Вторая ляпуновская величина

Если аз = 0, аъФ О, то аъ = 2 называется второй ляпуновской величиной и т. д. [c.74]

Поведение динамических систем вблизи таких значений параметров, при которых первая ляпуновская величина L[ обращается в нуль, существенно зависит от знака второй ляпуновской величины [c.198]

Рассмотрим еще дополнительно поведение динамических систем вблизи тех точек границы, в которых А > О и R = О, где безопасная граница переходит в опасную, т. е. где первая ляпуновская величина L обращается в нуль. В этом случае поведение системы может быть определено знаком второй ляпуновской величины 2 = 5 =5 О (см. гл. 11, 5). [c.231]

В рассмотренном случае знак второй ляпуновской величины 2 играет роль, подобную знаку Ь, увеличивая или уменьшая [c.233]

Сложный фокус устойчив (аз < 0) при X > Хз и неустойчив (кз > 0) при X < Хз. При X = Хз ( 3 = 0) устойчивость сложного фокуса определяется знаком второй ляпуновской величины as. [c.294]

Можно показать, что а, = ехр(2яЛ/ )- Если Я,, чисто мнимые (А = 0), то а, = 1. Первый не равный нулю коэффициент (он, как гласит теорема Ляпунова, всегда нечетный) называется в этом случае ляпуновской величиной. Если 5 О, то часто коэффициент а, обозначается 1/, и называется первой ляпуновской величиной. Если аз = О, но Ф О, то называется второй ляпуновской величиной и тд. [c.328]

Если //j = o, TO следует определять вторую ляпуновскую величину L . Выражение для можно найти в гл. 11, 5 работы [10]. [c.329]

Вторая ляпуновская величина 328 [c.389]

Предположим, что на некоторой части а кривой о = О (кривая о = О соответствует сложному фокусу) вели гина 1 положительна, на части а" отрицательна и в точке М этой кривой, являюп ейся общим концом этих двух частей а и а", величина Ь = 0. Если удается показать, что в точке М вторая ляпуновская величина Ьг = аъ Х )Ф О, то на основании общей теории (см. гл. 10) отсюда можно заключить, что при значениях параметров, соответствующих точке М плоскости параметров, динамическая система имеет сложный фокус второго порядка, из которого при изменении параметров могут появиться два (и не более) предельных цикла (см. гл. 10). [c.193]

Особенности в поведении системы в окрестности тех значений, при которых Ь = 0, можно выяснить, устанавливая знак второй ляпуновской величины 2- Однако мы можем рассмотреть возможности, которые здесь могут иметь место и без вычисления 8Т0Й величины. [c.309]

Нормальные формы. В последнее, время широкое распространение получило рассмотрение так называемых нормальных форм дифференциального уравнения в окрестности особой точки (состояния равновесия). Нормальная форма —это максимально простой вид дифференциального уравнения в окрестности особой точки после надлежащим образом подобранной замены церемен-ных, в котором во-первых, важные для характеристики особой точки величины оказываются выписанными в явном виде (например, ляпуновские величины) и, во-вторых, в некоторых случаях уравнение в окрестности особой точки приводится к интегрируемому виду. Если существует преобразование переменных, при котором система делается линейной, то ее нормальная форма — линейная. Дюлаком были рассмотрены те нормальные формы, к которым могут быть приведены дифференциальные уравнения (с аналитическими правыми частями) в окрестности седла. [c.94]

Ляпуновская величина для систем второго порядка выражается чере коэффициенты системы формулой из Приложения 1. Для систем третьег и четвертого порядков выражения даны H.H. Баутиным, но здесь он не приводятся из-за их громоздкости. В излагаемой ниже методике пред варительное знание выражения не требуется по существу, отыски вается в процессе построения периодического решения (см. 11.3). [c.223]

Чтобы вычислить другие ляпуновские показатели, в работах [397—400, 647] предлагается использовать аналогичную процедуру, но с обязательной ортогонализацией по методу Грама — Шмидта. Поясним это на примере вычисления следующего по величине ляпуновского показателя Хг 1- Обозначим вектора у< я угМ-, вычисленные при счете Я,1, через и соответственно = wpУdJ). В качестве начального для уравнения (2.2) зададим вектор ортогональный вектору т. е. удовлетворяющий условию = 0. Через время т вектор перейдет в вектор Составим линейную комбинацию векторов и так, чтобы она была ортогональна вектору Для этого положим где — неопределенный множитель, и потребуем, чтобы = 0. Отсюда находим р = = — В качестве начального вектора для второго шага возьмем вектор где = 1 . Поступая аналогичным образом на каждом г-м шаге, вычислим все <4 . Ляпуновский показатель Я,г определяется выражением [c.228]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...