Определение сферических функций

Определение сферических функций 151 [c.2]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 151 [c.151]

Определение сферических функций [c.151]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 153- [c.153]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 155 [c.155]

Пусть орбитальное движение отдельной частицы задается орбитальным квантовым числом I. Зависимость волновой функции с определенным значением I от сферических углов 0 и ф дается поверхностной сферической функцией [c.104]

При определении значений сферических функций можно пользоваться их разложением в бе конечные ряды [127], методика табулирования этих функций при комплексном значении п дана в работе [118]. [c.304]

Следует заметить, что условие разбивки поверхности сферического излучателя на зоны выводится так же, как и в (8,52) из равенства нулю отдельных членов сферической функции Р (0,ф) (см. (8,52) и (8,52а)), что соответствует одновременно равенству нулю радиальной компоненты скорости по определенным линиям на сфере (см. (8,23)). Для сферического излучателя при т = 1 из условия Я,(а) = 0 получим на поверхности две зоны, разделенные узловым кругом (экватором). Сферический резонатор для моды (1,0,0) имеет, кроме поверхности / = г , только узловой конус, вырожденный в линию (полярная ось). Скорости, перпендикулярные к оси, отсутствуют, вся сфера является одной цельной резонансной ячейкой, в которой имеются потоки, двигающиеся из одной полярной области в другую и обратно. Если за критерий разбивки взять условие Pi(0) = 0, то экватор будет поверхностью нулевого давления, он разобьет сферу на две ячейки. [c.230]

Можно показать, что две произвольные поверхностные сферические функции различного порядка, которые являются конечными на единичной сфере, ортогональны друг к другу, а также и то, что 2п + 1 гармонических функций произвольного порядка п зонального, тессерального и секториального типа, определенные в 85, 86, все взаимно ортогональны. В дальнейшем мы увидим, что свойство [c.146]

Кроме того, выражение (4) можно рассматривать как предельную форму, к которой стремится объемная зональная сферическая функция, когда порядок (п) и одновременно расстояние начала от рассматриваемой точки делается бесконечно большим, причем обе стремящиеся к бесконечности величины должны удовлетворять определенному соотношению ). [c.168]

Если л>0, то нормальная скорость в двух каких-либо областях поверхности шара т = а, разделенных узловой линией 5 = 0, имеет противоположные фазы. Боковое движение воздуха вблизи от поверхности шара по направлению от тех мест, в которых воздух движется наружу, к тем местам, в которых он движется внутрь, в случае не слишком малой длины волны проявляет себя в том, что интенсивность возмущения в некотором удалении уменьшается по сравнению с той интенсивностью, которая должна была бы иметь место, если бы скорость повсюду была в одинаковых фазах это действие будет тем более заметным, чем выше будет порядок п соответствующей сферической функции, так как в этом случае число частей, на которые поверхность шара разделяется узловыми линиями, будет больше. Кроме того, для той же сферической функции и для определенной [c.636]

Здесь — среднее число испаряющихся в единицу времени молекул с единицы поверхности пузырька, содержащего п молекул, — число конденсирующихся молекул при тех же условиях, — поверхность пузырька, / — число пузырьков в жидкости (функция распределения пузырьков по размерам). Цепочка уравнений (2.32) обрывается на номере где х превышает число молекул в критическом пузырьке, но не является строго заданным числом. Предполагается, что большие пузырьки п ) удаляются из системы и заменяются эквивалентным числом молекул жидкости. Этим обеспечивается сохранение стационарного состояния при постоянном потоке вдоль фазовой оси п. Задача состоит в определении как функции температуры и давления. Решение получено [6, 10] при упрощающих допущениях. Пузырьки считаются сферическими. Пар описывается уравнением состояния идеального газа. Для всех пузырьков предполагается выполненным условие механического равновесия (1.15) при отсутствии в общем случае вещественного равновесия (1.16). Физически это означает достаточно быстрое расширение пузырька (но без заметного радиального перепада давления в жидкости) и сравнительно медленный переход [c.41]

Обращаем внимание на сделанный при определении (х) выбор фазы нормировочного множителя. В обычной теории сферических функций нормировочный множитель не содержит (—1) . Здесь же мы отнесли (—1) к Р ( os 0), чтобы наше определение сферической гармоники находилось в согласии с определением Вигнера [12]. Р (х) удовлетворяет соотношению [c.226]

Так как со есть любая сферическая функция, то из (6.31) мы получим два совместных дифференциальных уравнения для определения Р и О [причём /определяется по формуле (6.28)] [c.146]

Таким образом, напряжение в центре сферы остаётся конечным для определения Я, в центре сферы достаточно знать первый и третий члены разложения (3.11) внешней нагрузки в ряд по поверхностным сферическим функциям. [c.453]

Задача о сфере. Для того чтобы показать, как использовать сферические координаты, рассмотрим задачу о сфере , т. е. задачу об определении распределения напряжений внутри сплошной сферы. Обш,ее решение этой задачи, выраженное через сферические функции, которые рассматривались как функции прямоугольных координат, было получено Кельвином ) в его рассуждениях о жесткости Земли. Для того чтобы упростить решение, допустим, что распределение приложенного давления является осесимметричным, так что мы примем, что нормальное давление на поверхности сферы г = а равно [х/ (д) и что поверхность свободна от касательных напряжений. [c.177]

Согласно формуле (2.1.22), для вычисления среднего числа положительных пересечений (Н) заданного уровня Н стационарным процессом Г) ( ) на интервале времени [О, Т] = [О, 1] необходимо предварительно найти совместную плотность вероятности (г), Г) ) = р (т) ( ), Г) ( )) для значений процесса т] t) и его производной т) ( ) в совпадающие моменты времени. Используя определение (1), функцию р (г), г) ) можно получить следующим путем [75]. Сначала записывается совместная плотность вероятности 2п взаимно независимых нормально распределенных случайных переменных t) и ( ). Затем в этой плотности вероятности выполняется переход к интересующим нас переменным П (О и т] t) при помощи надлежащей замены переменных (перехода к сферическим координатам). Окончательное выражение для Р (г). Г) ) = р %, % ) имеет при этом вид [c.75]

Перейдем к определению эллипсоидальных функций. Для этого отметим, что сферические функции мы определили как некоторые частные решения уравнения Лапласа, написанного в полярных сферических координатах. [c.197]

Уравнение (4.97) является аналитической основой для определения и изучения эллипсоидальных функций, так же как и ранее уравнение Лежандра служило для определения и изучения сферических функций. Это основное уравнение называется уравнением Ламе ). [c.198]

Теорема. Всякая непрерывная и дважды дифференцируемая с непрерывными производными функция /(0, ф), определенная на единичной сфере, разложима в абсолютно и равномерно сходяш,ийся ряд по сферическим функциям. [c.374]

Поместим теперь атом серебра в центр сферического кристалла простого металла, как уже описывалось в предыдущем параграфе. Пусть для определенности это будет алюминий. Потенциал внутри атома серебра останется неизменным (исключая почти постоянный сдвиг энергии), но вне атома к нему добавится потенциал атомов алюминия. Пусть это будет постоянный потенциал о, равный энергии минимума зоны проводимости алюминия. Это показано на фиг. 63. Теперь можно искать решение путем интегрирования радиального уравнения Шредингера внутри атома серебра с последующей сшивкой результата на границах элементарной ячейки с решением уравнения Шредингера (или уравнения с псевдопотенциалом) для алюминия. Последнее представляет собой соответствующую комбинацию сферических функций Бесселя и Неймана для энергий, больших Ео, и должным образом затухающее решение для энергий, меньших Ео- [c.212]

Следует отметить, что в некоторых книгах сферические функции определяются как решения уравнения Лапласа в сферических координатах. Такое определение отличается от данного уравнением (П.4) множителем г , где г — радиальная координата, а функции называются поверхностными сферическими функциями. Как было указано в предыдущей сноске, выбор знака функции не является универсальным для всех авторов. [c.476]

Каковы же те общие черты схематизированных уравнений гидродинамики, о которых может идти речь в связи с обсуждаемым кругом вопросов Это, прежде всего, характер нелинейности уравнений, определяющих эволюцию системы во времени. Будем считать, что 1, и ,. .ы — параметры, определяющие состояние системы в рамках выбранной модели, являются линейными функционалами от поля скоростей жидкости. Такими параметрами могут быть, например, значения компонент скорости потока, усредненные по некоторой области в окрестности точек, принадлежащих заданной сетке, или коэффициенты разложения функции тока в ряд по сферическим функциям (до некоторого фиксированного номера) для определенных выбранных уровней (разумеется, в конечном числе), как [c.37]

Разложение функции б (й — йо) по сферическим функциям хороша известно (и, более того, может быть немедленно получено из определения б-функции) [c.280]

Его решением // (г) являются сферические функции Бесселя (рис. 4.8). Всякое значение аргумента кг, при котором функция Бесселя равна нулю, называется нулем этой функции. Нули далее будем обозначать буквой Z. При каждом значении / имеется некая последовательность нулей, причем каждому нулю соответствует определенное значение к, определяемое из соотношения [c.121]

Приведенный здесь алгоритм определения матрицы передачи можно применять и для изотропных слоев. При сравнении выражений,полученных п. 5.7.2 и 5.7.3, необходимо иметь в виду следующее. Вычисление по формуле (5.117) требует обращения матрицы размерами 4х 4 с элементами в виде сферических функций Бесселя и Неймана, а вычисление коэффициентов — решения системы уравнений, полученной [c.282]

Рассмотренная в общем случае для обобщенных волновых уравнений фундаментальная задача Коши (3.78)-(3.79) с точки зрения физики представляет собой задачу об определении двухточечной функции Грина (пропагатора) для волнового поля, в случае распространения в пространстве плоских волн, созданного мгновенным источником, равномерно распределенным по плоскости д = О. Отсутствие явной зависимости от двух из трех пространственных координат формально сводит эту задачу к пространственно одномерной. В этом смысле мы будем называть эту задачу одномерной, а соответствующее ей решение - одномерной функцией Грина (пропагатором) для соответствующего обобщенного волнового уравнения. Имея в виду в дальнейшем рассмотрение аналогичных задач для цилиндрически- и сферически- симметричных случаев, введем для обозначения этих функций обозначения N = 1,2,3 - математическая размерность задачи, а (.) - определяет положения точки в пространстве соответствующей размерности в подходящей системе координат (для плоской волны - это декартова координата л ). В этих обозначениях, с учетом (3.87), (3.88), функции Грина для всех рассматриваемых вариантов обобщенных волновых уравнений в случае рассмотрения плоских волн [c.162]

Введенная функция распределения и средние по ансамблю величины определяются бинарной функцией распределения Р (г), показывающей вероятность нахождения центра вторичной частицы в окрестности конца г. Эта функция полагается сферически-симметричной в виде Р г). Исходя из определения числовой концентрации дисперсных частиц п, имеем условие нормировки [c.182]

Переформулируем граничные условия на поверхности раздела фаз в терминах функции тока. В предыдущем разделе было показано, что при определенных гидродинамических условиях газовый пузырь можно считать сферическим. Тогда условие непрерывности тангенциальной компоненты скорости (1. 3. 6) будет иметь вид [c.20]

Мы будем рассматривать только первое слагаемое. Преобразование второго слагаемого аналогично. Используя определение сферических функций и свойство (13.48) коэффициентов Клебща—Гордана, мы получим [c.159]

Для трехмерных задач необходимо определить три функции напряжений, как, например, в случае круглого отверстия в пластине конечной толщины. Нейбер [2] указал способ определения трех функций напряжений у концентраторов напряжений гиперболической или эллиптической геометрии, и в последнее время была сделана попытка решить задачу трехмерной трещины путем построения поля упругих напряжений вокруг четвертьбесконеч-ной трещины в полупространстве [29]. В данном случае интересно то, что если Oij выражено через сферические координаты г, 9, % уравнением вида [c.90]

В случае ограниченного моря С не обращается в нуль и имеет во всякий момент времени определенное значение, зависящее от положения возмущающего тела по отношению к Земле. Это значение может быть легко выведено из уравнений (10) и (11). Оно равно сумме сферических функций второго порядка от и а с постоянными коэфициентами в форме интегралов по поверхности, значения которых зависят от распределения суши и воды на земном шаре. Колебания значения С, зависящие от относительного движения возмущающего тела, вызывают общее повышение и падение свободной поверхности с четырнадцатисуточным (для случая Луны), суточным и полусуточным периодами. Это уточнение статической теории, приведенное в обычной форме, было исследовано впервые полностью Томсоном и [c.451]

На движение искусственного спутника оказывает влияние не только сила сопротивления атмосферы, но и сила ее притяжения. Потенциал притяжения атмосферы подобно потенциалу притяжения Земли можно представить рядом по сферическим функциям. Поэтому задача о возмущениях элементов орбиты от притяжения атмосферы сводится к определению коэффициентов этого ряда. Если бы атмосфера была стационарной, то эти коэффициенты были бы постоянными и тогда их можно рассматривать как некоторые добавки к соответствующим коэффициентам геопотенциала. И все было бы просто. Однако плотность атмосферы зависит от времени. Поэтому зависят от времени и коэффициенты потенциала притяжения атмосферы. Сезонные изменения этих коэффициентов были исследованы В. Г. и Е. Б. Шкодровыми [11]. Ими изучены также соответствующие возмущения долготы узла и аргумента перигея орбиты спутника. [c.311]

Настоящий параграф написан по результатам работы [146]. Отметим, что рассматриваемая задача неоднократно решалась в рядах по сферическим функциям ([83, 183, 189]). Однако ряды, выражающие напряжения, на поверхности сферы расходятся, а внутри ее сходятся медленно, вследствие чего необходимо прибегать к выделению и суммированию медленно сходящейсн части рядов, что приводит к весьма громоздким выкладкам. Поэтому обычно рассматривались либо частные случаи нагружения (сила в полюсе, опоясанный шар ), либо подсчитывались перемещения и напряжения лишь вдоль определенных линий при частном значении коэффициента Пуассона. [c.77]

Определение. Функции Упо = Рп(соз0) называются зональными сферическими функциями, или зональными гармониками. Функции К (0, ф) = ( os0) os ф и Y n Q, ф) = = ( os 0) sin тгф называются секториальными сферическими функциями, или секториальными гармониками, а функции [c.373]

Задача об определении напряжений и деформаций в упругом твердом теле под действием данных массовых сил и при заданных поверхностных силах, или при условии, что под действием этих последних поверхность тела принимает заданную форму, приводится к аналитической задаче об определении функций, выражающих проекции смещения. Эти функции должны удовлетворять всем диференциальным уравнениям равновесия в каждой точке внутри тела, а также некоторым условиям на его поверхности. Методы, предложенные для интегрирования этих уравнений, распадаются на два класса. Методы одного из этих дбух классов состоят в том, что сначала разыскиваются частные решения для того чтобы удовлетворить граничным условиям, решение представляют в виде конечного или бесконечного ряда, состоящего из частных решений. Частные решения обычно могут быть выражены через гармонические функции. Этот метод решения можно рассматривать, как обобщение разложения по сферическим функциям или обобщение тригонометрических рядов. Методы второго класса состоят в том, что искомую величину выражают в виде определенного интеграла, элементы которого имеют особые точки, распределенные по поверхности или объему, тот тип решения является обобщением методов, которые Грин ввел в теорию потенциала. К моменту открытия общих уравнений теории упругости, метод рядов был уже применен к астрономическим, акустический проблемам и к проблемам теплопроводности ), а метод решений, имеющих особые точки, еще не был изобретен ). Ламе и Клапейрон ) первые применили метод разложения в ряд к проблемам равновесия упругих твердых тел. Они рассматривали случай тела, ограниченного бесконечной плоскбстЬю и находящегося под давлением, распределенным по какому-либо вакону. Позже Ламе °) рассматривал проблему тела, ограниченного сферической поверхностью и деформируемого данными повер ностными силами. Задача а распределении напряжений в полупространстве, ограниченном плоскостью, в основном совпадает с проблемой передачи внутрь тела действия силы, при- [c.28]

К 1, п. 3. Использованные здесь сферические гармоники отличаются от функций, использованных в работе Блатта и Вайскопфа [77], и множителем от функций, содержащихся в работе Роуза [718] они также отличаются множителем (—l -) г от функций, использовавшихся Джексоном [426]. Сравнение с функциями, использовавшимися в других работах, можно найти у Роуза [718], приложение А. Определение сферических гармоник по формуле (2.11) выбрано для того, чтобы они обладали более удобными свойствами по отношению к комплексному сопряжению, т. е. по существу относительно обращения времени. [c.58]

В следующей главе (гл. 3) полученные осредненные уравнения и определения макропараиетров через микропараметры конкретизированы для болев частного случая двухфазной смеси —смеси с монодисперсной структурой со сферическими частицами. Но даже для такой частной структуры явные реологические соотношения без дополнительных экспериментальных коэффициентов и функций, позволяющие замкнуть систему уравнений, получить в общем случае не удается. В гл. 3 этот подход доведен до конца для двух предельных случаев монодисперсной смеси когда несущая фаза — идеальная (с нулевой вязкостью) жидкость или очень вязкая жидкость. [c.87]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...