Характеристическое уравнение и коэффициент связи

Характеристическое уравнение и коэффициент связи [c.313]

Нормирование коэффициентов характеристического уравнения и его связь с характером переходного процесса [c.102]

Перемещение точки А в пространстве неминуемо связано с изменением коэффициентов характеристического уравнения и, следовательно, с перемещением корней на плоскости корней. Как только в процессе движения один из корней характеристического уравнения пересечет мнимую ось (фиг. 278) и попадет в правую полуплоскость, точка А из области сходящихся процессов (на фиг. 286 эта область заштрихована) перейдет в область расходящихся процессов в точку Ai и, следовательно, пересечет некоторую граничную поверхность, разделяющую области сходящихся и расходящихся процессов в рассматриваемом пространстве. Очевидно, что точка А будет находиться на границе между указанными областями в момент, когда один или несколько корней характеристического уравнения попадут на мнимую ось. Этот момент соответствует появлению у характеристического уравнения чисто мнимых корней ф. Далее мнимая часть комплексных сопряженных корней характеристического уравнения будет обозначаться символом i o. [c.516]

Кроме того, нужно иметь в виду, что для систем высоких порядков диапазоны значений чисел, в которых обычно лежат значения всех коэффициентов уравнений систем, начиная от о и и до а и Ьп, оказываются весьма значительными. Из-за этого в случае, если в расчетных процедурах участвуют все или почти все коэффициенты уравнений, возникают затруднения в программировании или в обеспечении точности расчетов. Последнее связано с возможностью получить принципиально ошибочные результаты. При оценке качества процессов по свойствам отдельных составляющих в каждой из процедур одновременно используются не более пяти рядом стоящих в уравнениях систем коэффициентов. Так, например, для характеристических уравнений одновременно используются коэффициенты йо — или — а, и т. д. Эту особенность иллюстрируют алгоритмы, описанные в гл. III. Использование же в каждой из процедур одновременно ограниченного числа коэффициентов исключает появление принципиальных ошибок. [c.65]

При рассмотрении указанных закономерностей для уравнения правой границы следует анализировать два случая в связи с тем, что эта граница может являться ограничивающей кривой как для первой, так и для второй рабочих подобластей, о видно, например, из рис. 11.53 и 11.54, соответствующих конкретному сочетанию значений и Л о- Сначала рассмотрим случай, когда правая граница является ограничивающей кривой для первой рабочей подобласти, и возьмем для примера сочетание значений коэффициентов, соответствующее точке Qi на рис. П.53. Характеристическое уравнение системы для указанного сочетания значений коэффициентов записывается [c.102]

Из предыдущих материалов следует, что для стационарных систем порядки уравнений отдельных составляющих определяются по параметрам р/, которые зависят от значений коэффициентов характеристических уравнений. Такой же подход может использоваться в определенных случаях, о которых говорится ниже, и для нестационарных систем, поскольку при исследовании этих систем используется условие замораживания коэффициентов уравнений на каждом шаге интегрирования. Однако вследствие изменения значений коэффициентов характеристического уравнения будут изменяться значения параметров р/ и в общем случае порядки отдельных составляющих при переходе от шага к шагу интегрирования. При изменении же порядков отдельных составляющих изменяются обозначения координат для исходных и конечных замещающих систем уравнений и структурных схем и даже появляются в них принципиальные отличия. В связи с этим обстоятельством должны рассматриваться два случая распространения задачи приближенного разложения процессов на исследование нестационарных систем. Более простым является первый случай, при котором порядки отдельных составляющих не изменяются при изменении шагов интегрирования. [c.161]

Для уменьшения времени позиционирования (при сохранении апериодического характера затухания динамической ошибки) в тех же условиях моделировался стабилизирующий закон управления (5.12) с диагональными матрицами коэффициентов усиления вида Fj = — 10/, Га = 25/. Характер затухания динамической ошибки в этом случае показан на рис. 5.2. Из сравнения полученных переходных процессов видно, что период позиционирования манипулятора с заданной точностью тем меньше, чем глубже отрицательная обратная связь в законе управления (5.12) (точнее говоря, чем левее от мнимой оси лежат корни характеристического уравнения, полученного на основе матричных коэффициентов усиления Fj, Fj). Для матриц Fi, Fj из первого эксперимента все корни характеристического уравнения совпадают и равны —1, а для матриц Fi, Fa из второго эксперимента они равны —5. [c.145]

Связь безразмерных параметров X и У с коэффициентами характеристического уравнения (88), выраженными через коэффициенты уравнений системы, следующая [c.89]

Как известно, корни характеристического уравнения (684) связаны с коэффициентами % и этого уравнения соотношениями [c.528]

Подытоживая, можно сказать, что полет вперед влияет на динамику продольного движения тем, что появляются момент тангажа от вертикальной скорости и вертикальное ускорение, вызванные угловой скоростью тангажа и инерционностью вертолета. Их произведение дает член —в характеристическом уравнении. Влияние скорости полета на корни легко установить, если рассматривать характеристическое уравнение как передаточную функцию некоторой разомкнутой системы с коэффициентом обратной связи Полюсы разомкнутой системы являются корнями характеристического уравнения для режима висения (строго говоря, это корни для режима висения, полученные с производными устойчивости, соответствующими полету вперед). Кроме того, имеется двойной нуль разомкнутой системы в начале координат. Режиму висения соответствуют два действительных корня для движений по тангажу и вертикали и два длиннопериодических слабо неустойчивых колебательных корня. За коэффициент обратной связи можно принять и л , поскольку производная Mw пропорциональна ц. Корневой годограф при изменении или, что то же самое, скорости полета, показан на рис. 15.10, где видно изменение корней продольного движения как при исходной неустойчивости по углу атаки от несущего винта (М >0), так и при устойчивости по углу атаки, создаваемой достаточно большим стабилизатором Ми, < 0). [c.754]

Следует, однако, отметить, что рассмотренный метод задания полюсов обеспечивает лишь желаемое поведение изолированных собственных движений замкнутой системы. Что же касается их взаимного влияния и парирования внешних возмущений, то этого предложенный подход не учитывает. Поэтому в общем случае следует отдавать предпочтение тем методам синтеза, в которых управляющая и регулируемая переменные вычисляются непосредственно. Преимущество же рассмотренного метода состоит в том, что зависимость коэффициентов характеристического уравнения от изменения постоянных ki обратной связи представлена в явном виде. В гл. 7 было показано, что характеристическое уравнение апериодического регулятора есть z =0. Из уравнения (8.3-8) следует, что в этом случае ai=0. Такой апериодический регулятор с управлением по состоянию будет рассмотрен в разд. 8.5. [c.152]

В разд. 8.3 для задания расположения полюсов использовалось описание системы в канонической форме управляемости. Изменение коэффициентов к вектора обратной связи непосредственно влияет на величину коэффициентов щ характеристического уравнения. При этом ki влияет только на а, так что ki и aj при i j оказываются независимыми. В этом разделе будет рассмотрен метод задания полюсов в системах управления по состоянию с использованием векторно-матричного описания в диагональной форме. Поскольку в этом случае коэффициенты к, непосредственно влияют на собственные значения (моды) z, такое управление называется модальным. Для многомерных систем модальное управление впервые было описано в работе [8.9]. Более подробно о модальном управлении сказано в [5.17 и 8.10]. [c.152]

В композитных материалах на полимерной основе дисперсия волн обусловлена не только геометрической структурой, но и диссипативными свойствами связующего. Взаимодействие этих двух механизмов, приводящих к затуханию динамических возмущений, исследовалось для вязкоупругих продольных волн, распространяющихся перпендикулярно плоскостям раздела слоев. Приведенное выше аналитическое решение остается справедливым и для вязкоупругой среды, но теперь ij q являются комплексными величинами, зависящими от частоты колебаний ij q = [j q u ) + i lj q, < 0. Изучение объемных волн в вязкоупругом случае сводится к анализу корней характеристического уравнения eos sh = 6g, в котором коэффициент 6д, в отличие от упругого случая, является комплексной величиной. Один из корней этого уравнения pi = + Р2 всегда по абсолютной величине меньше единицы, а второй корень Р2 = 1/pi больше единицы. Первый корень описывает физически разумное решение при распространении волн в положительном направлении оси z п +оо) а, второй — в отрицательном направлении оси z п —оо). Если положить pi = ехр г/г (s + s"), то hs и hs находятся по соотношениям hs" = — 1п pi , eos hs = pi exp/га", sin hs = = р ехр/гз", однозначно определяющим hs при изменении частоты от нуля до [c.822]

В окрестности этого равновесия функция Гамильтона Н редуцированной системы с двумя степенями свободы имеет вид Я2 + + Я4 +. .. (члены третьей степени отсутствуют). Коэффициенты зависят от двух параметров х = у = 1 . Можно показать, что характеристические корни векового уравнения чисто мнимы, если у > х/ х + 1). Обозначим через Е область = х, у , где выполнено это неравенство. Частоты находятся в отношении 1 3, если параметры х и у связаны равенством [c.322]

При повороте ортов поляризационного базиса на некоторый угол координаты векторов в исходной и повернутой системах связаны линейным преобразованием с ортогональной матрицей. Преобразуются и элементы матриц, в частности поляризационной. При этом некоторые величины, составляемые из элементов матриц, не изменяются. Например, не изменяются собственные значения (с.з.) матриц, а также такие комбинации их элементов, которые определяют эти значения. Как известно, коэффициентами характеристического уравнения, из которого находятся с.з., являются след [c.255]

Найдя коэффициенты Л и В из (1.15) и подставляя их в (1.14), получим связь между дифференциалами скоростей вдоль характеристических направлений. Так как в каждой точке имеем два значения X, то из указанных уравнений получим две связи между йи, йи. Эти связи называются условиями на характеристиках. В газовой динамике их называют характеристиками в плоскости годографа скоростей. [c.303]

Нетрудно сообразить, что в этом случае коэффициенты этих трехчленов для ненормированного характеристического уравнения связаны с коэффициентами квадратных трехчленов для нормированного уравнения (г + М,2 + N1) и коэффициентом нормирования к [c.103]

Возвращаясь опять к простейшей колебательной системе, заметим, что характер колебательного процесса существенно связан с двумя параметрами времени периодом колебаний Т и постоянной времени затухания т. Обе эти величины, как мы знаем, существенно связаны с корнями характеристического уравнения, а следовательно, и с его коэффициентами. Исследуем теперь эти соотношения для обеих систем, как и выше. [c.106]

Запись (2.19) называется формой связанных колебаний [5]. Этим названием подчеркивается, что коэффициенты связи к связывают нормальные колебания а, ог, а , изолированных маятников. Отыскивая решение (2.19) в виде ai t) = а (0) ехр(га ) и а 1) = (0) ехр(га ) (г = 1, 2), получаем систему алгебраических уравнений для а (0) и а (0), условие совместности которой приводит к характеристическому уравнению [c.47]

Из-за сложной структуры коэффициентов характеристических уравнений (8.54) и (8.55) их корни, вообще говоря, не могут быть определены в замкнутой форме. Лишь в некоторых частных случаях, когда между коэффициентами имеются определенные связи требуемого типа, корни характеристических уравнений могут быть получены точно в замкнутой форме. В иных частных случаях, используя определенные соотношения между коэффициентами, корни характеристических уравнений можно определить аналитически каким-либо приближенным методом. Однако в общем случае целесообразно корни характеристических уравнений определять численно и весь последующий расчет вести в числах. [c.278]

В реальных задачах анизотропных слоистых оболочек имеем большое многообразие коэффициентов A и Б,., в силу чего то же имеет место и для корней характеристических уравнений (8.54), (8.55). В связи с этим ясно, что для дифференциальных уравнений (8.5) и (8.33) будем иметь решения различных типов. Это многообразие решений уравнений (8.5), (8.33) здесь не рассматривается. Однако в каждом частном случае решения уравнений [c.278]

Будем рассматривать состояние равновесия х=0, у — 0 и будем исследовать возможное рождение цикла из этого состояния равновесия при изменении коэффициента взаимоиндукции обратной связи М. Характеристическое уравнение для этого состояния равновесия имеет вид [c.476]

Если бы контуры не были связаны индуктивно, то коэффициент % был бы равен нулю, и мы получили бы распадающееся уравнение. Если можно пренебречь сопротивлением, то 1 = з = О и характеристическое уравнение получится биквадратное. В общем случае исследование производится согласно изложенной теории, где [c.237]

В связи с тем, что при анализе устойчивости гидро- и пневмосистем часто приходится рассматривать характеристические уравнения третьего порядка п =3), условие (5.15) удобно сформулировать в виде следующего правила для устойчивости системы третьего порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения имели одинаковые знаки, а произведение коэффициентов средних членов этого уравнения было больше произведения коэффициентов. крайних членов (первого и последнего). [c.90]

Характеристическое уравнение для волн, распространяющихся вдоль поверхности, имеет и другие решения [10, 85] При коэффициенте Пуассона материала v>0,26 имеется один комплексный корень с положительными действительной и мнимой частями Действительная часть характеризует фазовую скорость волны вдоль поверхности Она близка к скорости продольной волны, но несколько отличается от нее, например, для железа фазовая скорость равна 6155 м/с, т е больше скорости продольной волны (5900 м/с). Мнимая часть корня указывает на затухание волны вдоль поверхности Для железа амплитуда волны ослабляется в е раз на расстоянии 1,7 длины волны Ослабление связано с тем, что в каждой точке поверхности возникают продольные и поперечные волны под углом к поверхности [c.17]

Проиллюстрируем на примере связь между элементарными делителями и характером частных решений системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Допустим, что характеристическое уравнение есть уравнение третьей степени и что оно имеет двукратный корень А.1. Если все элементарные делители Я-матрицы линейны, то она может быть приведена к диагональной форме [c.463]

В частности, нормированное уравнение систем четвертого порядка (602) имеет три безразмерных коэффициента х и Поэтому характеристическая точка такой системы располагается в пространстве. Диаграмма сходимости, построенная в пространственных координатах, неудобна в работе, в связи с чем можно использовать метод [c.501]

Нормированное уравнение систем четвертого порядка (267) имеет три безразмерных коэффициента 1, X и С. Поэтому характеристическая точка такой системы располагается в пространстве. Диаграмма сходимости, построенная в пространственных координатах, неудобна в работе, в связи с чем можно использовать метод [76] параллельных сечений плоскостями, перпендикулярными оси / (фиг. 206). В каждой из таких плоскостей переменными являются два коэффициента Ч и С при постоянном значении коэффициента у . [c.316]

Уравнение (3.8) показывает, что напряжение в каждой точке связано со скоростью частицы прямой пропорциональностью с коэффициентом, равным рсо соответствующим характеристическому импеданцу, определенному ранее в связи с уравнениями (2.50) и (2.51). По аналогии со случаем электропроводности уравнение (3.8) представляет механический аналог закона Ома, а значение характеристического импеданца материала в системе С. О. 8. выражается в акустических омах . [c.49]

Связь мемйду коэффициентами характеристического уравнения и следомматрицы. Если 5—след матрицы Л, 5 — след матрицы Л и 5" — след матрицы А ю [c.483]

Характеристическое уравнение для имеет еще одну пару корней [18]. Если коэффициент Пуассона материала больше 0,26, то один из этих корней комплексный с положительными действительной и мнимой частями + /к". В результате уравнение плоской волны запишется в виде Таким образом,. действительная часть kg характеризует фазовую скорость, а мнимая — затухание волны вдоль поверхности. Фазовая Kopo ib близка к скорости продольной волны, но несколько отличается от нее, например для железа фазовая скорость равна 1,035с , т. е, больше скорости продольной волны. Мнимая часть корня k" для железа равна 0,09ki, в результате амплитуда волны ослабляется в е раз на расстоянии 1,75Х. Ослабление связано с тем, что в каждой точке [c.12]

В табл. 1 представлены модели одномассных ВУС, включающих системы симметричные и несимметричные, с упругими связями и без них, с различным числом ударных пар. Некоторые из этих моделей обладают диссипативными свойствами в форме линейного трения (—сх). Для каждой из этих моделей в таблице приведено диффе-)енциальное уравнение движения звена т в интервалах между его соударениями. 5иброударные режимы с одним соударением за период движения в каждой ударной паре полностью описываются коэффициентами фазового уравнения, определяющими фазу ф соударения, и величиной ударного импульса I, сообщаемого в процессе удара звену т. Кроме этого, в табл. 1 приведены коэффициенты характеристического уравнения, определяющего условия устойчивости (см. п. 4). Все данные, приведенные в табл. I, а также в табл, 2 и 3 (см. ниже), взяты из работы [20j. [c.312]

Далее, траектории корней этого уравнения можно рассматривать как корневой годограф некторой замкнутой системы автоматического управления, имеющей в разомкнутом состоянии передаточную функцию l/(s — MqS ), при изменении коэффициента усиления обратной связи Ми от нуля в положительном направлении. В случае разомкнутой системы (при Ми = 0), очевидно, будет иметь место двойной полюс в начале координат S = О и один действительный отрицательный полюс s — Mq = =Применяя правила построения корневого годографа, можно найти траектории корней замкнутой системы, т. е. корней характеристического уравнения. Годограф показан на рис. 15.2. Рост устойчивости по скорости приводит к увеличению абсолютной величины действительного края и к появлению низкочастотных медленно нарастающих колебаний. С учетом члена Ха характеристическое уравнение можно записать в виде [c.719]

Выражения 1+GxxRn и I+G22R22 являются характеристическими полиномами несвязанных контуров управления, состоящих из главных элементов передачи и главных регуляторов. Член — G12RXXG21R22 описывает взаимосвязь собственных движений главных контуров управления при наличии элементов перекрестной связи Gx2 и G21. Этот член определяет изменение характеристических уравнений изолированных контуров управления, обусловленное влиянием элементов связи. Если Gi2=0 и/или G2i=0, то коэффициенты отдельных контуров управления не изменяются. [c.314]

Прогнозирование максимально-возможных значений разности потенциалов арматура — бетон или смещения потенциала АЫ, обусловленных изменениями на источниках блуждающих токов, выполним для наиболее распространенного случая, соответствующего росту нагрузки ближайшей тяговой подстанции в связи с интенсификацией движения и увеличением грузооборота. В этом случае изменяется (увеличивается) и среднее значение х разности потенциалов арматура — бетон. Пересчет среднего значения х, соответствующего току нагрузки 1и к средней величине X, соответствующей новому току нагрузки /2, выполняем с учетом уравнения регрессии X = а - - Ы . Коэффициенты а и 6 находим с помощью специальной обработки синхронных записей величин л и /1 [4]. Пусть X < / р, где / р — критическое значение, характеризующее опасность коррозии. Задача таким образом сводится к нахождению максимально возможного значения Ки в новом распределении со средним значением X, полученном наложением на исходное распределение нового экстремального распределения. В этом случае целесообразно воспользоваться обобщением Барричели. Суть его заключается в том, что при изменении генерального среднего новое распределение фв х) можно представить как композицию нормального распределения характеристического наибольшего и со средним значением X и стандартным (среднеквадратичным) отклонением 0 = = lhY2 и двойного экспоненциального распределения х со стандартным отклонением максимальной величины 0 = = я/(а У ). Обобщение Барричели применимо, если исходное распределение нормальное. [c.180]

Исследование системы связанных резонаторов можно провести, если волиы, распрострапяюш иеся в отдельных резонаторах, связать друг с другом с помогцью коэффициентов отражения и пропускания зеркал, подобно тому, как это делается в 3.1 для трехзеркального резонатора. Исследуя далее качественно или с помогцью ЭВМ характеристическое уравнение полученной системы, можно найти резонансные частоты, потери, отпошепие амплитуд полей в разных частях резонатора и вообгце все характеристики сложного резонатора. Как правило, система дополнительных зеркал не должна занимать много места. В этом случае систему дополнительных зеркал можно рассматривать как единое зеркало с селективными свойствами. Далее без вывода приводятся зависимости коэффициентов отражения таких комбинированных зеркал для четырех наиболее интересных случаев (рис. 3.4). [c.176]

Изучение малых колебаний неголономной системы, опирающееся на исследование линейных дифференциальных уравнений (2.5) и (2.6), по существу ничем не отличается от аналогичного исследования линеаризованных уравнений движения голономной системы. Так же, как и в случае голономной системы, при наличии решения, нарастающего во времени, результаты такого исследования будут справедливы лишь на конечном интервале времени и т. д. В этом смысле на неголономные системы полностью распространяются все положения обычной теории малых колебаний. Что же касается связи линеаризованных ураднений (2.5), (2.6) с движением исходной неголономной системы, то здесь есть особенность, присущая только неголономным системам. Эта особенность проявляется в наличии нулевых корней и в несимметричности матрицы коэффициентов характеристического уравнения, в случае консервативной системы. Обычный подход с позиций теории малых колебаний здесь не дает полного ответа ка вопрос об устойчивости и не позволяет вскрыть природу нулевых корней. Как мы увидим, эти вопросы тесно связаны между собой. Более подробное рассмотрение вопроса об устойчивости и малых колебаниях неголономных систем позволяет не только объяснить природу нулевых корней характеристического уравнения, но и обнаружить еще одну особенность неголо- [c.268]

Доказано, что общие выражения, позво-.ляющие непосредственно вычислять корни алгебраического уравнения по его коэффициентам, существуют только для уравнений до четвертой степени включительно. Определение орней для уравнений пятой и более высоких степеней производится методами приближенных вычислений. Несмотря на детальную разработку методики вычислений, эта операция все же сложна и трудоемка. В связи с этим в настоящее время исследования такого рода аедутся косвенными методами, позволяющими при помощи так называемых критериев устойчивости определить устойчивость системы непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения без вычисления его кор- яей или даже по экспериментально снятым характеристикам. [c.523]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...