ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Методы решения систем алгебраических уравнений из "Применение ЭВМ для решения задач теплообмена " Изложение методов решения систем алгебраических уравнений, начнем с линейных систем. [c.9] Методы решения систем линейных алгебраических уравнений разделяют на две группы прямые и итерационные. В прямых методах решение находят за конечное число действий, зависящее от числа неизвестных N, и это решение было бы точным, если бы при выполнении арифметических операций не было погрешностей округления, т. е. если бы действия проводились с неограниченным числом знаков. [c.10] Выбор метода решения на ЭВМ системы линейных алгебраических уравнений зависит от свойств матрицы А, числа уравнений N и возможностей ЭВМ — объема оперативной памяти, быстродействия и числа значащих цифр, с которыми ведутся вычисления. В настоящее время в прикладном программном обеспечении ЕС и СМ ЭВМ имеется достаточно большое число программ, реализующих прямые методы. Здесь мы рассмотрим только один прямой метод — метод Гаусса. Некоторые другие прямые методы — метод прогонки, метод квадратного корня — будут рассмотрены ниже в главах 3 и 4 при обсуждении алгоритмов решения тех задач, где их использование наиболее эффективно. [c.10] Здесь верхний индекс 1 означает, что выполнен первый шаг исключения. [c.11] Отметим, что первое уравнение осталось неизменным и оно (т. е. его коэффициенты) оставляется на хранение в машинной памяти. [c.11] К уже хранящимся коэффициентам первого уравнения системы (1.12) добавляются коэффициенты второго уравнения системы (1.13). [c.11] Чтобы уменьшить погрешности округления при реализации k-то шага исключения, берут соответствующее уравнение и неизвестное не в естественном порядке, как это было в рассмотренном выше алгоритме, а находят их в результате специального поиска. Цель поиска определить уравнения с максимальным коэффициентом а Такой прием называют выбором ведущего элемента. При этом усложняется алгоритм пересчета коэффициентов уравнений, поскольку приходится как бы переставлять строки и столбцы в матрице линейной системы, чтобы найденный максимальный коэффициент оказался на ее главной диагонали. Эта процедура реализована в стандартных подпрограммах. Поэтому для решения линейной системы по методу Гаусса не следует самому составлять программу, используя простейшие формулы типа (1.11), а целесообразно брать какую-нибудь стандартную программу, в которой разработчики уже предусмотрели меры для уменьшения влияния погрешностей округления. [c.12] Любой итерационный процесс начинается с задания по некоторым соображениям начального приближения u V- n=i- Например, часто полагают ==0, и = 1,. .. [c.13] На первый взгляд кажется, что для повышения скорости сходимости целесообразно использовать только а 1. Однако часто поведение и при увеличении номера итерации s носит колебательный характер, при котором и переходит от значений, меньших U , к значениям, большим точного решения. При этом чрезмерное увеличение а может лишь увеличить такие колебания. Поэтому в ряде случаев для ускорения сходимости решения имеет смысл тормозить изменение значений задавая аС 1. В большинстве реальных задач оптимальное значение множителя а подбирают путем численных экспериментов. [c.14] задаваемый формулой (1.22), называется методом последовательной верхней релаксации при а 1 или методом последовательной нижней релаксации при а 1. При а — 1 получаем как частный случай метод Гаусса—Зейделя. [c.14] Основным недостатком итерационных методов является трудность получения оценок их скорости сходимости. Довольно часто получается слишком медленная сходимость и выгоднее решать систему прямыми методами. Для определения оценок скорости сходимости и оптимального значения параметра релаксации а из (1.22) приходится предпринимать специальные исследования, в частности вычислять минимальное и максимальное собственные числа матрицы. Обычно это имеет смысл делать только в случае, когда линейную систему с данной матрицей предполагается решать многократно. [c.15] Решение систем нелинейных алгебраических уравнений. Ограничимся изложением только двух методов реп1ения, рассматривая их применительно к нелинейным системам частного, но наиболее часто встречающегося в разных теплофизических задачах квазилинейного вида. Такие системы записываются аналогично (1.8), но имеют коэффициенты ац, зависящие от искомых величин и. a,j = = a,j (и,,. .., u/v). Они возникают, например, при решении стационарных уравнений теплового баланса (1.2), в которых тепловые проводимости Ojj зависят от температур Т,-, Г,-. Для решения этих нелинейных систем обычно применяют итерационные методы, в которых на каждой итерации решается линеаризованная система, т. е. некоторая линейная система, полученная из исходной нелинейной задачи. Наиболее часто применяют два подхода к линеаризации. [c.15] В заключение отметим, что оба рассмотренных метода можно применять и для решения систем нелинейных алгебраических уравнений общего вида. Для общего случая изложение метода простой итерации и метода Ньютона приведено в (2, 101. [c.16] Вернуться к основной статье