Напряжения и перемещения. Закон Гука

НАПРЯЖЕНИЯ И ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. ЗАКОН ГУКА [c.129]

Соотношения между усилиями и моментами, с одной стороны, и перемещениями, с другой, получают интегрированием напряжений по толщине оболочки с учетом физических соотношений между напряжениями и деформациями (закон Гука или соотношения теории пластичности при работе материала за пределом упругости). При этом долю перерезывающих сил, приходящихся на внешние слои, определяют из условий равновесия элемента, выделенного из внешнего слоя с учетом взаимодействия этого элемента со средним слоем. [c.249]

В основе курса теории упругости [5] лежат два важных соотношения закон Гука, который связывает компоненты тензоров-напряжений и деформаций, и соотношения связи между деформациями и перемещениями. Закон Гука в общей форме имеет вид [c.83]

Здесь черточки над буквами обозначают преобразования Лапласа соответствующих функций. Уравнения (17.9.1) имеют форму обычных уравнений закона Гука. Выполняя преобразования Лапласа над уравнениями равновесия, соотношениями связи между деформациями и перемещениями и граничными условиями, мы получим для изображений систему уравнений, совпадающую с системой уравнений теории упругости. Ее решение ничем не отличается от решения задачи обычной теории упругости изображения напряжений и перемещений оказываются выраженными явно через изображения заданных на границе усилий и перемещений и функций наследственности. Теперь последний этап будет заключаться в том, чтобы перейти от изображений к оригиналам. Эта процедура буквально повторяет ту, которая предписывается принципом Вольтерра, но в других терминах. [c.599]

Линейность системы. Будем исходить из того, что в рассматриваемых системах перемещения настолько малы по сравнению с габаритными размерами, что ими можно пренебречь и уравнения равновесия составлять для недеформированной схемы. Если, кроме того, иметь в виду и соблюдение закона Гука для материала, придем к выводу, что рассматриваемые здесь системы линейны, и к ним применим принцип независимости действия сил, согласно-которому любая функция, характеризующая напряженно-деформированное состояние при нескольких воздействиях на систему, равна сумме таких функций, соответствующих каждому воздействию, рассматриваемому самостоятельно, а при увеличении какого-то воздействия в к раз соответственно в к раз возрастает и соответствующая воздействию функция, т. е. Ф = Ф1- -Ф2> Ф = АФ1. [c.541]

Уравнения (16.14) совместно с граничными условиями (16.15) позволяют решить задачу теории упругости в перемещениях. После нахождения перемещений и, v, w можно определить деформации из соотношений Коши (16.2), а напряжения — с помощью закона Гука (16.3, а). [c.339]

Перемещения при кручении призматических стержней На основании выражений для составляющих напряжения, найденных н предыдущем параграфе, и по закону Гука, имеем [c.260]

Если деформации малы и справедлив закон Гука, то справедлив и принцип независимости действия сил. В соответствии с этим принципом перемещения и напряжения, возникающие в упругом теле, считаются независимыми от порядка приложения внешних сил, т. е., если к системе приложено несколько сил, то можно определить напряжения, перемещения и деформации от каждой силы в отдельности, а затем результат действия всех сил получить как сумму результатов действия каждой силы. Этот принцип часто называют и принципом суперпозиции. [c.14]

Рассмотрим задачи о нагружении тел с учетом произвольного предварительного деформирования. Пусть тело нагружено системой деформирующих его сил. Назовем эти деформации предварительными и примем, что это состояние нам известно, т. е. заданы все напряжения и перемещения. В общем случае предварительные деформации могут быть и большими. Это состояние тела считаем исходным и увеличиваем нагрузку. Дополнительное нагружение выбираем таким, чтобы вызванные им деформации и перемещения были малы. Для этих малых деформаций справедливы уравнения равновесия (20) и геометрические соотношения (21), связывающие е,у и м,-. Для того чтобы система уравнений (20) и (21) была разрешима, как мы уже убедились, следует к ней добавить шесть физических соотношений. Истинная деформация тела, состоящая из произвольной предварительной и небольшой дополнительной деформации, не является малой, и для нее вместо закона Гука должны быть использованы зависимости, справедливые при больших деформациях (255) или, что более предпочтительно, в произвольной прямоугольной системе координат (258). Дальнейшие выкладки выполним для конкретного вида упругого потенциала [c.141]

Сделав такое предостережение, нужно в то же время подчеркнуть, что было бы неправильно слепо доверять указанным выше результатам и понимать их буквально. Дело в том, что эти результаты, будучи получены из уравнений классической теории упругости, находятся в противоречии с теми основными предпосылками, на основании которых данные уравнения были выведены. В самом деле, там, где бесконечно велики напряжения, утрачивает силу закон Гука. Кроме того, если велики напряжения, то велики и деформации, а значит, нельзя линеаризировать ни уравнения равновесия, ни формулы, выражающие деформации через перемещения. Наконец, в районах точек заострения, согласно классической теории, получаются бесконечно большими не только напряжения, но и их градиенты. Существенное изменение поля напряжений происходит в пределах одного кристаллического зерна. Тем самым нарушается справедливость [c.349]

В динамических задачах теории упругости искомым обычно является векторное поле перемещений частиц среды. Другие кинематические величины — скорости, ускорения, относительные удлинения и сдвиги (деформации), повороты и их производные по времени — явно выражаются через перемещения (через производные от перемещений). Силовые факторы — напряжения—с помощью закона Гука выражаются через деформации. В механике сплошных сред различают две системы независимых переменных, функциями которых являются указанные выше величины. Одна из них г) связы- [c.24]

Компоненты тензора напряжений и перемещения и связаны шестью уравнениями закона Гука (3.70) [c.69]

Различие в задачах о плоском напряженном состоянии и плоской деформации проявится при определении деформаций и перемещений в силу различия выражений закона Гука. [c.134]

В заключение остановимся на определении перемещений ы, v в точках упругой полуплоскости от силы Р. При известных напряжениях Стг (4.105) и О0 = Тг0 =0 по закону Гука определяем деформации Ег, 80 и 7г0 и подставляем их в геометрические уравнения (4.82). В результате получим [c.119]

Для определения коэффициентов Л, S, С нужно, кроме двух граничных условий (6.46), иметь еще и третье условие. Третьим условием является независимость проекций вектора перемещения Ur, Ыф от полярного угла ф, так как независимость компонентов тензора напряжений от угла ф не обязательно приводит к независимости вектора перемещения от полярного угла ф. Для случая плоской деформации г и ф определяются из формул закона Гука [c.112]

Пользуясь формулами для перемещения и законом Гука, нетрудно получить выражения для компонентов тензора напряжений на границе [c.254]

Заметим, что пропорциональность ме щу компонентами напряжений и компонентами деформации в каждой точке тела (обобщенный закон Гука) не всегда приводит к заключению о существовании прямой пропорциональности между величинами внешних нагрузок и перемещений, а следовательно, и к закону сложения отдельных действий — принципу независимости действия сил. В отдельных случаях (например, в так называемых контактных задачах, см. [6], [72], [74]), линейная связь между компонентами напряжений и компонентами деформаций приводит к нелинейной зависимости между силами (например, нагрузка на шар) и перемещениями (смятие шара и т. п.). [c.6]

Решение обратной задачи значительно проще, чем решение прямой задачи. Особенно просто решается обратная задача, если задаться перемещениями щ. При заданных непрерывных функциях щ = = Ui Xk) дифференциальные зависимости Сен—Венана тождественно удовлетворяются и, следовательно, в этом случае они не используются. Решение этой обратной задачи выполняется в следующем порядке на основании формулы закона Гука (4.4) определяются компоненты тензора напряжений atj (Хи), соответствующие принятым функциям и, (лгй), а из уравнений равновесия (4.3) и граничных условий (4.6) определяются внешние силы, при которых осуществляются заданные перемещения. [c.72]

Перемещения и г произвольной точки бруса и, в частности, перемещения uS > и ыфункции напряжений Ф и могут быть получены в общем виде. По формулам закона Гука (3.69), принимая во внимание (8.1) и (8.8), получаем [c.219]

Зная перемещения любой точки внутри КЭ, на основании дифференциальных зависимостей Коши и закона Гука можно получить выражения для компонент тензора деформации и тензора напряжений. [c.329]

J/ Определение монтажных напряжений производится также из Условий статики и условий совместности перемещений. В этом случае при составлении условий совместности перемещений учитывается наличие заданной неточности в длинах элементов системы. Так как фактические длины элементов, полученные при изготовлении, весьма мало отличаются от предусмотренных в проекте, то при определении абсолютных удлинений элементов по закону Гука берутся их проектные длины, а не фактические. [c.29]

Если выбросить из системы р лишних стержней, то из уравнений (2.6.1) найдутся напряжения в каждом из оставшихся, по формулам закона Гука через них выразятся деформации, и мы сможем вычислить перемещения узлов деформации оставшихся п — р стержней будут совместными. Но если лишние стержни не выброшены, то деформации их должны быть определенным образом согласованы с деформациями тех, с которыми они связаны. Поэтому должны быть выполнены уравнения совместности деформаций [c.58]

Постановка граничных условий для уравнений Ламе особенно проста, когда речь идет о первой основной задаче теории упругости, т. е. когда на поверхности задано и, = Ui. Если на границе заданы усилия, то следует по закону Гука выразить напряжения через деформации, т. е. первые производные от перемещений, и внести в граничные условия (8.4.6). Таким образом, на границе оказываются заданными некоторые линейные комбинации из первых производных функций ш, которые мы выписывать не будем. [c.249]

Если по условию задачи перемещения искать не нужно, то остается шесть неизвестных три составляющие напряжений и три составляющие деформации. В таком случае остается шесть уравнений два дифференциальных уравнения равновесия (5.2), три формулы закона Гука (5.7) или (5.8) и одно уравнение сплошности (5.5), достаточных для решения задачи. [c.54]

Для полного решения задачи вычислим деформации и перемещения. Из формул закона Гука для плоской задачи (5.8) после подстановки в них напряжений (5.24) находим [c.68]

Для отыскания неизвестных трех составляющих перемещения и (х, у, г), V х, у, г), w (х, у, г) необходимо иметь три уравнения, которые можно получить из дифференциальных уравнений равновесия (4.1), выразив в них напряжения через перемещения. Воспользуемся первым уравнением (4.1) и подставиги в него напряжения из формул закона Гука (4.6), В результате получим [c.42]

Связь меи Ду BiiyfpeflHHivtil сйловыми факторами в пластййе й Перемещениями точек ее срединной плоскости устанавливают с помощью второго основного допущения. Считая материал пластины изотропным и подчиняющимся закону Гука и положив на основании гипотезы ненадавливания слоев 0 2 = О, найдем связь между напряжениями Or, oq и относительными удлинениями е,, 8в по формулам (2.22) для плоского напряженного состояния. С учетом зависимостей (2.36) получим [c.55]

Уравнения равновесия в зависимости от перемещений. До сих пор иы пользовались днффереициальнымн уравиеинями равновесия, выраженными в зависимости от напряжений. При помощи закона Гука (см. выражения [11], стр. 23), эти же уравнения можно выразить в функциях от перемещений. При плоской деформации имеем [c.183]

Точно так же могут быть представлены компоненты перемещений. Для плоского напряженного состояния из закона Гука (8.13) с учетом (8.2) Еехх = Еди/дх = Охх — УОуу после умножения на е и интегрирования по х [c.257]

План действия в случае решения в напряжениях следующий. Из уравнений (21) исключаем перемещения ы, у и ш, получая зависимости между деформациями. Заменяя деформации напряжениями с помощью закона Гука (22), получаем систему, которая содержит в качестве неизвестных только напряжения. vXV Для получения решения в перемещениях поступаем следую- [ щим образом. Подстановкой уравнения (21) в (22) исключаем де-формации. Полученные выражения для напряжений через nepers мещения подставляем в уравнения равновесия (20) и получаем систему, содержащую только перемещения. [c.17]

Рассматриваем средние по толщине напряжения, деформации и перемещения. Коэффициенты деформации aij из уравнений обобщенного закона Гука полагаем произвольными функциями переменной г и четными функциями координаты 2 и от 0 не зависящими. Уравнения обобщенного закона Гука, связывающие средние по толщине выражения для напряжений и перемещений, в случае неортотропного тела запишем так (горизонтальные черты, выражающие осредненные величины напряжений, деформаций и коэффициентов отбрасываем) [c.252]

В примелении к расчету корпусных деталей машин при статическом нагружении на жесткость предпочтительней вариационное уравнение Лагранжа, так как основанные на нем приближенные решения получаются сразу в перемещениях. При использовании вариационного уравнения Кастилиано для случая статической нагрузки решение получается в напряжениях (усилиях) и поэтому широко применяется в расчетах на прочность. Ввиду того что напряжения и перемещения связаны между собой, например в форме обобщенного закона Гука, то в расчетах на прочность применимы уравнения Лагранжа и Кастилиано. Однако, учитывай важность расчета на жесткость корпусных деталей, отметим, что точность перемещений, полученных при помощи уравнения Кастилиано, будет меньшей, чем при помощи уравнения Лагранжа. Что касается расчетов при динамической нагрузке, то решение проще всего полу 1ать в перемещениях. [c.14]

В современной трактовке закон Гука определяет линейную зависимость между напряжением п деформацией, а не силой и перемещением. При этом усаапавливаются линейные зависимости, свойственные состоянию материала в точке. [c.25]

Коэф([)ициепты пропорциональности в этом случае представляют собой физические константы материала и уже не связаны с геометрическими особенностями системы в целом. Закон, таким образом, выражает свойства самого материала. На основе такой формулировки закона Гука могут быть получены линейные зависимости типа (0.1) между перемещениями и силами для конкретных систем. Физические константы материала будут введены в последующих главах при рассмотрении частных случаев напряженного и деформированного состояний. В обобщенной трактовке закон Гука будет сформулирован в гл. VII. Пока же для выявления основных свойств напряженных тел ограничимся рассмотрением соотношения (0.1), типичного для подавляющего большинства систем. [c.25]

Строгая математическая модель деформаций дЛя всей конструкции ЭМУ, состоящей из п тел, в соответствии с теорией упругости представляет совокупность п систем известных уравнений физических (закон Гука) для составляющих напряжений в точке, геометрических (условия совместности) для деформаций в точке от перемещений и статических (уравнения равновесия) для связи напряжений с проекциями объемных сил совместно со взаимосвязанными геометрическими и граничными условиями [3]. При этом предполагается, что нагрузки на элементы конструкции заданы. Это существенно, например, при рассмотрении температурных полей и деформаций и их взаимовлияршя. [c.120]

Мы уже знаем, что между напряжениями и деформациями существуют различного рода зЛзисимости, характер которых устанавливается экспериментально. До сих пор эти зависимости рассматривались нами в частных проявлениях. Мы уже не раз писали условие пропорциональности между удлинением и нормальным напряжением и называли это условие законом Гука при растяжении. Мы не раз обращались к условию пропорциональности между касательными напряжениями и углами сдвига и называли это соотношение законом Гука при сдвиге. И вообще любые формы пропорциональности между силами и перемещениями, между напряжениями и деформациями мы для краткости связываем с именем Гука. Это просто и понятно. [c.39]

Формула (8.86) носит общий характер, хотя и получена на примере плоской задачи. Чтобы ею воспользоваться, необходимо построить только две матрицы, а именно матрицу закона Гука D, связывающую напряжения и деформации (или усилия и деформации), и матрицу В, которая позволяет перейти от перемещений к деформациям в элементе. Это иллюстируется далее на примере задачи изгиба пластины. [c.266]

Изучению напряжений, деформаций и перемещений в пластически деформируемых телах посвящен раздел механики деформируемого твердого тела, называемый теорией пластичности [10, 12, 13, 18, 36]. Теория пластичиости решает глав1гым обра юм те же задачи, что и линейная теория упругости, но для материалов с другими физическими свойствами. Поэтому между указанными теориями имеется много общего, в частности общими оказываьзтся уравнения равновесия, зависимости между перемещениями и деформациями, уравнения совместности деформаций. Только вместо закона Гука, используемого в линейной теории упругости, в теории пластичности применяются другие физические соотношения. [c.293]

На втором допущении надо остановиться несколько подробнее, так как нередки ошибки, связанные с его изложением. Это допущение о линейной зависимости между перемещением и силами, его вызывающими, или допущение о линейной деформируемости системы. Нередко это допущение отождествляют с законом Гука, но это верно только в историческом аспекте. В настоящее время закон Гука трактуется как закон, описывающий поведение не конструкции, а ее материала, закорг, устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями (а не силами и перемещениями). Мы упоминаем об истории вопроса потому, что сам Гук действительно говорил (выражаясь современным языком) о линейной деформируемости стержня или пружины. Нетрудно представить, скажем, стальную плоскую пружину малой жесткости. При ее нагружении в пределах пропорциональности перемещения будут велики и нелинейно связаны с вызывающей их силой, в то же время материал пружины будет работать в пределах справедливости закона Гука. Итак, в качестве второго допущения надо формулировать принцип линейной деформируемости, не упоминая о законе Гука сведения о нем будут даны в теме Растяжение . [c.54]

Если на всей поверхности тела заданы усилия, граничные условия задают на поверхности линейные комбинации искомых функций, т. е. напряжения. Но если заданы перемещения точек поверхности, то сформулировать граничные условия в напряжениях в общем виде невозможно эти условия будут содержать некоторые интегралы от напряжений и их производных, которые получатся, если в формулы Чезаро внести выражения деформаций через напряжения по закону Гука. Иногда, например, в плоской задаче теории упругости соответствующие преобразования удается довести до конца. [c.251]

Очевидное решение уравнений теории упругости есть Сц = = onst. При этом деформации по закону Гука также постоянны и, следовательно, перемещения представляют собою линейные функции координат. Чтобы осуществить в теле такое однородное напряженное состояние, необходимо лишь приложить к его поверхности соответствующие внешние силы, а именно [c.271]

Теперь можно составить план решения задачи теории упругости в перемещениях. Для отыскания трех составляющн перемещения ы, о и ш необходимо проинтегрировать три уравнения Ламе (4.8) и удовлетворить условиям на поверхности (4.9). По найденным перемещениям из формул Коши (4.3) определяют составляющие деформации, а затем из формул закона Гука (4.6)—составляющие напряжений. [c.45]

НаибС Лее эффективный метод решения задачи об изгибно-крутильных деформациях тонкостенногс стержня сводится к следующему. Нужно привести все внешние силы к линии центров изгиба (центров кручения). Раздельно решить задачи а) продольного растяжения—сжатия под действием продольных сил, б) изгиба в плоскостях 0x2, Оуг с учетом внецентренности приложения продольных сил, в) кручения. Ввиду линейности задачи (геометрически линейна ввиду малости перемещений и поворотов, физически линейна ввиду использования линейного закона упругости — закона Гука) результаты этих решений сложить по напряжениям, деформациям и перемещениям. [c.338]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...