Уравнения дифференциальные равновесия произвольных

Для того чтобы продемонстрировать этот метод, рассмотрим балку с одним заделанным и одним свободно опертым концом, на которую действует равномерно распределенная нагрузка (рис. 7.2). Если для решения выбрать дифференциальное уравнение второго порядка, то потребуется получить выражение для изгибающего момента М в произвольном поперечном сечении балки. С этой целью нужно выбрать лишнюю неизвестную реакцию и затем выразить через нее все остальные реакции. Выберем в качестве лишней неизвестной реакцию i f, тогда из уравнений статического равновесия можно выразить реакции в опоре А через следующим образом [c.271]

Выведем дифференциальное уравнение колебаний стержня. С этой целью рассмотрим условие динамического равновесия участка колеблющегося стержня. Сечения аи Ь (рис. 545, б), ограничивающие элементарную длину dx, периодически перемещаются. Перемещение и произвольного сечения с координатой х может быть выражено как и = f (х, t). Это уравнение указывает на наличие в стержне относительных перемещений отдельных его поперечных сечений. [c.569]

При выводе дифференциального уравнения поперечных колебаний стержня рассмотрим динамическое равновесие участка dx, выделенного из произвольно закрепленной балки, предположим по схеме, показанной на рис. 547, а. vv Пользуясь принципом Д Алам-бера, спроектируем на ось w [c.571]

Пусть АЁ длина ненапряженной пружины бо — статическое удлинение (рис. 333). Возьмем начало координат в точке О (положение статического равновесия) и направим ось j по вертикали вниз. Тогда в произвольном положении на груз действуют сила тяЖести Я = mg и упругая сила F = с , где в нашем случае удлинение пружины М = бо + -< - Составляя дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось X, получим [c.363]

В силу произвольности вариаций 8ut°, 8w из уравнения (9.74) следуют основные дифференциальные уравнения равновесия (9.30), (9.33) тонкой пластины, на которую действуют поперечные силы и силы, лежащие в срединной поверхности, а также статические граничные условия [c.204]

Учитывая, что Qi — произвольная подобласть Q, находим дифференциальные уравнения равновесия [c.79]

Интегрирование линейных уравнений равновесия винтового стержня. Если винтовой стержень используется в качестве чувствительного элемента, например акселерометра, он нагружается распределенными силами, причем вектор q распределенных сил может иметь произвольное направление. В этом случае определить напряженно-деформированное состояние винтового стержня можно только решая систему дифференциальных уравнений. Если рассматриваются малые перемещения точек осевой линии, для определения напряженно-деформированного состояния стержня можно использовать уравнения равновесия нулевого приближения (1.107)— (1.111), положив Шо=0 [c.206]

Очевидно, что дифференциальные уравнения равновесия (4.3) и условия совместности Бельтрами—Мичелла (4.51) будут удовлетворены, если в произвольной точке М (Xk) бруса принять [c.85]

Выведем дифференциальное уравнение колебаний стержня. С этой целью рассмотрим условие динамического равновесия участка колеблющегося стержня. Сечения а п Ь (рис. 567, б), ограничивающие элементарную длину dx, периодически перемещаются. Перемещение и произвольного сечения с координатой х может быть выражено как u=f х, t). Это уравнение указывает на наличие в стержне относительных перемещений отдельных его поперечных сечений. Если сечение а перемещается а и, а Ь — на и- ди/дх) dx, то относительное удлинение в сечении а элемента dx (рис. 567, в) г = ди/дх. Тогда осевая сила в сечении а [c.632]

При выводе дифференциального уравнения поперечных колебаний стержня рассмотрим динамическое равновесие участка dx, выделенного из произвольно закрепленной балки, предположим по схеме, показанной на рис. 569, а. [c.634]

Как уже отмечалось, это уравнение по существу является уравнением кривой фазового равновесия р=р Т) в неявном виде. В рамках двух законов термодинамики не представляется возможным в явном виде независимо выразить потенциалы двух фаз через параметры р и Т, поскольку выражения для потенциалов известны с точностью до произвольной функции а + ЬТ, где а и Ь — постоянные. Поэтому уравнение кривой фазового равновесия получают в дифференциальной форме. [c.31]

Обратно, из (9.4) и (9.2) на основании произвольности возможных перемещений 8гс, с помощью преобразования (9.3) и условия б (р ( т) = о, можно получить дифференциальные уравнения равновесия и граничные условия для напряжений. В этом смысле можно говорить, что уравнение (9.4) эквивалентно системе уравнений равновесия и граничным условиям. Если имеются граничные условия в перемещениях, то они должны быть учтены дополнительно ). [c.390]

Три других мемуара Эйлера — Общие начала состояния равновесия жидкостей , Общие начала двин ения жидкостей и Продолжение исследований по теории движения жидкостей , вышедшие в записках Берлинской академии наук (1755—1757), составили основополагающий трактат по гидродинамике во втором из них, в частности, выведены дифференциальные уравнения в частных производных движения несжимаемой жидкости, а в третьем рассмотрены некоторые вопросы движения жидкостей и газов в узких трубках произвольной формы. Со всем этим была связана разработка Эйлером приемов решения уравнений в частных производных. Одно из таких уравнений встречается теперь в задачах о движении газа с околозвуковыми и сверхзвуковыми ско- [c.188]

Результат (20.85) оказался возможным благодаря использованию в выводе уравнения переноса излучения гипотезы о локальном термодинамическом равновесии. Согласно этой гипотезе, каждый элементарный объем среды, имеющий произвольное температурное распределение, находится в состоянии термодинамического равновесия при температуре данного элемента среды. Е. Милн доказал, что условия локального термодинамического равновесия определяются теми эффектами столкновений, которые обусловливают процессы поглощения и излучения радиационной энергии. Таким условиям удовлетворяют поглощающие и излучающие среды, имеющие достаточно высокую оптическую плотность. Проинтегрируем интегро-дифференциальное уравнение (20.77) почленно ска-лярно в пределах телесного угла Q = 4n [c.514]

Переходя от поверхностных интегралов к объемным и учитывая, что объем выбирается произвольно, получим дифференциальные уравнения равновесия [c.105]

Нашим следующим шагом будет признать произвольными обе вариации bw и Ьи. Мы придем тогда ко второму из дифференциальных уравнений (234), для сил же Nf примем выражение (с) Ш и уравнение (d) того же параграфа. Если мы предположим, что только это последнее уравнение равновесия должно быть выполнено, то нам потребуется еще удовлетворить условию [c.458]

В статьях [55, 56] предлагается новый вариант теории трехслойных пластин с несжимаемым в поперечном направлении заполнителем, основанный на гипотезе ломаной нормали. Уравнения равновесия в перемещениях получены с помощью принципа Лагранжа. Формальным введением малого параметра в дифференциальные уравнения решение исходной задачи сведено к итерационному процессу, содержащему решение задачи об изгибе пластины на упругом основании и плоской задачи теории упругости. Точное решение получено для прямоугольной шарнирно-опертой по контуру пластины, найдена оценка погрешности приближенного решения, получаемого после произвольного числа итераций. Этими же авторами предложен метод расчета осесимметричных круглых трехслойных пластин с легким сжимаемым заполнителем на действие нагрузок, симметричных и обратносимметричных относительно срединной плоскости. Разложение нагрузок на составляющие позволяет упростить определение постоянных, входящих в общее решение задачи. [c.13]

Так как (2.4) выполняется для произвольного поля скоростей, удовлетворяющего лить краевым условиям = щ на 5 , то из (2.4) вытекает, что напряжения удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия. Верно и обратное всякое равновесное распределение напряжений и произвольное распределение скоростей, удовлетворяющие краевым условиям, связаны соотношением (2.4). [c.43]

Таким путем он пришел к дифференциальному уравнению четвертого порядка с переменными коэффициентами и решил это уравнение в предположении, что стержень имеет постоянное сечение, при помощи бесконечных рядов. Мы воспользуемся для решения того же вопроса вторым методом, обратимся к рассмотрению энергии системы и покажем на этой задаче, как, пользуясь этим методом, можно получать приближенные решения и увеличивать точность этих решений путем увеличения числа произвольных параметров, которыми определяется искривленная форма равновесия сжатого стержня. [c.285]

Обзор содержания. Классическая механика жидкости является одним из разделов механики сплошных сред и исходит, таким образом, из предположения, что жидкость по своей структуре практически непрерывна и однородна. Основное отличие жидкости от других сплошных сред заключается в том, что в положении равновесия касательные напряжения на границе раздела двух смежных частей жидкости должны равняться нулю. Само по себе это свойство не является достаточным для описания движения жидкости, хотя оно и положено в основу гидростатики и гидродинамики. Для того чтобы характеризовать физическое поведение некоторой жидкости, это свойство должно быть обобщено, представлено в надлежащей аналитической форме и учтено в уравнениях движения произвольной сплошной среды. При этом неизбежно получается система дифференциальных уравнений, которым должны удовлетворять скорость, давление, плотность и т. д. при произвольном движении жидкости. В данной статье мы будем рассматривать эти дифференциальные уравнения, их вывод из основных аксиом и различные формы, которые принимают эти уравнения при более или менее ограничительных предположениях, касающихся свойств жидкости или ее движения. [c.5]

Нормальные напряжения получим, интегрируя дифференциальные уравнения равновесия с учетом (4.26). Произвольные функции, кроме одной, определяются из граничных условий (4.25). Функция Ф (х) варьируема и представлена для упрощения решения коэффициентом йд. [c.125]

Составляя уравнение равновесия произвольного участка стержня между сечениями 1 = onst HA 2== onst, x >Xi, получим следуюшее дифференциальное уравнение равновесия [c.109]

Решение. Поместим начало координат О в положение статического равновесия груза и направим ось Ох по вертикали вниз (рис. 267). Если обозначить длину недеформированной пружины через 1 , то ее длина в произвольный момент времени будет /=/о—S+ t+J . а удлинение Х=1 1а=Кт+х— . Тогда действующая на груз сила упругости f= X= ( T+- —I). и составляя дифференциальное уравнение движения груза, будем иметь (так как X T=mg) [c.249]

Получим теперь дифференциальные уравнения равновесия для ЭТОГ0 выделим произвольный участок стержня х , = onst и Хз" = onst х Г>х л ) и приравняем нулю главный вектор и главный момент усилий, действующих на этот участок. [c.74]

Тот факт, что вектор деформации удовлетворяет бигармониче-скому уравнению, не означает, разумеется, что общий интеграл уравнений равновесия (при отсутствии объемных сил) есть произвольная бигармоническая векторная функция следует помнить, что функция U (х, у, z) должна в действительности удовлетворять еще и дифференциальному уравнению более низкого порядка (7,4). В то же время оказывается возможным выразить общий интеграл уравнений равновесия через производные от произвольного бигармонического вектора (см. задачу 10). [c.31]

Отсюда ввиду независимости и произвольности вариаций би,- и 8oij получим дифференциальные уравнения равновесия (5.81) и граничные условия (5.83) и (5.84). [c.107]

Легко видеть тем не менее, что в последней задаче возникают свои специфические трудности, так как стержень не может находиться в равновесии при отсутствии соответствующей поддержки со стороны двух сил, направленных вверх. Мы будем рассматривать эти силы как предельный случай сил, непрерывно распределенных вдоль стержня поэтому их можно включить в нагрузку р(л ), приписав силам, направленным вверх, отрицательный знак. В общей теории дифференциальных уравнений показывается, что правая часть уравнения (2.15.4) может быть задана произвольным обра зом лишь в том случае, если соответствующее однородное дифференциальное уравнение, т. е. дифференциальное уравнение с р(х) = О, не имеет решений, кроме как у = 0. Во всех предыдущих случаях граничные условия были таковы, что дис еренциальное уравнение [c.95]

Наши исследования, без сомнения, аналогичны методам, употребляемым в динамике. Однако нельзя сказать, что мы только непосредственно применяем эти методы. Если бы это было так, теория, которую мы установили, была бы давно получена первым геометром, познакомившимся с ее аналогом в динамике. Мы думаем, что стоим на правильной точке зрения, утверждая, что открытие свойств этой системы дифференциальных уравнений четного порядка с произвольным числом неизвестных относится к проблеме изопериметров, частным случаем которых являются уравнения динамики. Приемы для установления этого аналогичны предлагаемым здесь нами, так как основаны на принципе, который является для динамики тем, чем наша основная формула является для проблемы изопериметров. Но этот принцип, а именно принцип потерянных сил , основан на теории движения и по этой причине не относится к статике. Наоборот, принцип, который мы установили методами чистого анализа, заключает равновесие потерянных сил как частный случай. Он не был и не мог быть замечен со старой точки зрения, и, следовательно, невозможно было заметить, что метод, которому он дал начало, приложим к теориям несравненно более общим и широким, чем теория динамики. [c.317]

Из сказанного мы заключаем, что вопрос о форме равновесия свободной нити решается при помощи четырёх дифференциальных уравнений (37.14) и (37.19), заключающих в себе четыре неизвестные функции от s, а именно, X, у, Z i I. Уравнения эти второго порядка относительно X, у, Z и пе рвого относительно X. Кроме того, между первыми производными функций X, у, 2 по S мы имгем соотношение (37.19), свободное от всяких произвольных постоянных. Следовательно, число произвольных постоянных в самом общем решении рассматриваемых уравнений должно равняться шести т. е. интегралы будут иметь вид [c.400]

Дифференциальные уравнения равновесия элемента тонкостенного стержня в произвольной системе декартовых координа -На рис. 14.13 представлен элемент стержня, заключенный между сечениями г и г-фйг. В сечении с координатой г в пределах участка контурной линии, длина которого равна единице, статическим эквивалентом, соответствующим является погонное усилие Л г, а каждой из долей касательного напряжения, изображенного на рис. 14.10, б, в, — соответственно погонные усилия 3 и +е/2 +6/2 +6/2 [c.394]

Круговая цилиндрическая оболочка представляет собой частный случай оболочки вращения, поэтому теория, изложенная в 26, полностью для нее применима. В частности, может быть проведен числовой расчет произвольно нагруженной оболочки (в том числе и переменной вдоль образующей толщины) путем численного интегрирования уравнений (5.78). Эти уравнения, однако, существенно упрощаются, так как для цилиндрической оболочки os 0 = = 0 sin 0 = 1 г = = R = onst Ri = oo. В отличие от других оболочек вращения, для круговой цилиндрической оболочки с постоянной толщиной стенки дифференциальные уравнения представляют собой систему уравнений с постоянными коэффициентами. Поэтому можно проанализировать их решения в общем виде. Выведем уравнения равновесия цилиндрической оболочки в перемещениях. [c.277]

В полярной системе координат положение любой точкп на плоскости определяется двумя величинами радиус-вектором г и полярным углом 0, отсчитываемым от начального радиус-вектора Го. Рассмотрим основные уравнения плоской задачи в полярных координатах дифференциальные уравнения равновесия, уравнение неразрывности деформаций, формулы Коши и формулы обобщенною закона Гука. Вырежем из пластинки толщиной, равной единице, алемент ub d (рис. 32). Для этого проведем радиус ОаЬ иод прои ш1) 1ьным углом 0 к начальному радиус-вектору, затем дадим углу бесконечно малое приращение d0 и проведем радиус Ode. Произвольным радиусом Оа г проведем дуг ad, затем дадим радиусу г приращение аЬ dr и ироье- [c.86]

Для оболочек короткой и средней длины необходима уже принцпиально иная схема упрощения, которая основывается на пренебрежениях касательными смещениями в формулах для изменений кривизны и кручения, а также перерезывающим усилием во втором из уравнений равновесия. В итоге расчет круговой цилиндрической оболочки на произвольную нагрузку может быть сведен к решению дифференциального уравнения вида [c.161]

Описанный в предыдущем параграфе комплекс программ является универсальным в том смысле, что с ого помощью можно нормализовать гамильтониан канонической системы с произвольным числом степеней свободы. Однако такой комплекс нуждается в больших ресурсах ЭВМ, поэтому для решения конкретных механических задач важное значение имеет создание быстродействующих вычислительных алгоритмов, нормализующих гамильтоновы системы с небольшим числом степеней свободы. Большое количество задач связано с нормализацией автономных гамильтоновых систем с двумя и тремя степенями свободы (порядок системы дифференциальных уравнений равен 4 или 6), для которых знание коэффициентов нормальной формы до члено четвертого порядка включительно позволяет часто рехпить задачу об устойчивости положения равновесия. При этом знапие самого нормализующего преобразования (производящей функции) но является необходимым, а коэффициенты нормальной формы вычисляются через коэффициенты исходного гамильтониана с помощью явных и относительно простых формул. Соответствующие алгоритмы и основанные па них вычислительные программы разработаны и описаны в работах [173, 174]. [c.228]

Вернувшись к уравнению (50), получим соответствующие уравнения поля и граничные условия, приравнивая к нулю коэффициенты произвольных функций (первых вариаций). Уравнения поля, включающие уравнения состояния и дифференциальные уравнения равновесия, должны удовлетворяться в пределах каждого слоя и записываются следуюцщм образом [c.49]

Рассмотрим произвольную консервативную систему с голономными п стационарными связями, имеющую одну степень свободы. Положение системы будем определять обобщенной координатой д, отсчит1>1ваемой от положения устойчивого равновесия. Предположим, что система отклонена на небольшую величину от положения равновесия и ей сообщена небольшая начальная скорость. Тогда вследствие устойчивости положения равновесия система будет совершать движение вблизи этого положения равновесия, т. е. обобщенная координата 7 и ее скорость ц будут все время малы по модулю. Это обстоятельство дает возможность применить приближенный метод исследования движения, основанный на том, что нелинейные в общем случае дифференциальные уравнения движения упрощаются и заменяются на приближенные. линейные уравнения. Для этого, очевидно, достаточно выражения для кинетической и потенциальной энергий разложить в ряды по степеням д к ц, сохранив в них члены не выше второго порядка малости. [c.464]

Так как вариации 5щ произвольны, то для выполнения равенства (4.6) мы должны приравнять к пулю подыптегральпые выражения в скобках. В результате получим известные дифференциальные уравнения равновесия и статические граничные условия в напряжениях, которые в данном случае являются [c.73]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...