ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Методы решения систем алгебраических уравнений из "Электронная и ионная оптика " Наиболее известный прямой метод решения больших систем линейных алгебраических уравнений — приведение Гаусса с обратной подстановкой. Процедура решения системы п линейных алгебраических уравнений методом гауссова приведения состоит из п—1 шагов. На каждом шаге уравнения, кратные очередному уравнению системы, вычитаются из остальных уравнений с тем, чтобы исключить одну переменную. Обратная подстановка заключается в решении последнего оставшегося уравнения для последней переменной, затем предпоследнего уравнения относительно предпоследней переменной и т. д. до тех пор, пока не решено первое уравнение относительно первой переменной. Поскольку число уравнений обычно очень велико, но каждое содержит не более девяти переменных, большинство элементов матрицы системы равно нулю. Эго позволяет расставить уравнения таким образом, чтобы матрица системы приняла ленточный вид, т. е. чтобы все ненулевые элементы были сгруппированы вблизи ее диагонали. Тогда система решается довольно просто. Подробное описание этого метода и различные варианты его усовершенствования можно найти в литературе [115]. Хотя прямые методы и требуют большего объема машинной памяти, чем итерационные методы, они чище в том смысле, что не содержат проблемы сходимости. Благодаря доступности больших компьютеров прямые методы становятся все более пригодными для решения практических задач. [c.152] Разработано множество итерационных методов решения систем уравнений (линейных и нелинейных). Их общая идея заключается в том, что сначала выбирается некоторое начальное приближение, а затем строится последовательность векторов (компонентами которых являются неизвестные величины), сходящаяся к точному решению. Поскольку на каждом этапе необходимо сохранять лишь последние приближения значений потенциала, экономия объема памяти получается весьма ощутимой. В силу этого до последнего времени при решении больших систем уравнений использовались почти исключительно лишь итерационные методы. [c.152] Естественно, разностные методы могут использоваться вне зависимости от вида симметрии задачи. Наряду с осесимметричными фокусирующими полями могут быть вычислены многополюсные и отклоняющие поля. Кроме того, может быть учтено влияние пространственного заряда. Однако вычисления значительно усложняются при решении трехмерных задач. В настоящее время это направление активно развивается [117—119]. [c.154] Метод конечных разностей может быть использован даже в том случае, если рассматриваемая область содержит материалы с различными свойствами. Для значений потенциала в узлах, соответствующих пересечению поверхностей этих материалов с расчетной сеткой, могут быть получены необходимые разностные уравнения. Хотя эти уравнения нелинейные, их можно решить, используя подходящие вычислительные методы. [c.154] Выше мы познакомились со всей основной информацией, необходимой для использования конечно-разностного метода. Читатель, интересующийся подробным освещением данного вопроса, может обратиться к специальной литературе [ПО, 115, 116, 120, 121]. [c.154] Вернуться к основной статье