Кривые второго порядка

Рассмотрим кривые второго порядка и их некоторые свойства. [c.145]

Касательная в любой точке кривой второго порядка имеет равные углы с фокальными радиусами-векторами. [c.155]

При вращении вокруг оси плоской или пространственной алгебраической кривой и-го порядка образуется алгебраическая поверхность вращения в общем случае 2и-го порядка. Если кривая второго порядка вращается вокруг своей оси, то она образует поверхность второго порядка. [c.172]

Т е о р е м а Ортогональная проекция плоского сечения конуса вращения на плоскость, перпендикулярную к его оси, представляет собой кривую второго порядка и имеет одним из своих фокусов ортогональную проекцию на эту плоскость вершины конуса. [c.215]

При пересечении между собой поверхностей второго порядка линиями пересечения в общем случае являются пространственные кривые линии. В некоторых частных случаях взаимного расположения поверхностей рассматриваемой группы линиями их пересечения могут быть кривые второго порядка. Известно, что поверхность второго порядка пересекается плоскостью по кривой второго порядка. [c.258]

Если плоскость пересекает две пересекающиеся поверхности второго порядка, линиями сечения являются две кривые второго порядка, пересекающиеся в четырех точках. Через эти точки проходит линия пересечения поверхностей. Она является кривой четвертого порядка ее называют биквадратной кривой. [c.258]

Кривая четвертого порядка может распадаться на более простые кривые низших порядков. Например, линией пересечения двух цилиндров с параллельными осями является биквадратная кривая, которая распадается на четыре прямые — общие образующие цилиндров. Имеются случаи распадения биквадратной кривой на две кривые второго порядка. [c.258]

Известно, что любая плоская кривая на поверхности второго порядка является кривой второго порядка. [c.258]

Вторая кривая линия пересечения тоже является кривой второго порядка, поскольку порядок этой линии определяется как разность порядков биквадратной кривой — кривой четвертого порядка и порядка первой линии. [c.258]

Следствие 2. Если биквадратная кривая распадается на тру совпавших кривых второго порядка или на четыре совпавшие прямые, то имеется касание поверхностей вдоль линии второго или первого порядка соответственно. [c.259]

Теорема 3. Если две пересекающиеся поверхности второго порядка касаются в трех точках, то они соприкасаются вдоль кривой второго порядка. [c.261]

Следствие. Если две поверхности второго порядка касаются друг друга по кривой линии, то эта линия является кривой второго порядка. [c.261]

Теорема 4 (теорема Монжа). Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности второго порядка или вписаны в нее), то они пересекаются по линии, распадающейся на две кривые второго порядка. [c.261]

На рис. 376 пересекающиеся конусы описаны около сферы. Они касаются сферы по окружностям с диаметрами 12 и 34. Здесь линиями пересече ия двух конических поверхностей являются эллипс и парабола — кривые второго порядка, Плоскости которых перпендикулярны к плоскости, определяемой осями конусов. [c.262]

Теорема 5. Если пересекающиеся поверхности второго порядка имеют общую плоскость симметрии, то линия их пересечения проецируется на эту плоскость в виде кривой второго порядка. [c.262]

Теорема 6. Очертание поверхности второго порядка есть кривая второго порядка. [c.265]

Проведем из некоторой точки вне поверхности три произвольные касательные к поверхности. Точки касания определяют плоскость, которая пересекает поверхность по кривой второго порядка. [c.265]

Здесь проецирующий конус пересекается любой плоскостью по кривой второго порядка и дает очерк поверхности на этой плоскости. [c.265]

Поверхности второго порядка—поверхности, которые пересекаются с произвольной прямой в двух точках (иногда совпадающих или мнимых), а с плоскостью — по кривым второго порядка (иногда распадающимся на две прямые или мнимые кривые). [c.41]

Определение видимости линии пересечения относительно плоскостей проекций. Заданные поверхности симметричны относительно фронтальной плоскости уровня Г, следовательно, симметрична и линия их пересечения относительно той же плоскости. Поэтому на плоскости проекций П- проекции видимой и невидимой частей линии пересечения совпадут (это будет кривая второго порядка —см. п. 36.5). [c.76]

Известно, что линией пересечения двух поверхностей второго порядка является кривая четвертого порядка. Но в случаях, соответствующих приведенным ниже трем теоремам, эта линия пересечения будет кривой второго порядка. [c.76]

Кроме того, линия пересечения четвертого порядка может иногда проецироваться в кривую второго порядка (при этом не следует забывать, что кривые второго порядка могут быть только плоскими и могут распадаться на прямые, как на рис. 66 67). Эти случаи определены четвертой теоремой (см. п. 36.5). [c.76]

Теорема о двойном соприкосновении если две поверхности второго порядка имеют две точки касания, то линия ия пересечения распадается на две кривые второго порядка. [c.76]

Рассматривая проекции линий пересечения поверхностей второго порядка, необходимо отметить еще одну теорему если пересекающиеся поверхности второго порядка имеют общую плоскость симметрии, то линия их пересечения проецируется на эту плоскость или ей параллельную) в виде дуги кривой второго порядка. [c.78]

Цилиндры пересекаются по кривой линии (четвертого порядка), которая на вид слева будет проецироваться в кривую второго порядка (см, 36). [c.142]

К числу лекальных можно от нести кривые второго порядка (эллипс, параболу, гиперболу), циклоидальные кривые (циклоиду, эпициклоиду, гипоциклоиду, кардиоиду, эвольвенту) и др. [c.46]

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА [c.47]

Следовательно, если секущая плоскость Г пересекает все образующие конической поверхности, то получается эллипс, кривая второго порядка, не имеющая несобственных точек. В частном случае, когда плоскость Д перпендикулярна к оси конической поверхности, в сечении получается окруж- [c.40]

Еще один частный случай имеет место при нахождении центра проецирования на кривой. Например, кривая второго порядка из какой-либо своей точки проецируется в прямую линию. В этом случае порядок проекции на единицу меньше порядка оригинала. В общем случае, если центр проецирования совпадает с -кратной точкой [c.42]

Способ кривых второго порядка [c.46]

На практике обычно кривую второго порядка задают тремя точками и касательными в двух точках или двумя [c.46]

Построение обвода первого поря.дка гладкости из дуг кривых второго порядка начинают с выбора значений инженерного дискриминанта d для каждой составляющей, исходя из визуальной оцени данного массива точек и касательных, обеспечения требуемой формы конструируемого обвода. После этого для каждой составляющей т обвода по известному значению дискриминанта d строится третья точка В, которая вместе с точками Л, и касательными t однозначно ее определяет. Этих данных достаточно для вычисления коэффициентов уравнения (2,20), описывающего составляющую т обвода, или для графического построения множества точек состав- [c.46]

Второй вариант распадения можно проиллюстрировать следующим примером (рис. 4.41). Пусть пересекаются однополостный гиперболоид Ф и коническая поверхность Д(5, а). При этом вершина S конической поверхности Д принадлежит поверхности Ф, а ее направляющая а проходит через следы М, N образующих т, п гиперболоида, проходящих через точку S. Тогда прямые т, п будут общими для поверхностей Ф, Д, которые дополнительно пересекаются по кривой второго порядка /. Здесь линию / также удобно строить способом вращающейся плоскости. При. этом за ось пучка вспомогательных плоскостей можно брать любую из прямых т, п. [c.133]

Большой теоретический и прикладной интерес представляет четвертый вариант распадения линии пересечения двух поверхностей второго порядка на две кривые второго порядка. Есть ряд известных теорем, относящихся к этому варианту распадения. [c.133]

Теорема если две поверхности второго порядка имеют общую кривую второго порядка, то они пересекаются еще по одной кривой второго порядка. [c.133]

Данные поверхности Ф, Д имеют общую фронтальную плоскость симметрии Г. Поэтому линия их пересечения проецируется на П2 в соответствии с вышеприведенным следствием в распавшуюся кривую второго порядка, так как сама линия пересечения является распавшейся на две кривые второго порядка. Плоскость Г пересекает данные поверхности по очерковым образующим, через точки 2, 2, З2, 2 пересечения которых проходит фронтальная проекция линии пересечения. Так как фронтальная проекция линии пересечения представляет собой распавшуюся на две прямые кривую второго порядка, где одна из прямых <22 проходит через точки 2, вторая [c.134]

Отметим, что кривые второго порядка а, Ь, принадлежащие обеим коническим поверхностям Ф, Д, пересекаются в двух точках М, N. Эти точки могут быть действительными различными (см. рис. 4.43), совпавшими или мнимыми. Это утверждение справедливо для любых двух кривых второго порядка, принадлежащих одной поверхности второго порядка. Действительно, плоскости этих кривых пересекаются по прямой, которая пересекает поверхность второго порядка всегда в двух точках (действительных различных, совпавших или мнимых). Через эти точки, очевидно, проходят указанные кривые второго порядка. [c.134]

Это выражение кривой второго порядка - параболы. В общем случае параболу можно построить, зная значение ее а трех характерных точках на границах участка и в тех сечениях, где эпюра имеет пкстремальное значение. Определим экстремальное значение угла закручивания для рассматриваемого участка. Так как угол [c.22]

Те<фема если две поверхности второго порока пересекаются по о5лой кривой второго порядка, то они пересекаются и по второй кривой второго порядка. [c.78]

На рис. 67, б цилиндрическая и коническая поверхности имеют в основании общую окружность 1—2—3—4—I, т. е. линию пере сечения —кривую второго порядка. На основання теоремы находим вторую линию пересечения — кривую srolioro порядка 5-2-6-4—5. [c.78]

Кривые второго порядка называются также коническими сечениями, так как получаются сечением конической поверхности вра1цения некоторой плоскостью. Как известно, кривые второго порядка бывают неприводимые (окружность, Э71ЛИПС, парабола и гипербола), приводимые или распавшиеся (две действительные или мнимые пересекающиеся прямые, две совпавшие прямые, две действительные или мнимые параллельные прямые). Окружность и эллипс, как замкнутые кривые, не содержат несобственных точек. Парабола имеет одну несобственную точку, а гипербола — две несобственные точки (неаэбствешше точки се асимптот). [c.40]

В частных случаях проекция может распадаться и иметь меньщий, чем у кривой, порядок. Например, кривая второго порядка, лежащая в проецирующей плоскости, проецируется в прямую, считаемую дважды, так как каждая проецирующая прямая пересекас 1 оригинал не в одной точке, как. это было в общем случае, а в двух точках. Если же каждая проецирую щая пересекает пространственную кривую п-го порядка в к точках, то порядок проекции равен п к. [c.42]

Как известно, кривая второго порядка однозначно определяется заданием liя и 10ЧСК. Это следует из того, что ее уравнение в декартовых координатах имеет вид [c.46]

Анализируя изученные выше 1рафичсские способы построения линий пересечения поверхностей, следует отметить, что области их применения достаточно узки. Изучаемыми способами невозможно даже построить линию пересечения двух поверхностей второго порядка общего вида, ибо плоскости-посредники пересекают их по кривым второго порядка, а подобрать вспомо- [c.130]

Другие теоремы, относящиеся к распадению линии пересечения двух поверхностей второго порядка на две кривые второго порядка, будут расмот-рены в следующем разделе. [c.134]

Справочник машиностроителя Том 1 Изд.3 (1963) -- [ c.242 , c.247 ]

Машиностроительное черчение в вопросах и ответах Изд.2 (1992) -- [ c.3 , c.7 , c.334 ]

Теплотехнический справочник том 1 издание 2 (1975) -- [ c.17 , c.20 ]

Метрология, специальные общетехнические вопросы Кн 1 (1962) -- [ c.490 ]

Машиностроение Энциклопедический справочник Раздел 1 Том 1 (1947) -- [ c.199 ]

Справочник машиностроителя Том 1 Изд.2 (1956) -- [ c.242 , c.247 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...