Аналитическая геометрия Системы координат

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Системы координат [c.103]

Уравнения абсолютного движения точки находятся из (2 ) с учетом (3 ), (4 ) и (5 ) проектированием на оси Охуг или по формулам аналитической геометрии, связывающим координаты точки М в двух системах координат — абсолютной и относительной [c.302]

Эти уравнения часто называют кинематическими уравнениями движения точки в декартовых координатах, по имени Рене Декарта, открывшего в 1637 г. метод аналитической геометрии на плоскости одновременно с Пьером де Ферма и независимо от него. Иногда декартовыми координатами называют и систему прямоугольных координат в пространстве, хотя пространственная система координат была открыта значительно позже. [c.131]

В самом деле, определить движение механической системы (в нашем случае плоской фигуры) — значит дать положение каждой ее точки в заданный момент времени. Написанные три уравнения позволяют определить местонахождение любой точки фигуры в данное мгновение. Определим, например, где на плоскости хОу находится точка К (рис. 28), координаты которой в подвижной системе обозначим через х и у. Подвижные оси координат х Еу и точка К неизменно связаны с фигурой, поэтому координаты х и у точки К в подвижной системе постоянны. Для определения координат хну точки к в основной системе хОу воспользуемся формулой преобразования координат, аналитической геометрии и очевидной из [c.66]

При определении траекторий точек механизмов, их скоростей и ускорений удобно использовать несколько координатных систем, последовательно определяя в них координаты точек механизма. Для вычислений координат точек в одной координатной системе по их координатам в других системах (рис. 5.8) используют известные из векторной алгебры и аналитической геометрии зависимости [c.52]

Легко заметить, что задача разыскания нормальных координат для системы с двумя степенями свободы эквивалентна известной задаче аналитической геометрии приведения уравнения алгебраической кривой второго порядка к канонической форме. [c.246]

Мы при этом получаем некоторую искусственно построенную поверхность, лишенную какой бы то ни было наглядности. Но зато в левой части уравнения будет константа, а поверхность представляет собой некоторую поверхность второго порядка. Свойства этих поверхностей хорошо изучены, и из курса аналитической геометрии известно, что уравнение поверхности второго порядка поворотом системы координат может быть преобразовано так, что коэффициенты при произведениях разноименных координат обращаются в нуль. Очевидно и наше искусственно построенное уравнение обладает тем же свойством. Но при произведениях yz, ZX и хув нашем случае коэффициентами являются касательные напряжения Ху , " zx и Хху. И из всего сказанного следует очевидный вывод, что в любой точке напряженного тела всегда можно найти такие три взаимно перпендикулярные площадки, в которых касательные напряжения обращаются в нуль. Такие площадки называются главными. Оси, перпендикулярные главным площадкам, называются главными осями. И наконец, напряжения, возникающие в главных площадках, называ- [c.21]

Связь между составляющими аэродинамических сил и моментов в скоростной и связанной системах координат определяется правилами аналитической геометрии. Зная углы атаки а и скольжения (3, можно осуществить пересчет этих составляющих из одной системы координат в другую, воспользовавшись табл. 1.2. [c.22]

Полученное соотношение мало что говорит о законах изменения напряжений в точке, зато оно дает уравнение центральной поверхности второго порядка. А из курса аналитической геометрии известно, что путем поворота системы координат это уравнение может быть преобразовано таким образом, что в нем исчезнут попарные произведения координат, или, иначе говоря, обратятся в нуль коэффициенты при членах попарных произведений. В данном случае это значит, что в каждой точке напряженного тела существует такая система осей х, у, г, в которой касательные напряжения Ху , и х у равны нулю. Такие оси называются главными осями. Соответствующие им взаимно перпендикулярные площадки называются главными площадками, анормальные напряжения на них — главными напряжениями. [c.259]

Пусть даны две системы координат— х, у, г) и u,v,w), отличающиеся поворотом относительно оси г на угол 0 и смещением начала координат на величины /, Ь, с (рис. 1.21). По правилам аналитической геометрии координаты одной и той же точки Д в этих системах могут быть связаны уравнениями переноса и поворота [c.40]

Построенная нами картина пространства конфигураций нуждается в дальнейших уточнениях. Мы основывались в своих рассуждениях на аналитической геометрии п-мер-иого евклидова пространства и соответственно считали п обобщенных координат механической системы прямоугольными координатами в этом пространстве. Если же заменить аналитическую геометрию дифференциальной, как это будет сделано в п. 5 этой главы, то можно получить картину, гораздо лучше отображающую геометрическую структуру пространства конфигураций. Однако и наша первая схема может быть весьма полезной. Продемонстрируем это на следующем примере. [c.35]

Кинетическая энергия и риманова геометрия Использование произвольных обобщенных координат для описания движения механической системы является одной. из существенных черт аналитической механики. Структура уравнений аналитической механики такова, что они могут быть записаны в виде, не зависящем от применяемых координат. Это свойство общих уравнений движения связывает аналитическую механику с одним из крупнейших достижений математики девятнадцатого века — теорией инвариантов и ковариантов. Эта теория окончательно созрела в наши дни, когда теория относительности Эйнштейна показала, как законы природы связаны с проблемами инвариантности. В основе теории относительности лежит требование, чтобы формулировки законов природы не зависели от какой-либо специальной системы координат. Математическое решение этой проблемы показало, что между законами, управляющими материей, и римановым основанием геометрии, существует глубокая внутренняя связь. Согласно общей теории относительности Эйнштейна, истинная геометрия природы не евклидова, а более общая— риманова эта геометрия связывает пространство и время в единое четырехмерное многообразие. [c.39]

Сделав эти общие замечания, касающиеся аналитической геометрии л-мерного евклидова пространства, перейдем теперь к изучению потенциальной энергии V qi,. .., <7 ) механической системы. Разложим эту функцию в ряд Тейлора в окрестности начала координат qi = О [c.178]

В механике мы сталкиваемся с этой теорией в связи с колебаниями механических систем около положения равновесия. Из обычной аналитической геометрии известно, что изучение поверхностей второго порядка сильно облегчается, если оси системы координат совпадают с определенными осями симметрии, например с тремя взаимно перпендикулярными главными осями эллипсоида или гиперболоида. [c.179]

В геометрии аналитической и дифференциальной широко используются методы координат, которые дают возможность применять хорошо развитый аппарат современной алгебры к решению задач в определенно выбранной, подчас случайно, системе координат. [c.62]

Применение метода В. А. Зиновьева к исследованию механизмов с соприкасающимися рычагами см. [94]. Рассмотренный метод по классификации, приведенной в гл. 22, может быть отнесен к геометрическим методам. Этот метод основан на простом аппарате аналитической геометрии и, в частности, теории замкнутых векторных контуров в трехмерном пространстве, что делает его доступным для широкого практического применения. Вместе с тем векторные уравнения замкнутости в этом методе отображают лишь замкнутые контуры геометрических осей звеньев и их ориентацию в пространстве, не определяя действительных относительных положений соединенных между собой звеньев как пространственных тел. Для полного определения относительных положений реальных звеньев в пространстве необходимо составлять дополнительные уравнения взаимосвязей между параметрами абсолютных движений звеньев. Привязка движений различных звеньев к одной неподвижной системе координат хотя и усложняет уравнения взаимосвязей между звеньями, но дает возможность непосредственного определения параметров абсолютных движений звеньев. [c.89]

Формулы для перехода от одной системы прямоугольных координат к другой, от прямоугольных координат к полярным или обратно, а также для расстояния между двумя точками в любой системе координат известны из основ аналитической геометрии на плоскости. [c.216]

С точки зрения аналитической геометрии это равенство означает эквивалентность двух векторных произведений (двух векторов), не зависящую от системы координат, в которой рассматриваются эти произведения и их компоненты, поэтому, просто снимая значок L, получаем в первоначальной, единой для всех точек ДОЭ системе координат соотношение [c.17]

Если закономерную кривую отнести к системе координат, то ее можно задать уравнением, связывающим координаты любой ее точки этим методом пользуются в аналитической геометрии. В начертательной геометрии и черчении кривые определяются по их проекциям. [c.36]

Из курса аналитической геометрии известно, что (10.8) представляет собой уравнение поверхности второго порядка в системе координат X, у, Z- Следовательно путём поворота системы координат уравнение (10.8) можно преобразовать таким образом, чтобы попарные произведения исчезли, или иначе говоря коэффициенты попарных произведений принимали нулевые значения. [c.189]

Эта точка С является центром данной системы параллельных сил. Найдем координаты этой точки. Для этого воспользуемся опять формулой деления отрезка в данном отношении. Как известно из аналитической геометрии, в случав внешнего деления [c.82]

По известным из аналитической геометрии формулам преобразования координат будем ил еть следующие равенства,выражающие зависимость между координатами точки М в неподвижной и подвижной системах [c.326]

Из аналитической геометрии известно, что уравнение поверхности второго порядка, отнесенное к центру, может быть преобразовано вращением координатной системы до совпадения осей координат с осями поверхности. Тогда уравнение поверхности будет отнесено к центру и осям. Как известно, при этом в уравнении поверхности исчезнут члены, содержащие произведения координат, т. е. коэффициенты при г в выражении (1.8) обратятся в нули. [c.20]

Аналитически вектор можно определить координатами его начала и конца относительно декартовой системы координат или координатами точки приложения и проекциями отрезка АВ на координатные оси. Знаки проекций при этом определяются обычными правилами аналитической геометрии (рис. 1). [c.12]

Система осей Оху на плоскости (фиг. 2) является также правой системой осей координат. Положение какой-либо точки относительно выбранной системы координат определяется обычными приемами аналитической геометрии. [c.18]

Построим две системы координат основную (неподвижную) хОуг и подвижную x Oy z. Пусть оси Oz и Ог совпадают и направлены по оси вращения. Координаты х, у, г произвольной точки К вращающегося тела относительно подвижной системы не меняются при движении тела, так как оси подвижной системы неизменно связаны с телом и вращаются вместе с ним. Координаты х, у и z той же точки относительно основной системы связаны с координатами х, у и г формулами, известными из аналитической геометрии , [c.59]

Из аналитической геометрии известно, что, выбирая оси симметрии эллипсоида инерции за оси новой координатной системы, мы приведем уравнение эллипсоида инерции к канонической форме, . равнение эллипсоида инерции, отнесенное к осям координат OxiUiZi (рис. 13), совпадающим с его осями симметрии, не имеет членов с произведениями координат и будет иметь такой вид [c.81]

Желательно вывод формул дать по возможности кратко, поэтому можно не обосновывать связь между координатами элементарной площадки в двух системах осей, так как соответствующая формула должна быть известна учащимся из аналитической геометрии и ее мсжно взять в готовом виде. Ясно, что после подстановки преобразования надо давать лищь для одного осевого момента инерции, а для второго и для центробежного писать по аналогии. [c.206]

Вычислительный аппарат векторною исчисле1П1я. Конечной целью решения практических задач, в частности, анализа или синтеза (проектирования) механизмов, является числовое, а не символическое, представление параметров механизмов, поэтому от векторных обозначений необходимо перейти к числовым предславлениям параметров. Наиболее просто векторы преобразуются к проекциям в прямоугольной декартовой системе координат, широко используемой в аналитической геометрии. Метод скалярных ортогональных проекций в сочетании с алгеброй чисел является предпочтительным математическим аппаратом векторного исчисления. Выбрав прямоугольную систему координат Оху>2, осям абсцисс, ординат и аппликат которой соответствуют орты I, j и к, представим произвольные векторы a, Ь, с и т. д. через их скалярные проекции [c.43]

Как известно из аналитической геометрии, формулы преобразования прямолинейных и прямоугольных осей координат, позволяющие осуществить переход от системы координат XjУjZJ к системе имеют вид [c.515]

Сделанное Декартом открытие, что геометрия допускает аналитическую трактовку, явилось существенной вехой в истории развития этой науки. Однако геометрия Декарта предполагала евклидову структуру пространства. Для введения прямоугольной системы координат необходимо принять постулаты конгруентности и постулат о параллельных прямых. [c.39]

После этих соображений возвратимся к правостороннему триэдру Оху2, который мы выбрали для установления системы декартовых координат. Так как для геометрического определения вектора V достаточно задать ориентированный отрезок А В (произвольно выбранный из ооз отрезков, имеющих ту же длину, то же направление и ту же сторону обращения, что и вектор г ), то здесь будет достаточно задать координаты х, у, 2 и х , у", начала А и конца В этого отрезка. Если теперь обозначим через V, компоненты вектора V по осям (как частные случаи компоненты о. которой шла речь в предыдущей рубрике), то, как известно из аналитической геометрии, [c.18]

На языке декартовой аналитической геометрии это означает следующее можно вычислить компоненты векторной скорости относительно триэдра Охуз и потом произвести преобразование координат к системе 9 Т С можно сначала произвести преобразование координат, а затем вычислить компоненты векторной скорости относительно Q irf , результат получится одйн и тот же. Можно это выразить коротко, в современной терминологии, если сказать, что компоненты скорости конгредиентны координатам точки >). [c.101]

Теория векторов, помещённая в начале в качестве введения, представляет собой подробное изложение геометрии системы скользящих векторов. Кинематика точки и абсолютно твёрдого тела содержит обширный и интересный материал автор уделяет много места исследованию движения в криволинеймых координатах, а также геометрической картине движения абсолютно твёрдого тела. Изложение динамики также отличается полнотой и глубоким анализом особенно подробно автор останавливается на аналитическом исследовании различных типов связей, что является характерной особенностью его курса. Весьма интересна глава, посвящённая обнхим началам (принципам) механики, где автор даёт достаточно полное систематическое изложение принципов Даламбера, Гаусса, Гамильтона, Лагранжа и принципа Гельмгольтца, который можно найти только в мемуарной литературе. [c.658]

Представим оригинал, вписанным в параллелепипед, со сторонами, равными габаритным размерам а = max хй Ь = шах yi с шах Zj. Здесь шах Xi, шах у,-, шах — максимальные значения соответствующих координат точек в описании оригинала. Грани параллелепипеда параллельны координатным плоскостям базовой системы oxyz, в которой описан оригинал. Систему координат после преобразования обозначим текущие координаты, — соответственно Хц) уц Хц. Преобразования координат выполняются по обычным формулам, известным из аналитической геометрии. Пусть, например (рис. 126) вид, обладающий характеристикой k, совпал с видом сверху . Тогда начало системы OiA iyiZi необходимо поместить в точку а шах х, 0 Ь max у1, с = шах 2 = 0. [c.194]

Для определения значений эквивалентной неуравновещенно-стп гцфо в относительной системе координат и Гнфа в абсолютной системе координат по аналитическим зависимостям [1 предварительно было произведено эксиериментальное определение геометро-массовых параметров каждой из колеблющихся систем II ротора. [c.331]

Найдем, вапрниер, матрицы преобраэоваяия прв повороте осей прямоугольной декартовой системы координат. Пусть Охуг-старая, а Ох у г -яовая система координат. Углы между старыми я новыми осями (д х ) -4 х , х ) заданы. Из аналитической геометрии известны преобразования при повороте осей координат [c.22]

Auto AD — система векторной компьютерной графики. Это означает, что вся исходная информация о графических элементах хранится и обрабатывается в системе в виде наборов координат, а соответствующие алгоритмы используют математический аппарат аналитической геометрии. Хранится информация о текущем чертеже в базе данных Auto AD. Изображение же на экране состоит из маленьких точек— пикселей. Таким образом, Auto AD должен преобразовать векторную координатную информацию в растровый формат изображения на экране. При из- [c.165]

В курсе аналитической геометрии вводится понятие центра масс (ЦМ) системы N материальных точек, массы которых Шь m2, Шз,. .., rriff, как некой точки пространства, положение которой относительно начала координат определяется радиус- [c.116]

Угол между неподвижной плоскостью Юх и подвижной плоскостью гОх обозначим нерез <р, причем будем отсчитывать этот угол от неподвижной плоскости в направлении, обратном движению часовой стрелки, если смотреть с положительного конца оси г. Данное тело может получить только вращательное перемещение вокруг неподвижной оси г так как его положение вполне определяется одним параметром — углом (р, то это тело представляет собой неизменяемую систему с одной степенью свободы. Примем угол ф за обобщенную координату этой системы, т. е. положим Qi = ф. Если обозначим координаты точки Mi тела, т. е. точки приложения силы Fi в неподвижной системе осей, через и j/j, а в подвижной системе — через и j/-, то по известным из аналитической геометрии формулам преобразования координат при повороте системы осей на угол ф будем иметь [c.541]

Замечание. Эту задачу можно решить по крайней мере еш е двумя способами. Во-первых, методами аналитической геометрии можно найти расстояние SQJ t) от шарнира О до муфты П как функцию времени. Дифференцируя SQJ t) найдем относительную скорость. Во-вторых, можно найти скорость стержня О А относительно муфты. Подвижная система координат будет связана с муфтой. В этом случае абсолютная скорость точки стержня О А под муфтой — это скорость точки тела при враш ательпом движении с угловой скоростью сОоАг переносная — скорость муфты, выраженная через скорость шарнира В. [c.219]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...