Формулировка закона Гука

Коэффициенты пропорциональности в этом случае представляют собой физические константы материала и уже не связаны с геометрическими особенностями системы в целом. Закон, таким образом, выражает свойства самого материала. На основе такой формулировки закона Гука могут быть получены линейные зависимости типа (В12) между перемещениями и силами для конкретных систем. Физические константы материала будут введены в последующих главах при рассмотрении частных случаев напряженного и деформированного состояний. В обобщенной трактовке закон Гука будет сформулирован в гл. 7. Пока же для выявления основных свойств напряженных тел ограничимся рассмотрением соотношения (В12), типичного для подавляющего большинства систем. [c.31]

Впервые закон о прямой пропорциональности между силами и деформациями сформулировал Р. Гук (в 1660 г.). Формулы (2.9)... (2.12) являются математическими выражениями закона Гука при растяжении и сжатии бруса. Более общей является следующая формулировка закона Гука относительная продольная деформация прямо пропорциональна нормальному напряжению. В такой формулировке закон Гука используется не только при изучении растяжения и сжатия брусьев, но и в других разделах курса. [c.31]

В случае тепловых напряжений это правило несколько усложняется, так как в формулировку закона Гука вносятся новые слагаемые, зависящие от V. См. п. 5.8 этой главы. [c.471]

Стандартные формулировки закона Гука приведены в главах 1, 4 и 8. [c.590]

Более общей является следующая формулировка закона Гука [см. формулы (11.2) и (12.2)] относительная продольная деформация прямо пропорциональна нормальному напряжению. Ъ такой формулировке закон Гука используется не только при изучении растяжения и сжатия брусьев, но и в других разделах курса. [c.30]

Формулировка закона Гука. Из сказанного в предыдущем пункте [c.22]

Впервые указанная закономерность была высказана в 1676 г. Гуком в формулировке какова сила, такова и деформация и носит название Закона Гука. [c.24]

Надо рассмотреть деформирование бесконечно малого элемента бруса 2 (рис. 8.4), ввести понятие о линейной (продольной) деформации к и сформулировать закон Гука, дать его словесную формулировку и математическое выражение [c.66]

Под действием внешних сил форма твердого тела меняется. Если величина напряжения меньше некоторого критического значения, называемого пределом упругости, то после снятия напряжения первоначальные его размеры и форма восстанавливаются. Предел упругости зависит от типа веш,ества и находится непосредственно из эксперимента. При малых напряжениях, как показывает громадный экспериментальный материал, деформация пропорциональна напряжению. Для многих твердых тел при этом достаточно хорошо выполняется обобщенный закон Гука, согласно которому компоненты тензора деформации ец в данной точке тела являются линейными функциями компонент тензора напряжений в той же точке. Справедлив и обратный закон. Математическая формулировка обобщенного закона Гука имеет вид [c.195]

Для получения окончательной достоверной поправки к формуле Эйлера необходимо пересмотреть закон Гука, учитывая при его формулировке различие между значениями условных и истинных напряжений и деформаций. И пока не внесена корректировка в закон Гука, учитывать все перечисленные выше поправки не имеет смысла. [c.37]

Для линейно-упругого тела, материал которого при деформировании подчиняется закону Гука (1.11), деформации е определяются через напряжения е = С- о, где — матрица коэффициентов податливости. Тогда вариационная формулировка принципа возможных изменений напряженного состояния, соответствующая (1.65), принимает вид [c.19]

Опыт показывает, что при малых деформациях напряжение пропорционально де( юрмации. Этот факт, установленный Гуком для простейших деформаций, составляет формулировку известного закона Гука, справедливого только для достаточно малых деформаций и напряжений. Применительно к акустике бесконечно малых амплитуд мы можем ограничиться рассмотрением идеально упругих сред, для которых связь между напряжением и деформацией линейна. Поскольку в общем случае напряжение и деформация определяются тензорами второго ранга, имеющими по шесть независимых компонент, то естественным обобщением закона Гука будет линейная зависимость между ними. Тогда обобщенный закон Гука можно сформулировать так компоненты напряжения в данной точке тела являются линейными и однородными функциями всех компонент деформации, т. е. [c.20]

По условию, высказанному в формулировке обобщенного закона Гука, уравнения (1) должны быть разрешимы относительно компонент деформации е х, Посмотрим, каким условиям должны удов- [c.64]

Следует заметить, что соотношение (2.16) предполагает справедливость закона Гука и потому линейно-упругое поведение материала. Напротив, двойственное соотношение (2.3) следует из обших законов термодинамики. Формулы (2.3) и (2.16) представляют собой частные формулировки теоремы Кастильяно (см. п. 4.4.3). [c.57]

Экспериментальные данные, относящиеся к большинству твердых тел за исключением литых металлов, приводят, путем процесса индуктивного умозаключения, к обобщенному закону Гука о пропорциональности между напряжениями и деформациями. Общая формулировка этого закона может быть дана следующим образом [c.108]

Принимается, что закон Гука в форме (2.1.1) представляет собой не линеаризованное, а точное соотношение, причем используемые при его формулировке переменные - напряжения, перемещения и координаты - можно полагать либо лагранжевыми, либо эйлеровыми (см. 3.1). Тем самым вводятся две различные механические системы, отличия между которыми проявляются в области, где существенна геометрическая нелинейность. В том же параграфе показано, что решения задач из гл. 2 для трещин, берега которых свободны от внешних нагрузок, отвечают лагранжевой интерпретации и соответствуют определяемой ею модели упругого тела. Модель эта характеризуется взаимно однозначной связью между напряжениями - тензором Пиолы-Кирхгофа и градиентом перемещения. Последний определяет потенциальную энергию системы. Однако данная модель не отвечает никакому реальному уравнению состояния. Достаточно сказать, что напряжения (ограниченные) возникают здесь и при повороте тела в целом. Для модели, соответствующей эйлеровой интерпретации, кроме того, энергия деформации непотенциальна. [c.68]

Упругая сплошная среда. Линейно-упругая изотропная сплошная среда характеризуется уравнением состояния в виде закона Гука и представляет собой одну из наиболее простых классических моделей сплошных сред. Свойство упругости означает полную обратимость процесса деформирования при освобождении от нагрузки приобретенная упругим телом деформация исчезает. Математически это выражается формулировкой уравнения состояния в виде конечных однозначных функций (2.11), связывающих компоненты тензоров напряжений и деформаций. Если в формулах [c.25]

При формулировке уравнения состояния упруго-пластической среды большинство авторов исходит из следующих положений 1) [упругие обратимые деформации для процессов с траекториями нагружения, расположенными внутри поверхности нагружения, допустимо описывать законом Гука (2.И) 2) поверхность нагружения со стороны упругой области является выпуклой 3) в процессе нагрузки вектор приращения пластических деформаций связан с вектором догрузки так называемым ассоциированным законом пластичности. [c.30]

Другой важнейший этап истории сопротивления материалов связан с именами английских ученых Р. Гука и Т. Юнга. Первому принадлежит приоритет в открытии и четкой формулировке фундаментального закона сопротивления материалов, согласно которому деформа- [c.8]

Другой важнейший этап истории сопротивления материалов связан с именами английских ученых Р. Гука и Т. Юнга. Первому принадлежит приоритет в открытии и четкой формулировке фундаментального закона сопротивления материалов, согласно которому деформация, т. е. изменение размеров конструкционного элемента, прямо пропорциональна приложенной к нему силе. [c.5]

Закон, установленный Гуком в 1660 г., был опубликован им только в 1678 г. Формулировка этого закона, данная Гуком, существенно отличалась от современной формулировки, приведенной здесь. [c.27]

Сделаем некоторое отступление, напомнив описание изотропных тел и определение их констант. В частности, при формулировке-закона Гука в уравнениях (2,2) использовались параметры Ламе Яиц. случае плоской волны, описываемой выражением (2.6),. первая формула в (2.2) редуцируется в соотношение p, = (i,-f Для удобства мы положим М=(Я-(-2 а) и будем называть эту величину модулем плоского деформирования, поскольку скорость распространения продольной плоской волиы а=(М/рУ . Аналогично уравнение (2.12) описывает плоскую поперечщпю волну, распространяющуюся со скоростью Р=( л/р) / , где ц есть модуль сдвига или жесткости. Модуль Юнга равен коэффициенту пропорциональности между напряжением и деформацией при растяжении (удлинении) тонкого стержня. Закон Гука в применении к этому Стержню записывается в виде [c.63]

Отсюда в силу дефинитности Ф сразу следует, что гц = 0, а из закона Гука, что и рц = 0. Так как = 0, то перемещения w могут представлять собой только перемещения упругого тела как абсолютно твердого. Если при формулировке задачи используются одни и те же предположения, исключающие такие перемещения, то и го = 0. Таким образом, гО(1> =гО(Ц), гЛ1) = Р И 1) = РщЩ и единственность решения задач [c.348]

Использование всех формулировок для упругих материалов эквивалентно в случае малых деформаций (но, возможно, больших перемещений и поворотов). Эти формулировки должны приводить к приблизительно одинаковым результатам при решении задач (см. 2.1.3). Отметим, что определяющие соотношения закона Гука для линейного упругого изотропного материала можно использовать только для малых деформаций тела. Только при таком ограничении закон Гука описывает поведение реальных материалов. Если формально использовать модель линейного изотропного упругого материала при больших деформациях тела, то TL- и UL-формулировки описывают поведение разных материалов. В [49] на примере решения задачи по растяжению куба отмечается большое расхождение значений компонент тензора напря- [c.198]

Тело, которое под действием сдвигающей силы совсем не изменяет своей формы, называется жестким телом. Для такого тела = оо. Если принять, что fi представляет собой постоянную величину, то равенство (I. 8) выражает собой одну из форм закона Гука (Нооке), т. е. пропорциональность касательного напряжения деформации сдвига. Этот закон Гук выразил в 1678 г. в следующих словах п t tensio si vis.i Современная формулировка его такова д е-формация сдвига пропорциональна вызывающему ее касательному н а п р я ж е н и ю . В табл. (I. 1) помещены численные значения модуля сдвига для некоторых материалов. [c.22]

Формулировка на латинском языке закона Гука в том ее виде, который был дан самим автором. В дословном переводе на русский язык эта формулировка звучит так каково удлинение — такова сила. А. Н. Крылов в своем предисловии к книге Н. И. Мусхелишвили Некоторые основные задачи математической теории упругости (Изд-во АН СССР, Л., 1933), желая сохранить стиль XVII века и в русском переводе дал такую формулировку яко растяжение — тако сила . (К стр. 103.) [c.570]

Полученное соотношение не следует смешивать с очень похожим соотношением (2.4), которое, одпако, вместо II содержит и. При этом оно предполагает справедливость закона Гука и потому линейно-упругое поведение материала. В то же время соотношение (2.3) следует из обгцих законов термодинамики. Формулы (2.3) и (2.14) представляют собой частные формулировки теоремы Кастильяно ), с которой познакомимся далее. [c.48]

Первая, весьма неполная, формулировка закона, связывающего напряжение с деформацией, принадлежит Гуку (Robert Hooke, 1635—1702). Закон, называемый его именем, был найден им в 1660 г., опубликован в виде анаграммы в 1676 г., а в явном виде в 1678 г. В переводе на современный язык содержание, которое вкладывает Гук в свой закон, можно-передать приблизительно так Деформация упругого тела пропорциональна действующему на него усилию . В эту формулировку можно вложить определенное содержание в том только случае, когда усилие , действующее на тело, и вызванная им деформация могут быть охарактеризованы одной величиной каждая. [c.57]

Если напряженное и деформированное состояния выражаются через главные напряжения и деформации, то в формулах, выведенных в этом параграфе, следует отбросить члены a j и eij, для которых i ф /. Представленные тут линейные соотношения между напряженным и деформированным состояниями являются обобщением давно известного экспериментального закона. Закон упругости, определяющий зависимость между напряжением и деформацией в одноосном напряженном состоянии, установил Роберт Гук в 1676 г. Многочисленные опыты с удлинением пружин, стержней и с изгибом балок привели его к формулировке закона упругости в форме лапидарного утверждения ut tensio si vis ). Это означает, что деформация пропорциональна нагрузке, которая ее вызвала. [c.110]

Аналитическая форма упругого потенциала. Эксперименты, которые приводят к закону Гука, не дают, однако, доказательства этого закона. Закон Гука в абстрактной форме обобщает результаты многих наблюдений и экспе-риментон, но его формулировка гораздо точнее этнх результатов. Математические выводы, которые могут быть сделаны, если считать закон верным, допускают иногда экспериментальную проверку всякий раз, как такая проверка возможна, мы получаем новое подтиерждение истинности закона. В дальнейших главах мы займемся получением этих выводов здесь мы укажем лишь некоторые следствия, которые могут быть выведены непосредственно. [c.108]

Закон Гука. Наблюдения показывают, что для большинства упругих тел, таких, как сталь, бронза, дерево и др., величины деформаций пропорциональны величинам действующих сил. Типичный пример, поясняющий это свойство, представляют пружинные весы, у которых удлинение пружины пропорционально действующей силе. Это видно из того, что шкала делений у таких весов равномерна. Как общее свойство упругих тел закон пропорциональности между силой и деформацией был впервые сформулирован Р. Гуком в 1660 г. и опубликован в 1678 г, в сочинении Ве ро1епНа ге5111иНуа ). В современной формулировке этого закона рассматривают не силы и перемещения точек их приложения, а напряжение и деформацию. [c.26]

Формулировка матем. задачи П. т. отличается от краевой задачи упругости теории только тем, что соотношения обобщённого закона Гука заменяются соотношениями той или иной П. т. При использовании теории идеальной пластичности (и др. теорий течения) вместо перемещений и деформаций разыскиваются скорости ч-ц и тензор скоростей деформации. При использовании соотношений пластичности, относящихся к частным классам процессов, требуется анализ физ. достоверности решения краевой задачи, т. к. в большинстве случаев не выяснены те условия нагружения тела произвольной формы, при к-рых во всех точках тела протекают процессы деформации определённого типа. В теории упругопластич. процессов дан общий метод установления физ. достоверности решений, ф Ильюшин А. А., Пластичность, ч. 1, М.—Л., 1948 его же, Пластичность. Основы общей математической теории, М., 1963 Соколовский В. В., Теория пластичности, 3 изд.. М., 1969 Хилл Р., Математическая теория пластичности, пер. с англ., М., 1956. [c.547]

Эта закономерность была дана Гуком в 1660 г. в формулировке каково удлинение, такова сила , что по латыни звучало ut tensio si vis . Но закон был опубликован только в 1676 г. в виде анаграммы eiiinosssttuv . Так выглядела приоритетная заявка того времени. [c.30]

В основе классической теории упругости лежит представление об упругом линейно-деформируеыом теле. Основной закон, определяющий общую зависимость между напряжениями и деформациями для линейно-упругого тела, сформулирован в 1678 г. Робертом Гуком в такой форме каково перемещение, такова сила. В современщ)й формулировке этот закон для сложнонапряженного состояния звучит так в каждой точке деформируемого тела компоненты тензора деформаций являются линейными функциями от компонентов тензора напряжений. [c.40]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...