Теория кривых второго порядка

На основании теории кривых второго порядка значение радиуса-вектора [c.487]

Рассматривая проекции линий пересечения поверхностей второго порядка, необходимо отметить еще одну теорему если пересекающиеся поверхности второго порядка имеют общую плоскость симметрии, то линия их пересечения проецируется на эту плоскость или ей параллельную) в виде дуги кривой второго порядка. [c.78]

Большой теоретический и прикладной интерес представляет четвертый вариант распадения линии пересечения двух поверхностей второго порядка на две кривые второго порядка. Есть ряд известных теорем, относящихся к этому варианту распадения. [c.133]

Эту теорему можно использовать для доказательства других теорем. Особенно важным является ее следствие если две поверхности второго порядка касаются по линии, то линия их касания есть плоская кривая второго порядка. [c.306]

Для оболочек, образованных вращением кривых второго порядка вокруг их осей симметрии, каждая из систем сводится к гармоническому уравнению. При их решении может быть использована теория функций комплексного переменного [7]. [c.648]

На этой Южной полусфере мы открываем скрытое лицо задачи Кеплера . Гиперболические траектории плоской выглядят как усеченные траектории на экваторе. Все траектории новой системы описывают сферические кривые второго порядка , в общем случае — некруговые эллипсы, если не считать горизонтальных кругов или дуг вертикальных кругов. Теория сферических кривых второго порядка очень близка к теории обычных кривых второго порядка. У нас есть проективное определение это пересечение квадратического конуса со сферой. Но их также можно начертить, зафиксировав нить в двух их фокусах и расположив ее на сфере, а затем провести линию мелом, как обычно. [c.29]

В методах сращивания предпринимаются попытки численно срастить решения в областях, в которых приняты различные предположения для упрощения системы уравнений Навье — Стокса. Например, расчет течения в ближнем следе за снарядом можно проводить по теории течения невязкой жидкости (метод характеристик) для внешнего течения, по теории пограничного слоя оторвавшегося сдвигового слоя и, возможно, по уравнениям несжимаемой жидкости в области возвратного течения. Не говоря уже об очевидном усложнении программирования, в подобных методах имеются принципиальные трудности, связанные с условиями стыковки решений, которые должны быть удовлетворены (или, наоборот, выборочно опущены) поперек границ, с итерационным положением и описанием границ между областями (например, может ли линия тока, отделяющая область возвратного течения, аппроксимироваться кривой второго порядка, начинается ли она в вершине острого угла на поверхности тела ), с устойчивостью глобальных итераций при сращивании. Несмотря на все эти трудности, было опубликовано некоторое число работ, содержащих хорошие численные решения, полученные методами сращивания. [c.463]

Теоре.ма 3 (теорема Г, Монжа). Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в неё, то они пересекаются по дву м плоским кривым. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания (рис. 193). [c.193]

Сформулируйте и докажите теорему Монжа о пересечении поверхностей второго порядка по двум плоским кривым. [c.312]

Аналогичное сравнение на рис. 5 приведено для угла (р2- Результаты 35- и 4 -теорий дает кривая 2. Штриховая кривая построена по результатам, полученным на сетках с наибольшим сгущением. Отличие теоретических и числовых результатов по (р2 наблюдается и при Р > Р4. Ранее отмечалось (рис. 4, г), что здесь в окрестности тройной точки также имеет место особенность с большими и даже бесконечными градиентами параметров. Близость же результатов по Р2/Р1 объясняется тем, что при (р2 90° ошибки по давлению - величины второго порядка малости по сравнению с ошибками по углу входа. [c.245]

Рис. 2.6. Закон дисперсии (а), плотность состояний п Е") (б) и отклонение полной энергии металла от величины, рассчитанной в приближении свободных электронов, г/ь8 (в) вблизи границы зоны Бриллюэна. Сплошные кривые — точное решение, штриховые — во втором порядке теории возмущений, точки — газ свободных электронов. Вертикальные линии соответствуют условию = Чкг.

Все эти точные решения показывают, что приближенная теория Е. Винклера — Г. Резаля дает удовлетворительные результаты для всех поперечных сечений, далеко расположенных от концов и точек приложения сил. Затруднения в исследовании напряжений в стержнях большой кривизны происходят от двух причин во-первых, длина центральной кривой линии стержня обычно бывает величиной того же порядка, что и размеры поперечного сечения стержня, поэтому распределение напряжений в каждом поперечном сечении бруса зависит от деформаций, имеющих место около точек приложения сил во-вторых, потому, что распределение приложенных сил нам с достаточной точностью неизвестно и иногда зависит от деформаций, как, например, в звеньях цепей, проушинах и головках шатунов. [c.612]

Учебник кинематики, опубликованный им в 1888 г., посвяш,ен вопросам теории плоских механизмов. (Бурместер обещал выпустить второй том этой работы, посвященный пространственным механизмам, но выполнить своего обещания не смог). Выход в свет книги Бурместера был большим событием. Его значение состоит в том, что впервые кинематика представлена как расчетная наука, ставящая и разрешающая свои задачи. Бурместер был геометром, поэтому основное значение в его исследованиях имеют геометрические методы. Он достаточно подобно разработал теорию плоского движения и предложил ряд методов для определения скоростей и ускорений. Затронут в книге также вопрос об ускорениях высших порядков, который он излагает, следуя О. И. Сомову. Весьма существенно то, что у Бурместера впервые вопросы кинематики и кинематической геометрии воедино слиты с теорией механизмов. Наконец, Бурместер заложил основы геометрического синтеза механизмов. Исследуя шатунные кривые, он останавливается на таких кривых, которые на некотором участке совпадают в четырех, пяти или шести точках с прямой. Он нашел две важные кривые кривую круговых точек и кривую центров. [c.200]

Фиг. 1. Схема течения штрихпунктирные, штриховые и сплошные кривые на фиг. 1-5 соответствуют теории возмущений первого, второго и третьего порядка

Используя теорему сложения скоэостей, построить графически касательные к кривым второго порядка. [c.309]

В каждой точке поверхности, в которой она имеет определенную касательную плоскость, можно построить кривую второго порядка (или пару параллельных прямых), являющуюся индикатрисой Дюпена. В связи с этим в теории поверхностей используются некоторые термины, заимствованные из аналитической геометрии. Направления сопряженных диаметров индикатрисы называются сопряженными направлениями на поверхности. Главные направления индикатрисы называются главными направлениями поверхности. Наконец, направления асимппют индикатрисы (если они действительны) называются асимптотическими направлениями поверхности. [c.19]

Названные, а также многие другие авторы за последние десятилетия дали исчерпывающие решения ряда новых смешанных задач пространственной теории упругости, в том числе и контактных. Так, Л. А. Галин (1947) и В. Л. Рвачев (1959) рассмотрели вопрос о вдавливании в полупространство клиновидного штампа в работах Н. А. Кильчевского (1958, 1960) даны обобщения задачи Герца и указана связь задачи об упругом контакте с некоторой экстремальной проблемой В. Л. Рвачев (1956, 1957) решил задачи о штампе в виде полосы и многоугольника, а также рассмотрел случай штампа с основанием, ограниченным кривой второго порядка работы Г. Я. Попова (1961, 1963) посвящены смешанным задачам для круговой области контакта и для штампа в виде полуплоскости и квадранта Н. М. Бородачев (1962, 1964, 1966) и А. Ф. Хрусталев (1965) исследовали ряд термоупругих задач для полупространства. Особо следует остановиться на сложной задаче о действии на полупространство полога кругового цилиндра, известной в литературе под названием задачи о кольцевом штампе. Точное решение этой задачи связано с нетабулированными функциями кольца овального сечения (см. Н. Н. Лебедев, 1937). Различные приближенные методы решения этой задачи предложены в работах [c.35]

Ферма (Fermat) Яьрр (1601-1665) — французский математик. Юрист, математикой занимался в свободное время, при жизни почти не печатался. Работал в области теории чисел, математического анализа и аналитической геометрии. В теории чисел известен знаменитой теоремой Ферма в области анализа установил закон интегрирования и дифференцирования степени, вывел формулу и1гтегрир0вания по частям, сформулировал правило нахождения экстремума. В геометрии ввел уравнение прямой и кривой второго порядка. В геометрической оптике впервые научно сформулировал вариационный принцип. [c.439]

Рассматривая критерии прочности Ягна, Баландина и Миролюбова, можно заметить, что в зависимости от значения V исследуемого материала предельные кривые описываются различными кривыми второго порядка. Для материалов с большим V, например для эпоксидных компаундов (г = 0,44-0,5), предельные кривые представляют собой эллипсы (рис. 28). Для этих материалов наилучшее приближение к результатам опыта имеет предельная кривая, построенная по теории Ягна. Этого можно было ожидать, так как постоянные, входящие в уравнение критерия Ягна, определяются по трем характеристикам материала. [c.51]

Дальнейшее обсуждение теории в полном ее виде (определяющие уравнения, граничные условия, условия единственности решения и т. п.) проводится в статье Ахенбаха с соавторами [8]. В последующей работе Ахенбаха и Геррмана [5] теория была уточнена путем учета членов второго порядка в разложении перемещений. Уточненная таким образом теория пригодна для случая малых значений отношения характерных размеров неоднородности деформации и структуры. Поправки высшего по-)ядка обсуждались также в статье Друмхеллера и Бедфорда 24], где использованы усовершенствованные условия на границах раздела фаз и построены более точные дисперсионные кривые. [c.378]

В практике часто встречается случай, когда две пересекающиеся поверхности второго порядка касаются третьей поверхности также второго порядка. Тогда при гюстроении линии перехода следует применять теорему Монжа ), согласно которой две поверхности второго порядка пересекаются по двум плоским кривым, если они описаны около третьей или вписаны в нее. [c.215]

Легко показать, что теории прочности второй группы интерпретируются в пространстве напряжений многогранниками, вписанными в поверхности вращения с образующими в виде кривых соответствующего порядка. Так, например, многогранник Тщах — onst (теория максимальных касательных напряжений) вписан в цилиндр [c.91]

Предположим, что на некоторой части а кривой о = О (кривая о = О соответствует сложному фокусу) вели гина 1 положительна, на части а" отрицательна и в точке М этой кривой, являюп ейся общим концом этих двух частей а и а", величина Ь = 0. Если удается показать, что в точке М вторая ляпуновская величина Ьг = аъ Х )Ф О, то на основании общей теории (см. гл. 10) отсюда можно заключить, что при значениях параметров, соответствующих точке М плоскости параметров, динамическая система имеет сложный фокус второго порядка, из которого при изменении параметров могут появиться два (и не более) предельных цикла (см. гл. 10). [c.193]

В работе [17] был проведен аккуратный подсчет плотноста состояний и соответствующей полной энергип (в расчете на один ион). Полученные выражения из-за громоздкости здесь не воспроизводятся, но на рис. 2.6 приводятся результаты вычислений зависимости (к), п(Е) и С/ьз по этим формулам и во втором порядке теории возмущений (6.22). Хотя кривые (к) и п(Е) для этих случаев заметно расходятся, зависимости 17 от числа электронов различаются сравнительно слабо и в обоих случая.х не проходят через минимум вблизи дп 2кр. Полученный в [171 результат имеет большое значение по нескольким причинам. [c.230]

Доказательство этой теоремы можно провести совершенно так же, как это сделано Мозером [5] при доказательстве аналогичной теоремы при т = 2. Укажем основные моменты доказательства. Подробности изложены в [57]. Сначала надо привести функцию Гамильтона (1.2) к виду (5.2) и, используя интеграл Н — = onst, свести систему (1.1) к системе с одной степенью свободы. Применяя затем теорему Мозера об инвариантных кривых к отображению, порождаемому полученной гамильтоновой системой дифференциальных уравнений второго порядка, можно показать, что при выполнении условия (5.5) на каждом уровне Н = onst в любой достаточно малой окрестности начала координат существуют инвариантные торы системы (1.1). Отсюда следует устойчивость положения равновесия. [c.86]

Теоретически можно выпрямить почти любую граничную кривую, но практически это, конечно, неосуществимо. Кусочно полиномиальные функции являются наилучшими границами элементарных областей по тем же причинам, по каким они наилучшим образом приближают перемещения с ними удобно работать на ЭВМ. В самом деле, выбор координат можно описать тем же классом полиномов, из которого берутся пробные функции это метод изопараметрических преобразований. Идея эта превосходна. Выбор координат приводит к тем же трудностям, что и для пробных функций преобразование должно быть непрерывным при пересечении границ элементов, так что элементы, соседние на исходной плоскости х, у, остаются соседними на плоскости г . Если прео бразование х( ,г ), г/( ,г ) построено стандартным образом из узловых параметров и мы убеждены в непрерывности по и г (как для стандартных прямоугольных или треугольных элементов), то изопараметрические преобразования приведут к успеху даже для элементов, границы которых — полиномы степени к—1 по х и у. Этот прием ставит новые вопросы теории приближений, так как полиномы по I и т). не будут более полиномами по х и у. Тем не менее изопараметрические преобразования не понижают порядка точности если преобразования равномерно гладкие (разд. 3.3), то полная степень в -й производной достигается. В этом смысле изопараметрический прием представляется наилучшим для уравнений второго порядка и криволинейных границ. С главным краевым условием и — g можно работать просто и эффективно без потерь в основном порядке точности. [c.132]

Из теории вогнутой решетки следует, что спектры различных порядков должны фокусироваться на одной кривой. Между тем в работе [20] отмечалось, что для одной из исследованных решеток (радиус кривизны 6,4 м, 1200 штрих1мм) спектры второго и третьего порядков не фокусируются на одной кривой, а для спектров четвертого ш пятого порядков никаких аномалий не наблюдается. Указанное явление, вероятно, связано с отступлением свойств данной решетки от свойств идеальной решетки. Других упоминаний в литературе о таких аномалиях мы не встречали. Наоборот, отсутствие сдвигов спектральных линий, связанных с фокусирующим действием решетки, отмечается в работе [20а]. Измерения проводились с решеткой 1200 штрих мм, с радиусом кривизны 10,7 м. [c.132]

Приближенный метод С. А. Чаплыгина был обобщен и на случай сверхзвуковых и смешанных течений. С математической точки зрения установившиеся сверхзвуковые течения отличаются от дозвуковых главным образом тем, что первые описываются уравнениями гиперболического, а вторые — эллиптического типа. В соответствии с этим изучение дозвуковых течений сводится к краевым задачам теории функций комплексного переменного, в то время как уравнения волновые и типа Дарбу используются для изучения сверхзвуковых течений. Для сверхзвуковых режимов хорошие приближения были получены С. А. Христиановичем (1947). Г. А. Домбровскому (1955) удалось достигнуть третьего порядка касания аппроксимирующей кривой как для дозвуковых, так и для сверхзвуковых потоков. В качестве приложений Г. А. Домбровский рассматривал раз личные струйные задачи (1956). [c.35]

Существуют две теории пассивности мета.тла пленочная и адсорбционная. Первая объясняет пассивное состояние металла возникновением тончайшей (порядка нескольких единиц или десятков нанометров) невидимой невооруженным глазом защитной пленки, вторая — вознич-новением на металлической поверхности мономолекулярных адсорбционных слоев кислорода или других окислителей, а также фазовых окислов, заполняющих поверхность. На рис. 1.6 приведена стационарная поляризационная кривая для железа в 1 н. Н2504, измеренная при помощи потенциостатичеокого метода, который обеспечивает такие условия опыта, когда потенциал электрода не изменяется во времени в результате изменений состояния электрода и связанных с этим изменений силы тока. При ре< 11 железо активно и переходит в раствор в виде ионов Ре + тНгО, при ре> п железо пассивно и переходит в раствор в виде ионов Ре + /иНгО со скоростью на несколько порядков меньшей, чем в активном состоянии (га=7-10 А/см ). При достаточно высоких значениях потенциала в области возрастающей плс г-ности тока начинается электролитическое выделение кислорода по реакции [c.19]

Поэтому его решение, как и в полуфеноменологической теории фазовых переходов Ландау (см. том I, 6, п. и)), приводит к конечному скачку теплоемкости, т. е. приближение Бете, как и приближение Брегга—Вильямса, описывает фазовый переход, связанный с исчезновением дальнего порядка, как фазовый переход второго рода. Не уточняя далее деталей этого перехода, приведем только фафики теплоемкости, получаемые в этих приближениях (рис. 144). Конечно же, изображенное на этом рисунке температурное поведение те- рис. 144. Характер температурной зависи-пЛоемкости существенно не дотягивает до А- мости темплоемкоаи изинговской системы кривой. От полуфеноменологических теорий согласно приближениям Брегга—Вильямса не следует ожидать подобных триумфальных (1) и Бете—Пайерлса (2) (число ближай-резгуЛьтатов. Однако анализ изинговской си- соседей с = 12) стемы, проведенный на основе простых в техническом отношении и вполне физических приближений Брегга—Вильямса и в особенности Бете показал, что если фазовый переход в дискретной системе связан с исчезновением при критической температуре дальнего порядка, то крутизна фафика теплоемкости в области критической точки и ее поведение в надкритической области существенно определяются ближним упорядочением в системе. [c.349]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...