилля в нем скорость изменения Д зависит от значения двухчастичной функции /2, которая в свою очередь зависит от/зИ т. д. Таким образом, мы видим, что посредством больцмановской гипотезы молекулярного хаоса бесконечная цепочка уравнений для функций распределения обрывается и остается единственное уравнение для /х ). Таким образом, уравнение Больцмана является замкнутым уравнением для функции Д. Этим же свойством обладает и уравнение Фоккера — Планка [c.33]

Квантовое уравнение Фоккера-Планка. Наиболее изящный метод исследования основных кинетических уравнений для бозе-систем основан на использовании так называемого представления когерентных состояний ), которое позволяет свести операторное основное кинетическое уравнение к дифференциальному уравнению для непрерывной функции распределения. В этом разделе мы применим метод когерентных состояний к уравнению (7.3.32) для затухающего квантового осциллятора. Читателям, которые не очень хорошо знакомы с когерентными состояниями и соответствующим представлением для квантовых операторов, рекомендуем обратиться к приложениям 7Б и 7В. Здесь мы приведем лишь некоторые формулы, чтобы фиксировать обозначения. [c.123]

Для иллюстрации основных свойств лазерного уравнения Фоккера-Планка (7.4.68) предположим, что функция распределения зависит только от г] = х = z /Zq, т. е. фаза поля излучения остается неопределенной ). В этом случае удобно выбрать условие нормировки для соответствующей функции распределения f r] t) в виде [c.139]

Поскольку 0(2 )w i 2i)w удовлетворяют дифференциальным уравнениям (7Г.15), ясно, что точное решение этих уравнений должно зависеть от производных функции распределения / всех порядков, т. е. в общем случае (7.4.67) не будет иметь вид уравнения Фоккера-Планка. Отметим, однако, что последние члены в уравнениях (7Г.15) относительно малы, так как они обратно пропорциональны числу активных атомов, которое является макроскопической величиной ). Поэтому, считая, что > 1, можно решать уравнения (7Г.15) методом итераций. В нулевом приближении пренебрегаем последними двумя членами в этих уравнениях. Это приводит к системе алгебраических уравнений, которые легко решаются. Затем полученное решение подставляется в правые части уравнений (7Г.15) и функции g(2)w i 2i)w находятся в первом приближении по параметру N . Ограничиваясь этим приближением, находим [c.153]

Пусть квантовый осциллятор находится в равновесном состоянии и описывается матрицей плотности п дщ п ) = где вероятности даются формулой (7.3.37). Полагая = eq в (7.3.38), найти в явном виде равновесную функцию распределения /о( , 2 ) и убедиться, что она совпадает со стационарным решением (7.3.62) квантового уравнения Фоккера-Планка. [c.156]

Разложение по градиентам. Уравнение (9.1.35) является точным. Кроме того, оно справедливо для функции распределения любых базисных динамических переменных. Все это — несомненные достоинства обобщенного уравнения Фоккера-Планка. Но к сожалению, это уравнение очень сложное и в таком виде непригодно для решения конкретных задач. Покажем, что в случае крупномасштабных гидродинамических флуктуаций уравнение (9.1.35) можно существенно упростить. [c.224]

Уравнения (9.2.34) типичны для систем с мультипликативным шумом . Свойства таких уравнений хорошо изучены и существуют стандартные способы вывода из них уравнения Фоккера-Планка для функции распределения T a,t) [42, 72, 146]. Вообще говоря, явный вид уравнения Фоккера-Планка зависит от интерпретации стохастических уравнений (9.2.34). Можно показать (см. приложение 9Г), что в случае гидродинамических флуктуаций все интерпретации эквивалентны в том смысле, что все они приводят к одному и тому же уравнению Фоккера-Планка [c.241]

Покажем, что равновесная функция распределения гидродинамических переменных является стационарным решением уравнения Фоккера-Планка (9.1.47). [c.273]

Если процессы являются марковскими, то функция распределения вероятностей ш (х . .., 1) определяется из уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова [c.33]

Одномерная функция распределения амплитуды ш(Л,) определяется из уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова [c.171]

Отметим, что при нестационарном случайном возмущении функция распределения не может быть стационарной, а при стационарном возмущении функция распределения может быть и стационарной и нестационарной. Так, например, если мы рассматриваем движение системы при стационарном внешнем возмущении в стационарном установившемся режиме, не интересуясь переходным процессом, то функция распределения будет стационарной, а если рассматривается движение системы, начиная с какого-то момента времени, в котором она характеризуется определенными начальными условиями, то функция распределения будет нестационарной, но с течением времени, по мере затухания переходного процесса в системе, она будет стремиться к стационарной. Изучить переходный режим движения системы с помощью уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова затруднительно. В дальнейшем будет показано, что в этом случае уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова будет уравнением в частных производных с переменными коэффициентами, для которых общих методов решения пока не существует. В дальнейшем будем предполагать, что внешнее возмущение стационарно и имеет нормальный закон распределения. [c.172]

В предыдущих разделах мы показали, что характеристики лазерного излучения выше порога и ниже порога коренным образом различаются. Однако наши методы не позволили нам исследовать очень небольшую, но интересную область в окрестности порога, в которой как раз и изменяется поведение лазера. Чтобы восполнить этот пробел, целесообразно ввести в рассмотрение функцию распределения лазерного излучения. Это можно сделать различными способами. Один подход основан на уравнении для матрицы плотности лазера и его непосредственном решении. Другой подход состоит в использовании принципа соответствия между квантовыми и классическими величинами, что позволяет преобразовать уравнение для матрицы плотности в обобщенное уравнение Фоккера— Планка. Затем это уравнение можно существенно упростить при условиях, близких к пороговым или совпадающих с пороговыми, и после решения уравнения получить искомую функцию распределения. Такой подход будет изложен в гл. И. В математическом плане этот подход представляет известные сложности, а поэтому в данном разделе мы будем придерживаться нашего прежнего способа рассуждений. В какой-то мере эти рассуждения основаны на интуиции и, на первый взгляд, носят не очень строгий характер, но они позволят нам быстрее разобраться в основных особенностях статистики фотонов вблизи порога (а также при точном выполнении порогового условия). Строгое обоснование представленных здесь рассуждений, в которых оператор b считается с-числом, будет дано в следующей главе. [c.280]

Выше уже говорилось, что подробный вывод обобщенного уравнения Фоккера—Планка весьма громоздок, а потому мы здесь приведем только окончательный результат. Уравнение для функции распределения имеет вид [c.307]

Уравнение Фоккера—Планка, которое мы вывели в разд. 11.4, легко решается в стационарном случае. Метод квантово-классиче-ского соответствия позволяет находить средние значения операторов поля 6+ и 6 с помощью классических средних на основе классической функции распределения f (или Р — в наших прежних обозначениях). [c.315]

Последнее выражение называется формулой Планка. На этом этапе нам полезно установить связь между рассматриваемыми выше функциями распределения равновесного фотонного газа и процессом излучения. [c.37]

Теоретически исследуется взаимодействие фотонов с системой электронов, подчиняющихся статистике Ферми — Дирака. На основе рассмотрения электронных переходов с учетом принципа Паули получена функция теплового излучения металлов, представляющая собой произведение функции распределения Ферми и функции Планка для излучения абсолютно черного тела. Из теории следует, что характеристическая частота соответствует энергии электрона на уровне Ферми, а лучеиспускательная способность при этой длине волны должна быть равна /а для всех металлов. [c.182]

Таким образом, при известном законе распределения интенсивности излучения в пeкtpe абсолютно черного тела соотношение (6.5) может быть использовано в качестве второго соотношения, позволяющего замкнуть систему уравнений, описывающих радиационное поле в газовых потоках. Этот закон впервые строго был получен М. Планком. Согласно закону Планка, функция распределения имеет следующий вид [c.658]

F —сила, свободная энергия Fhki — структурная амплитуда g —фактор спинового вырождения G — модуль сдвига 0(ш)—спектральная функция распределения частот А=2л ft—постоянная Планка [c.377]

Пусть момент количества движения парамагнитных ионов в основном состоянии равен % /J [J- - ), где /—внутреннее квантовое число (полный момент) п — постоянная Планка, деленная на 2 . 1 отсутствие магнитного поля основной уровень является (2./4-1)-кратно вырожденным, и, слс довательно, если более высокие уровни рассматривать как neaaHH iFje, то функция распределения имеет вид [c.425]

Ответ заключается в следующем так как уравнения механики обратимы, то необратимость возникает тогда, когда уравнения механики мы дополняем чуждыми самой механике вероятностными гипотезами. В случае уравнений Фоккера - Планка такой гипотезой является предположение о марковском характере процесса (уравнение Смолухов-ского). В выводе уравнения Больцмана из цепочки уравнений Боголюбова роль такой гипотезы выполняет условие ослабления корреляций (87.17), приводящее к появлению асимметрии по отношению к отражению времени и т. д. Введение подобных гипотез теснейшим образом связано с ролью взаимодействия между частицами (в частности, с ролью столкновений). Оно является фактором, вызывающим направленную эволюцию состояния, которое описывается функцией распределения. Не случайно поэтому, что в кинетических уравнениях, при выводе которых взаимодействием частиц, в частности столкновениями, мы пренебрегаем, необратимость не возникает. Примерами подобных уравнений являются уравнение самосогласованного поля ( 89) и уравнение свободно-молекулярного течения ( 88), обратимость которых без труда обнаруживается. [c.547]

Чтобы получить еще более явную физическую картину этого процесса, прежде всего заметим, что функция распределения для одного события у, t) также подчиняется уравнению Фоккера— Планка. В самом деле, из соотношевий (И.3.1) и (И.3.3) получаем [c.21]

Мы видим, что как уравнение Ландау (11.6.27), так и уравнение Фоккера — Планка (11.3.21) являются дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка следовательно, между ними должна существовать некоторая связь. Однако между ними существует очень важное отличие уравнение Ландау нелинейно. Теперь уже должно быть ясно, что любое кинетическое уравнение обязательно является нелинейным. В самом деле, такое уравнение описывает процесс столкновения двух (или большего числа) частиц. Поэтому оно зависит от состояний и, следовательно, от произведений функций распределения двух (или большего числа) сталкивающдхся партнеров. [c.46]

Теперь уравнение (11.8.1) имеет такую же форму, как и уравнение-Фоккера — Планка (11.3.21) (которое тривиально обобщается на трехмерные обозначения). Можно идентифихщровать вектор трения и тензор диффузии В . Однако отличие от (11.3.21)-заключается в том, что эти коэффициенты уже не постоянны, а зависят от функции распределения ф (v t), следовательно, с течением времени они самосогласованно изменяются по величине и форме. Это обусловливается, разумеется, нелинейностью кинетического уравнения. [c.47]

Один из возможных подходов к разрешению парадокса необратимости уже обсуждался в параграфе 1.3. Суть этого подхода заключается в описании неравновесных процессов с помощью крупноструктурных функций распределения, усредненных по малым фазовым ячейкам или по малым промежуткам времени. Применяя усреднение функций распределения по времени, Кирквуд [103] вывел необратимое уравнение Фоккера-Планка для броуновских частиц и получил выражение для коэффициента трения через корреляционную функцию сил, действующих на броуновскую частицу со стороны частиц среды. В работах Кирквуда содержалась важная идея сокращенного описания неравновесной системы, т. е. описания, основанного на неполной информации о состоянии системы. К сожалению, оказалось, что метод Кирквуда очень трудно распространить на другие задачи кинетической теории и неравновесной термодинамики. Поэтому мы используем другой способ перехода к сокращенному описанию. В нем состояние системы характеризуется набором коллективных переменных ( наблюдаемых ), зависящих от динамических переменных частиц. [c.80]

Итак, остается вычислить вейлевские символы всех операторов в уравнении (7.3.32). Процедура вычисления подробно описана в приложении 7В. Мы приведем окончательное уравнение для функции распределения квазивероятностей. Оно называется квантовым уравнением Фоккера-Планка и имеет вид [c.125]

Полученное нами уравнение (7.3.48) для функции распределения квазивероятностей квантового осциллятора в термостате представляет собой частный случай общего уравнения Фоккера-Планка, которое широко используется в самых разных областях естествознания. Методы решения уравнения Фоккера-Планка и его приложения подробно рассматриваются, например, в книге Рискена [146]. В некоторых случаях уравнение Фоккера-Планка удается решить аналитически. Именно так обстоит дело с уравнением (7.3.48). [c.126]

Теперь остается подставить выражение (9.1.45) для матрицы перехода в уравнение (9.1.35). Заметим, что при этом можно пренебречь эффектами запаздывания, поскольку производная функции распределения по времени имеет по крайней мере первый порядок по градиентам базисных перменных ). В результате несложных преобразований получаем марковское уравнение Фоккера-Планка [c.225]

Несмотря на то, что марковское уравнение Фоккера-Планка (9.1.47) по своей структуре значительно проще исходного уравнения (9.1.35), получить его точное решение не удается из-за чрезвычайно большого числа переменных. Можно, однако, доказать некоторые важные свойства этого уравнения. Например, в приложении 9В показано, что равновесная функция распределения гидродинамических переменных является стационарным решением уравнения (9.1.47). Это означает, что уравнение Фоккера-Нланка описывает релаксацию системы к равновесию. [c.226]

Пункт 8.3 посвящен исследованию процесса взрывной кристаллизации, представляющего результат самоорганизуемой критичности в стохастическом распространении тепла по узлам иерархического дерева. Исследование эффективного уравнения движения показывает, что в согласии с предьщущим пунктом неустойчивость развивается только в том случае, когда тепловой эффект кристаллизации (или энергия, вводимая извне) превышают критическое значение, величина которого определяется температуропроводностью. Стационарная функция распределения тепла кристаллизации определяется уравнением Фоккера—Планка, решение которого приводит к выражениям для потока тепла, вьщеляющегося в результате кристаллизации, и вероятности спонтанной кристаллизации в пленке докритической толщины (см. п. 8.4). Оказывается, что эта веро- [c.207]

В случае системы уравнений вида (10.149) и (10.150) мы должны пост[юить уравнение Фоккера—Планка для функции распределения / (х, у t), зависящей от двух независимых переменных хну и от времени t. Величина / (х, у ) йх йу представляет собой вероятность найти переменные л и г/ в момент времени t в интервалах X. .. х- - йх, у. .. у + йу. Позднее мы приведем пример функции / (л , у, ). Уравнение Фоккера—Планка для функции / имеет вид [c.281]

Исходными уравнениями теории являются модельные кинетические уравнения для унарной и бинарной функций распределения. В этих уравнениях наряду с динамическими членами межмолекулярного взаимодействия учтены члены, описывающие диссипативные процессы по схеме Фоккера — Планка. Согласно этой схеме движение мо.лекул жидкости рассматривается аналогично двр1н ению броуновских частиц, которые помимо регулярных действий окружающих молекул, испытывают действие случайных молекулярных сил вследствие флуктуаций. [c.185]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...