Движение, уравнения устойчивость

Теорема И. Если характеристическое уравнение имеет корни с отрицательными действительными частями, то, какими бы ни были остальные его корни, для невозмущенного движения существует некоторая условная устойчивость. А именно, в случае существования к таких корней это движение будет устойчиво для возмущений, удовлетворяющих некоторым п — к уравнениям вида [c.336]

Уравнения возмущенного движения. Определение устойчивости. Пусть уравнения движения механической системы представлены в виде системы дифференциальных уравнений [c.367]

Если вещественные части всех корней характеристического уравнения отрицательны, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво. [c.146]

Согласно первой части теоремы, движение асимптотически устойчиво относительно скоростей . Из совпадения форм уравнений (6.90) и (6.94) следует, что движение асимптотически устойчиво относительно у. На основании равенств (6.93) и (6.92) заключаем, что движение устойчиво (но не асимптотически) относительно координат s. [c.188]

Так как все элементы первого столбца положительны, движение системы устойчиво. Применим к этому уравнению установленное условие устойчивости движения [c.242]

На поставленный вопрос нельзя дать однозначного ответа. Рассмотрим процесс движения стержня. Обычное уравнение устойчивости [c.293]

Критерий Рауса формулируется следующим образом для того чтобы движение было устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса имели одинаковый знак. Обычно характеристическое уравнение приводят к виду, когда во > 0. Тогда для устойчивости движения все остальные коэффициенты первого столбца также должны быть положительными, т. е. [c.184]

В этом параграфе исследуется асимптотика по параметру решений уравнения с быстрыми и медленными движениями при стремлении параметра к нулю. Здесь рассматриваются только такие системы, в которых особые точки уравнения быстрых движений теряют устойчивость с изменением медленной переменной в результате обращения в нуль одного (и только одного) из собственных значений линеаризации. Другими словами, уравнение быстрых движений при любом значении медленной переменной имеет не более чем одномерное центральное многообразие. Медленная поверхность в этом случае распадается на устойчивую и неустойчивую части, разделенные точками срыва — критическими точками проектирования медленной поверхности на пространство медленных переменных вдоль пространства быстрых. Такие уравнения назовем уравнениями типа 1 в знак одномерности центральных многообразий. [c.183]

Фазовые кривые быстро-медленных уравнений могут при е- 0 в некоторых специальных случаях стремиться к кривым, состоящим не только из участков быстрого движения и устойчивых дуг медленной кривой, но содержащим также и неустойчивые дуги. Эти предельные кривые называются утками из-за своей формы (рис. 75). Коразмерность соответствующего мно- [c.199]

Заметим, между прочим, что в динамических случаях, когда мы имеем голономные системы со связями, не зависящими от времени, находящиеся под действием консервативных (или даже только позиционных) сил, уравнения движения остаются неизменными при замене на —t, т. е. все движения обратимы. Поэтому в таких случаях, как и в случаях равновесия, понятие устойчивости приложимо без ограничения времени, т. е. от наиболее отдаленного прошедшего до наиболее далекого будущего (при t, изменяющемся от — оо до-[-оо). Но, как мы увидим далее, в некоторых случаях, в частности, когда входят силы трения, вязкости или вообще так называемые диссипативные силы ( 7), движения оказываются необратимыми тогда необходимо ограничиться для каждого отдельного движения разбором устойчивости в будущем, т. е. только при [c.379]

Теорема. Если все корни характеристического уравнения (3) имеют отрицательные вещественные части, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво независимо от нелинейных членов в (1). Если же среди корней характеристического уравнения есть хотя бы один с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение неустойчиво — тоже независимо от нелинейных членов в (1). [c.529]

Таким образом, показано, что поступательное движение твердого тела на круговой орбите при а < 1 и а > % неустойчиво по Ляпунову, а при 1 < < 7з устойчиво в линейном приближении. Более детальное исследование позволяет показать, что на самом деле при выполнении условия (18) движение будет устойчиво по Ляпунову не только в линейном приближении, но и в рамках полных нелинейных уравнений возмущенного движения . [c.542]

В следующем параграфе мы найдем решение уравнений (23.1.7),, принимающее значение 6 при f = 0. Если это решение таково, что величина остается малой вместе с б в течение всего времени, то соответствующее невозмущенное движение называют устойчивым по первому приближению или устойчивым в бесконечно малом. [c.458]

Теорема Ляпунова. Если уравнения (23.7.6) возмущенного-движения допускают определенно-положительный пространственный интеграл f iy), то невозмущенное движение х ) устойчиво. [c.473]

Первая теорема. Если вещественные части всех корней характеристического уравнения первого приближения отрицательны, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво, независимо от членов выше первого порядка малости (членов, составляющих Х] 1 = 1.....5)). [c.74]

Карты устойчивости. Невозмущенное движение вибратора устойчиво, если корни характеристического уравнения (7.29) удовлетворяют следующим неравенствам [c.252]

Здесь еще раз следует подчеркнуть, что упомянутое условие устойчивости дифференциальных уравнений пограничного слоя справедливо лишь для уравнений Прандтля. А именно из уравнений пограничного слоя в форме Мизеса следует, что возмущающие процессы любого характера после минимума давления значительно возрастают в направлении движения. Условия устойчивости получаются совсем другими, если в основу дифференциальных уравнений положить уравнение в форме уравнения Л. Крокко. При этом развитие неустойчивости находится в особой зависимости от получаемого решения. Аналогичные вопросы возникают и при решении таких же параболических линейных уравнений теплопроводности. Они связаны заменой зависимой переменной независимой. В настоящей работе рассмотрение неустойчивости ограничивается исследованием уравнений пограничного слоя в форме уравнений Прандтля. [c.285]

В соответствии со значением передаточной функции по управляющему воздействию (45) уравнение свободного движения, определяющее устойчивость линейной системы, записывается в следующем виде [c.25]

Согласно первой теореме Ляпунова, иевозмущепное движение, определяемое уравнениями ( ), устойчиво, если все корни характеристического уравпейия (13 ) имеют отрицательную вещественную часть. В этом случае отброшенные нелинейные слагаемые в правой части уравнений (11 ) не влияют на устойчивость движения. [c.652]

Теорема 2.5. Если существует знакоопределенная функция К(х), производная которой в силу уравнений возмущенного движения есть функция знакоопределенная, знака, противоположного с У, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво. [c.85]

Из критерия Рауса Гурвица и теоремы 2.1 следует, что невоз-мущеннос движение асимптотически устойчиво независимо от членов высших порядков в уравнениях возмущенного движения, если при До б нее опредетгители Гурвица положительны. [c.100]

Математическое исследование устойчивости движения по отношению к бесконечно малым возмущениям должно происходить по следуюи [ей схеме. На исследуемое стационарное решение (распределение скоростей, в котором пусть будет vo(r)) накладывается нестационарное малое возмущение vi(r, t), которое должно быть определено таким образом, чтобы результируюн1ее движение v = v0 + vi удовлетворяло уравнениям движения. Уравнение для определения vi получается подстановкой в уравнения [c.137]

V(x[, Х2, Хг ), производная которой V в силу этих уравнений есть знакоопределенная функция противоположного знака с V, то несозмущенное движение асимптотически устойчиво. [c.373]

Если для ди<ф)ферещиал1,иых уравнений возмущенного движения можно найти знакоопределенную функцию V, производная которой в силу этих уравнений была бы знакоопределенной функцией противоположного знака с V, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво. [c.39]

Если веществеп 1ые части всех корней характеристического уравнения отрицательны все < 0), то невозмущенное движение асимптотически устойчиво все zj. —> -> О при t Ой) [c.100]

В этих уравнениях матрица сил, линейно зависящих от скоростей г, I/, Z, кососимметричная. Следовательно, эти силы гироскопические. Так как другие силы отсутствую , то на основании теоремы 1 этого параграфа заключаем, что невозмущонное движение электрона устойчиво относительно скоростей г, а на основании следствия теоремы 2 оно неустойчиво относительно совокупности всех координат х, у, л (так как число координат равно jpeM). [c.189]

Уравнение (81) называется дифференциальным уравнением возмущающего движения. Исследование устойчивости решения этого уравнения представляет собой задачу о собственных значениях дифференциального уравнения (81) при граничных условиях (78). Предположим, что основное течение задано, то есть известно распределение скоростей в ламинарном пограничном слое и (у). Тогда уравнение (81) будет содержать четьхре параметра R, а, Сг, Си Для каждой выбранной пары R и а можно найти собственную функцию ф и комплексное собственное значение с = Сг + i i, причем здесь Сг — безразмерная скорость распространения возмущений, а i — безразмерный коэффициент [c.310]

Далее, задавая новые значения параметра с,- и повторяя расчеты, получим кривую = onst, которая окажется касательной к кривой F z) (рис. 7.2.2). В этой точке заданной фазовой скорости соответствует только одно волновое число и, следовательно, одно значение числа Рейнольдса Re- . На кривой нейтральной устойчивости точка (а , Re ) представляет собой точку касания нейтральной кривой с прямой, параллельной оси ординат а. Поэтому число Re является минимальным критическим числом Рейнольдса. При О уравнение (7.2.22) не будет иметь решений. На плоскости нейтральной кривой это означает, что при числах Рейнольдса, меньших критического (R g <1 R j , R 5kp) возмущения любой дли ны волны (или а) затухают, т. е. движение абсолютно устойчиво. [c.456]

Теорема. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что существует знакоопределенная функция V( i, Ж2,..., ж ), производная которой V в силу этих уравнений есть знакоопределенная функция противоположного знака с V, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво. [c.522]

Еще одно направление, в котором развивались исследования по аналитической механике,— применение понятия теоретически устойчивых двия№пий к исследованию действительных движений механики. Основные работы и здесь принадлежат Н. Г. Четаеву, который высказал и развил идею о возможности создании аналитической механики на основе отбора истинных состояний движения из всех возможных движений, обладающих устойчивостью того или иного характера. Эта идея была развита Чета-евым в работах 1931 — 1945 гг. Сформулировав задачу об устойчивости механических систем, Четаев дает строгое доказательство того, что для невозмущенных движений в случае их устойчивости в первом приближении уравнения Пуанкаре в вариациях будут иметь лишь нулевые характеристические числа. Если невозмущенное движение устойчиво, то соответствующие уравнения в вариациях [c.289]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...