Интегрирование дифференциальных форм

Интегрирование дифференциальных форм [c.158]

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 159 [c.159]

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ [c.161]

Интеграл формы по цепи 163 Интегрирование дифференциальных форм 158 [c.469]

И еще два понятия — потенциальная живая сила и действительная живая сила , близкие к современным понятиям потенциальной и кинетической энергии, — были использованы Д. Бернулли. Потенциальная живая сила возникает как следствие падения тела весом р с высоты X и равна рх. Действительная живая сила, присущая телу в момент падения с высоты ж, равна ру у — скорость в момент падения). Обратим внимание на то, что в выражении живой силы присутствует коэффициент [5, с. 321], получающийся в результате интегрирования дифференциальной формы закона сохранения живых сил. Для Лейбница и И. Бернулли было важно показать, что живая сила пропорциональна квадрату скорости Д. Бернулли впервые устанавливает ее точное выражение. [c.163]

Эйконал, соответствующий замыкающейся конгруэнции лучей (4.6), как функция точки на Т находится интегрированием дифференциальной формы (4. 2) и полного дифференциала dQ (см. формулу (4.3)). [c.281]

Ранее отмечались трудности интегрирования дифференциального уравнения движения при Кст>0,21, когда fo.np заметно отличается от в. Если принять зависимость для Кст, полученную в гл. 4 согласно опытным данным В. С. Пальцева, как наиболее простую по форме и надежную по методике непосредственной экспериментальной оценки силы взаимодействия частиц со стенкой в достаточно широком диапазоне изменения определяющих факторов [c.78]

Раздельное по фрагментам интегрирование дифференциальных уравнений довольно просто организуется лишь при использовании явных методов. Покажем это на примере решения методом Эйлера системы ОДУ, представленной в нормальной форме Коши и разделенной на две подсистемы [c.244]

Исходная информация для моделирования формируется из двух частей информации, задаваемой пользователем, и информации, хранящейся в элементной базе данных. Информация, задаваемая пользователем, может включать структуру моделируемой ЭЭС, параметры функциональных элементов, метод интегрирования дифференциальных уравнений, последовательность моделируемых режимов ЭЭС, форму вывода результатов моделирования. Исходная информация, формируемая с помощью базы данных, ограничивается, в основном, параметрами и характеристиками функциональных элементов. [c.229]

В тех случаях, когда речь идет о численном решении задачи, она, разумеется, может быть приближенно доведена до конца, например обычными методами приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. Если же, однако, речь идет о нахождении общего решения, т. е. об умении записать решение дифференциальных уравнений (28) в замкнутой форме, то задачу такого рода можно решить лишь для отдельных частных случаев функциональных зависимостей, выражающих силы. Теория дифференциальных уравнений гарантирует лишь то, что это решение существует и является единственным (при нестеснительных для механики ограничениях, наложенных на функции, выражающие силы) и что движение полностью определяется заданными начальными данными (29). [c.63]

Таким образом, определяется движение механической системы в конечной форме и отпадает необходимость интегрирования дифференциальных уравнений движения системы. Если известно меньше 6/г первых интегралов, то вопрос интеграции исходных уравнений движения упрощается. Например, если рассматривать движение свободной материальной точки и известно три первых интеграла [c.70]

Интегрирование дифференциального уравнения собственных колебаний. Если разделить обе части уравнения (4) на а и обозначить положительную величину с а = к , то получим дифференциальное уравнение собственных линейных колебаний системы с одной степенью свободы в окончательной форме [c.416]

Интегрирование дифференциального уравнения движения. Дифференциальное уравнение (24) является однородным линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение следует искать в форме q — где постоянная Я определяется из характеристического уравнения + 2пХ + 1г = О, которое получается после подстановки решения в дифференциальное уравнение. [c.425]

Однако отсюда не следует, что эта задача может быть всегда решена в замкнутой форме. Чаще всего решение конкретных задач сопровождается существенными аналитическими. затруднениями. Подробности читатель найдет в курсах теории интегрирования дифференциальных уравнений и курсах математической физики. [c.323]

Произведенный анализ устанавливает существование нормальных координат, но не позволяет указать способы нахождения форм Л линейных преобразований (II. 190), независимых от предварительного интегрирования дифференциальных уравнений малых колебаний. Кроме этого, остается нерассмотренным случай кратных корней характеристического уравнения. [c.245]

С помощью теоремы об изменении кинетической энергии решается как прямая, так и обратная задачи динамики. В дифференциальной форме теорема применяется для. того, чтобы найти по заданным силам ускорения точек системы (или наоборот), т. е. чтобы составить дифференциальные уравнения движения системы и интегрированием этих ураннений найти законы изменения скоростей и перемещений точек системы. Интегральная форма теоремы используется в тех случаях, когда при конечном перемещении системы заданы три из следующих четырех величин скорости, перемещения, силы, массы, а четвертая подлежит определению. Теорема чаще всего применяется для исследования движения механических систем с одной степенью свободы, т. е. систем, положение которых определяется одной координатой (линейной или угловой). Поэтому в данной главе мы будем рассматривать только такие системы. [c.226]

Формула (3.9.6) представляет общий интеграл линейного дифференциального уравнения с правой частью в форме, наиболее удобной для приложений. Постоянные интегрирования имеют здесь простой смысл это начальные (при 2 = 0) значения искомой функции и ее производных. Поэтому метод интегрирования дифференциальных уравнений, основанный на> формуле (3.9.6) и широко применяемый в строительной механике, называется методом начальных параметров, он разрабатывался рядом советских авторов не только в применении к балкам, но также к пластинкам и оболочкам. [c.105]

Задачи о расчете таких выхлопных труб решаются интегрированием дифференциального уравнения энергии в механической форме (152) в сочетании с уравнением состояния (9), расхода (124) и при условии критического состояния газа на выходе. Степень уменьшения критического расхода по сравнению с формулой (301) для отверстий приближенно может быть определена по формуле (251 [c.254]

Необходимой предпосылкой для вывода критериев подобия является наличие аналитической зависимости между физическими величинами, характеризующими данное явление (например, уравнение движения). Если уравнение дано в дифференциальной форме, то нахождение критериев подобия не связано с его интегрированием. [c.321]

Уравнение (9.1) можно получить также после интегрирования дифференциальных уравнений движения звеньев механизма. На этом основании (9.1) называют уравнением движения механизма в форме интеграла энергии . [c.70]

Аналитические решения, полученные путем непосредственного интегрирования дифференциальных уравнений, дают возможность вычислить температуру в любой точке данной системы. В противоположность этому в основу численного метода положено уравнение в форме конечных разностей, с помощью которого вычисляем температуру в некоторых, заранее выбранных точках данной системы. Это равноценно математическим приемам приближенного интегрирования. Следует отметить, что если получение точного аналитического решения связано с трудностью удовлетворения граничных условий, которые не всегда осуществимы, то при помощи численного метода всегда возможно, по крайней мере приближенно, удовлетворить граничным условиям конкретной задачи. [c.107]

Интегрированием дифференциальных уравнений (4) мы получим X, у, 2 в функции t, т. е. уравнения относительного движения в конечной форме. [c.235]

Это просто дифференциальная форма, не сводимая к вариации скалярной функции. (Ниже мы увидим, как этот недостаток может быть возмещен при помощи интегрирования по времени.) [c.115]

Следовательно, если некоторые из переменных, входящие в состав функции Т, не входят в V, а также в Z,, М, то уравнения, относящиеся к этим переменным, будут содержать в себе лишь дифференциальные члены и интегрирование этих уравнений будет очень легко осуществить, особенно если в Т эти переменные будут входить только в дифференциальной форме. Последнее будет иметь место, когда в случае тел, тяготеющих к центрам, мы в качестве координат возьмем расстояния от этих центров и углы, описанные вокруг последних [2 ]. [c.406]

Форма, которую Лагранж придал дифференциальным уравнениям динамики, до сего времени служила только для того, чтобы с изяществом выполнять различные преобразования, для которых пригодны эти уравнения, и для того, чтобы с легкостью и притом во всей их широте выводить общие законы механики. Однако из этой же формы можно извлечь важную выгоду с точки зрения самого интегрирования этих уравнений, что, как мне кажется, добавляет новую ветвь к аналитической механике. Я наметил ее основные черты в сообщении, сделанном 29 истекшего ноября Берлинской академии, после того, как имел честь представить Вашей прославленной академии, приблизительно год назад, пример, способный дать почувствовать дух и полезность нового метода. Я нашел, что всякий раз, когда имеет место принцип наименьшего действия, можно следовать по такому пути в интегрировании дифференциальных уравнений движения, что каждый из интегралов, найденных последовательно, понижает порядок этих уравнений на две единицы, если отождествлять постоянно порядок системы обыкновенных дифференциальных уравнений с числом произвольных постоянных, которое вводит их полное интегрирование. Высказанное предложение имеет место также и в случаях, когда функция, производные которой дают составляющие сил, действующих на различные материальные точки, содержит явно время. Мы находим, например, в случае одной точки, вынужденной оставаться на заданной поверхности и подверженной действию только центральных сил, что дифференциальное уравнение второго порядка, которым определяется это движение, приводится к квадратурам, как только найден один-единственный интеграл. Наикратчайшие линии на поверхности входят в этот случай. [c.289]

По поводу различных задач, относящихся к движению системы материальных точек и рассмотренных до сего времени, можно сделать одно важное и интересное замечание Во всех случаях, когда силы являются функциями только координат движущихся точек и когда задачу удалось свести к интегрированию дифференциального уравнения первого порядка с двумя переменными, оказывается также возможным свести эту задачу к квадратурам. Мне удалось превратить это замечание в общее положение, которое, как мне кажется, дает новый принцип механики. Этот принцип, так же как и другие общие принципы механики, дает возможность получить интеграл, но с той разницей, что другие принципы дают только первые интегралы дифференциальных уравнений динамики, тогда как новый принцип приводит к последнему интегралу. Этот принцип обладает общностью, более высокой, нежели другие принципы, потому что он применим к случаям, когда аналитические выражения сил, а также уравнения, выражающие структуру системы, содержат координаты движущихся точек в любой форме. С другой стороны, принципы сохранения живых сил, сохранения площадей и сохранения центра тяжести во многих отнощениях имеют преимущество перед новым принципом. Прежде всего, эти принципы дают конечное уравнение между координатами движущихся точек и составляющими их скоростей, тогда как интеграл, получаемый на основании нового принципа, требует еще квадратур. Во-вторых, применение нового принципа предполагает, что уже найдены все интегралы, кроме одного, предположение, которое осуществляется лишь в очень небольшом количестве задач. Но это обстоятельство не может уменьшить- ценности нового принципа, в чем, я надеюсь, убедит применение его к нескольким примерам. [c.294]

Открытие Гамильтона, согласно которому интегрирование дифференциальных уравнений динамики стоит в связи с интегрированием некоторого уравнения в частных производных первого порядка, основывалось на выводе результатов геометрической оптики, известных в корпускулярной теории, с точки зрения волновой теории, что имело большое значение в развитии физики своего времени. Теория Гамильтона интегрирования дифференциальных уравнений динамики есть прежде всего не что иное, как всеобщая аналитическая формулировка хорощо известного в физической форме соотнощения между световым лучом и световой волной. В силу изложенного здесь исходного положения делается понятной и та ненужно частная форма, в которой Гамильтон опубликовал свою теорию и из которой исходил Якоби. Гамильтон первоначально исходил в своих исследованиях систем лучей из практических запросов оптического приборостроения. В силу этого он рассматривал только такие световые волны, которые выходят из отдельных точек. Обобщение Якоби, вытекавшее отсюда, состояло в том, что для определения луча должны точно так же применяться и другие произвольные световые волны. Как известно, в оптике посредством так называемого принципа Гюйгенса из специальных волн строят общие [c.513]

Зато Якоби не только развил теорию интегрирования дифференциальных уравнений динамики, но и нашел такую форму выражения для принципа наименьшего действия, в которой его глубокая связь с геометрией обобщенного пространства делается особенно прозрачной. [c.825]

Вводные замечания. Особенностью определения перемещений при изгибе посредством интегрирования дифференциального уравнения изгиба является то, что в пределах рассматриваемой балки может иметься несколько участков с различным видом функции и. Деление оси балки на участки связано с рядом причин. Для того, чтобы уяснить их, рассмотрим следующую форму записи дифференциального уравнения изгиба [c.207]

Для численного интегрирования дифференциальные уравнения деформации оболочек следует представить в форме, разрешенной относительно первых производных искомых функций. [c.191]

Основным методом точного определения критического значения нагрузки является непосредственное интегрирование дифференциального уравнения криволинейной формы равновесия. При использовании этого метода вычисление критической силы сводится к решению путем подбора достаточЕЮ сложных трансцендентных уравнений. Поэтому при практическом осуществлении расчетов на устойчивость большое значение приобретают таблицы первых корней этих уравнений, т. е. заранее вычисленные значения критических сил. [c.324]

Книга првдставляег собой сокрвмвиный курс математического анализа, написонный известным американским ученым. По стилю и содержанию она отличается от имеющихся традиционных курсов. Помимо обычно включаемого материала, книга содержит основы теории метрических пространств, теорию интегрирования дифференциальных форм на поверхностях, теорию интеграла и т. д. [c.160]

Первый и второй законы термодинамики дают возможность для любого рабочего тела устанавливать зависимость межу нараметрами в дифференциальной форме. Следовательно, если некоторые из параметров определены опытным путем, то другие могут быть определены интегрированием соответствующих диффереициальных уравнений, составление которых и будет изложено в данной главе. [c.154]

Из предыдущего изложения можно сделать заключение, что необходимой предпосылкой для вывода критериев подобия является наличие аналитической зависимости между физическими величинами, характеризующими данное явление (например, уравнение движения). Если уравнение дано в дифференциальной форме, то нахождение критериев подобия не связано с его интегрированием. Например, критерии Nu и Ne были получены непосредственно из дифферспциальных уравне1щ й без их интегрирования. Особую ценность приобретает возможность получе1И1я критериев из дифференциальных уравнений, когда последние не интегрируемы. [c.416]

В тех случаях, когда связи накладываются не только на координаты, но и на скорости, и поэтому приводят к дифферен-циальпым уравнениям, возможны два варианта в зависимости от того, можно ли проинтегрировать эти уравнения. Если дифференциальные уравнения связи могут быть проинтегрированы, то они записываются в конечном итоге в виде конечных соотношений, но эти конечные соотношения содержат также и произвольные постоянные, которые естественным образом вводятся при интегрировании дифференциальных уравнений. В тех случаях, когда дифференциальное уравнение механической связи не может быть проинтегрировано, необходимо учитывать уравнения связи в исходной форме дифференциального уравнения. В связи с этим механические дифференциальные связи подразделяются на дифференциальные интегрируемые и на дифференциальные неинтегри-руемые 1). [c.148]

Б. А. Бахметев (1880-1951) - русский ученый, инженер путей сообщения — работая в Петербургском политехническом институте, заложил основы современной русской гидравлической школы, опубликовав ряд книг, в которых осветил различные разделы гидравлики. Б. А. Бахметев решил в достаточно общей форме задачу об интегрировании дифференциального уравнения неравномерного движения в призматических руслах. [c.30]

В практике часто встречаются случаи, когда объектом расчета является сложное сочетание различных тел, например бетонное перекрытие с замурованными железными балками, изолированные трубопроводы с открытыми фланцами, барабаны паровых котлов и др. Расчет теплопроводности таких сложных объектов обычно производят раздельно по элементам, мысленно разрезая их плоскостями параллельно и перпендикулярно направлению теплового потока. Однако вследствие различия термических сопротивлений отдельных элементов, а также вследствие различия их формы в местах соединения элементов распределение температур может иметь очень сложный характер, и направление теплового потока может оказаться неожиданным. Поэтому указанный способ расчета объектов имеет лишь приближенный характер. Более точно расчеты сложных объектов можно провести лишь в том случае, если известно распределение изотерм и линий тока, которое можно определить опытным путем при помощи методов гидро- или электроаналогии. В ряде случаев достаточно точный расчет можно получить путем последовательного интегрирования дифференциального уравнения теплопроводности (см, 2-2 и 7-1) для различных элементов сложной конструкции. Однако для таких расчетов необходимо привлекать современную вычислительную технику и машинный счет. Наиболее надежные данные по теплопроводности сложных объектов можно получить только путем непосредственного опыта, который проводится или на самом объекте или на его уменьшенной модели. [c.25]

Итак, основные этапы развития аналитической динамики таковы первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжев метод вариации произвольных постоянных и аналогичная теория Пуассона и связанные с нею проблемы интегрирования затем Гамильтон представил интегральные уравнения посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или из того условия, что она должна одновременно удовлетворять двум дифференциальным уравнениям в частных производных Гамильтон же нашел новую форму уравнений движения Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений динамики к нахождению полного интеграла единственного дифференциального уравнения в частных производных он же развил теорию последнего множителя системы дифференциальных уравнений движения Остроградский рассмотрел проблему интегрирования уравнений динамики Раус нашел новую форму дифференциальных уравнений движений Пуанкаре развил теорию интегральных инвариантов наконец, [c.848]

Можно сделать попытку обозреть основные этапы развития аналитической динамики до середины XIX в. Первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжева теория вариации произвольных постоянных, а также теория Пуассона. Следующим этапом явились во-первых, представление Гамильтоном интегральных уравнений посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или посредством условия, что она одновременно удовлетворяет двум дифференциальным уравнениям в частных производных, и, во-вторых, установление канонических уравнений движения. Вслед за тем Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений к проблеме нахождения полного интеграла единственного уравнения в частных производных и дал общую теорию связи интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнения в частных производных первого порядка. Наконец, была разработана теория систем канонических интегралов. [c.910]

Многочисленные работы механиков и математиков посвящены вопросам приближенного интегрирования и качественного исследования различных форм дифференциального уравнения движения поезда. В 1919 г. на уравнении движения поезда академик С. А. Чаплыгин [42] проиллюстрировал открытый им метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений, ставший ныне классическим. В 1932 г. в работе академика Н. Н. Лузина [20] рассматривалось уравнение движения поезда [c.94]

Для численного интегрирования дифференциальные уравнб ния изгиба пластины удобно представить в форме, разрешенной относительно первых производных от компонентов вектора состояния. В число этих компонентов целесообразно включить также произведение поперечной силы на радиус (Qr). [c.45]

Предметом настоящих лекций будет исследование тех преимуществ, которые можно извлечь при интегрировании дифференциальных уравнений движения из особой формы этих уравнений. В Аналитической механике можно найти все, что касается задачи составления и преобразования дифференциальных уравнений, но для их интегрирования сделано очень мало. Упомянутая задача едва поставлена единственно, что можно к этому отнести, есть метод вариации постоянных — метод приближений, который покоится на особенной форме дифферепциальных уравнений, встречающихся в механике. [c.5]

В этом алгебраическом интегрировании дифференциальных уравнений (9) и состоит теорема Абеля притом здесь она является в форме, имеющей перед формой, данной первоначально Абелем, то преимущество, что она суще- твенпо облегчает, иначе связанные с большими затруднениями, исследования [c.209]

Решение задачи о минимизации среднеинтегральных ускорений ведомого звена для случая установившегося неравно-кернрго вращения ведущего звена позволяет получить минимум максимальной скорости ведомого звена при симметричной относительно середины рассматриваемого интервала скорости ведущего звена. В частности, при равномерном вращении ве- дущего звена оптимальная передаточная функция является симметричной квадратичной параболой. Это решение, полученное интегрированием дифференциального уравнения Эйлера, обеспечивает движение без жестких ударов. Однако использование точных методов не дает возможности удовлетворить дополнительным граничным условиям, которые могут оказаться важными в некоторых случаях. Оптимальный закон движе ния, полученный в 1 этой главы, имел разрыв непрерывности второй производной функции положения в граничных точках рассматриваемого интервала, что приводило бы к мягким ударам в работе механизма в этих точках. В настоящем параграфе задача об определении оптимальной передаточной функции механизмов из условия минимума среднеинтегральных ускорений ведомого звена в классе функций, обеспечивающих движение как без жестких , так и без мягких ударов, решается методом Ритца. При этом скорость ведущего звена принимается постоянной. В данной задаче для закона движения механизма используем форму инвариантов подобия. Вы- [c.29]

Так как для невращающейся лопатки постоянного сечения формы колебаний y(Q могут быть аналитически определены непосредственным интегрированием дифференциального уравнения (108), то интегрирование в формуле (115) возможно выполнить для каждой формы в квадратурах. [c.155]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...