Характеристическая форма системы уравнений

Совокупность соотношений (4) образует характеристическую форму системы уравнений (1) и равносильна этой системе. [c.135]

И окончательно получается следующая характеристическая форма системы уравнений (7) [c.261]

Соотношения (4.19) называются характеристической формой системы уравнений (4.12). Их особенность состоит в том, что в каждом уравнении (4.19) дифференцирование проводится только вдоль одной характеристики. [c.51]

В этом уравнении входит в элементы главной диагонали. Преобра.зо-вание А. Н. Крылова позволяет представить характеристическое уравнение в такой форме, что частоты будут принадлежать элементам первого столбца определителя, находящегося в левой части характеристического уравнения. Это преобразование можно рассматривать как некоторый метод исключения N — 1 неизвестной функции из системы уравнений (II. 185) и получения дифференциального уравнения порядка 2N для определения некоторой функции из общего количества N функций qj. [c.241]

Сопоставляя полученную систему дифференциальных уравнений для моментов сил упругости связей в замкнутом контуре масс с системой уравнений моментов сил упругости связей в рядной цепи, замечаем, что благодаря лишней связи, замыкающей рядную цепь, порядок уравнений повысился на два, а в первом и предпоследнем уравнениях появилось по дополнительному слагаемому. Характеристическое уравнение в форме определителя имеет вид [c.36]

Поэтому для осуществления предельного перехода в системе уравнений тепло- и массопереноса исходную бесконечную сумму общего решения следует повторить слагаемым столько раз, сколько. форм корней имеется в преобразованном характеристическом уравнении. Например, бесконечную сумму уравнения (6-3-1) необходимо повторить 2 раза, под- [c.257]

Фундаментальные характеристические свойства системы дифференциальных уравнений теории оболочек (например, ее тип или порядок) инвариантны относительно невырожденных преобразований координат на отсчетной поверхности Q. Однако аналитическое представление дифференциальных операторов этой теории существенно зависит от используемой координатной системы, и надлежащим выбором последней им можно придать наиболее удобную, каноническую" форму. Такую форму дифференциальные уравнения теории оболочек получают в ортогональной системе координат, связанной с линиями кривизн поверхности Q. В этой системе координат, обычно и используемой в механике тонкостенных систем, ниже формулируются уравнения неклассической теории оболочек. Итак, пусть х , — ортогональная система координат, координатные линии которой — линии кривизны поверхности Q. Пусть — [c.68]

Покажем что корни характеристического уравнения веш ественные и положительные. Для удобства перейдем к векторной форме записи этой системы уравнений. Введем две матрицы [c.182]

В зависимости от начальных разностей скоростей и температур фаз, возмущений Пд,. .. и величины интервал О < < 1 или его подынтервалы принадлежат к равновесному Е) или к неравновесному К) типу. К равновесному (неравновесному) типу отнесем отрезки времени, на которых отличия параметров невозмущенного потока от равновесных значений (1.3) малы (велики). Интервалы типа N подразделяются на дозвуковые 8В) и сверхзвуковые ЗР) в соответствии с характеристическими свойствами системы (1.1). В ней независимо от значений параметров смеси характеристическую форму имеют два векторных (каждое с двумя проекциями для и у -) и два скалярных уравнения, т.е. шесть из десяти скалярных уравнений в частных производных. Три из них - пятое (векторное) и шестое записываются вдоль траекторий газа, а оставшиеся три - седьмое (векторное) и восьмое - вдоль траекторий частиц. Тип подсистемы первых четырех уравнений (1.1), связанных с перечисленными только через коэффициенты и свободные члены, определяется числом действительных корней характеристического уравнения ([1, 5] и Гл. 11.1) [c.487]

Уравнения Лагранжа механической системы имеют вид Aq + Bq + q = О, где А, В и С — постоянные матрицы, причем А и С — симметрические матрицы, отвечающие положительно определенным квадратичным формам, а В — диагональная матрица с элементами Ри = Р > О, = О (г 7 1). Показать, что те значения со, нри которых годограф Михайлова /(i o) характеристического полинома системы f X) пересекает мнимую ось, являются собственными частотами консервативной системы, в которую рассматриваемая система переходит в пределе при р 0. [c.181]

Применим эти результаты к системе (8.1), (8.2), (8.6). Заметим вначале, что уравнение (8.6) (а также уравнение (8.3)) уже имеет характеристическую форму [c.59]

Соотношения (1.7) и (1.9) содержат дифференциалы искомых функций только в одном направлении—вдоль линии тока—и имеют, следовательно, характеристическую форму, так что линии тока являются сдвоенными характеристиками исходной системы уравнений. Выражения в левых частях интегралов (1.8) (или (1.11)) и (1.10) представляют собой аналогично функции тока т] инварианты, сохраняющие свои значения вдоль линий тока. [c.246]

Умножив второе уравнение системы на скорость звука с и сложив его с первым уравнением, представим систему (18) в характеристической форме [c.98]

Общие соотношения. Понятие об асимптотическом методе В. В. Болотина было дано в гл. 7. Здесь рассмотрим его применение к тонким упругим оболочкам постоянной толщины [6, 8]. Если характеристические длины волны Я.1 и У форм колебаний достаточно малы по сравнению с радиусами срединной поверхности и то уравнения для форм собственных колебаний могут быть взяты в виде системы уравнений (15) [c.461]

Заметим, что эта система уравнений инвариантна относительно циклической перестановки а, р, у. Чтобы привести эти уравнения к характеристической форме, умножим (5.101) на X, (5.102) на л и прибавим их к (5.103). Если выбрать и л такими, что коэффициенты при а я а, равны нулю, то [c.129]

Мы ул<е заметили, что уравнения первого приближения, т. е. уравнения (13.101), получаются также непосредственно из полных уравнений (13.96) отбрасыванием в правых частях последних всех членов выше первой степени. Для этого нужно только заменить полную характеристическую функцию [U ] квадратичной формой Фг, которая есть сумма двух квадратичных форм ФJ и Фз, нз которых первая зависит только от элементов ss и r s> а вторая — только от элементов р и qs- Отсюда следует, что система уравнений первого приближения, соответствующая системе (13,99), распадается на две независимые системы. [c.721]

Когда гиперболическая система представлена в виде (1.7), говорят, что она приведена к характеристической форме. Левая часть каждого уравнения содержит производные на плоскости х,1 вдоль одного направления х/сИ = которое называется характеристическим. Линия, касающаяся в каждой точке одного характеристического направления, называется характеристикой, а - скоростью характеристики или характеристической скоростью. [c.19]

Введение инвариантов Римана и соответствующее преобразование линейной системы к виду (1.10) во многих случаях весьма полезно. К сожалению, когда коэффициенты Uik зависят от Uj, такого преобразования в общем случае сделать нельзя. Однако, его можно всегда сделать для систем, состоящих из двух уравнений (Рождественский и Яненко [1983]). Для этого запишем уравнения (1.6) в характеристической форме (1.7) [c.25]

Полученная система из восьми (скалярных) дифференциальных уравнений (33), (34) и (35) для восьми искомых функций ЬР, /г , и, V, го, р, 5 вместе с уравнением состояния р = /(р, 5), образует характеристическую форму уравнений газовой динамики. [c.63]

Мы нашли, таким образом, характеристическое уравнение для системы, имевшей вначале т степеней свободы, движение которой ограничено г связями. Форма этого уравнения определяется главным образом тем, что оно должно оставаться неизменным при перестановке как любых букв, так и любых индексов. Можно было также предвидеть, что оно теряет свой смысл, если два из условий, выражающих связи, совпадают. Если г = т—1, [c.148]

Полученная таким образом система 12-го порядка обладает еще четырьмя интегралами, а именно, тремя интегралами площадей и интегралом живых сил. Поэтому, если использовать эти интегралы, можно получить систему 8-го порядка. Сохраняя каноническую форму дифференциальных уравнений, эту систему 8-го порядка можно записать как систему канонических уравнений с четырьмя степенями свободы. Оказывается, что характеристическая функция этой канонической системы остается не зависящей явно от времени. Следовательно, для этой системы 8-го порядка существует интеграл живых сил, и можно было бы с его помощью понизить порядок системы еще на единицу. [c.225]

Уравнение (5.10.15) является кинематическим условием совместности", оно обеспечивает непрерывность перемещения % на характеристической поверхности для всех t > О, если % непрерывно в начальный момент. В матричной записи система уравнений (5.10.11) — (5.10.16) принимает форму [c.297]

Обратим внимание на следующие обстоятельства. Прежде всего, характеристический функционал поля скорости представляет собой компактную форму задания информации, эквивалентной той, которая, вообще говоря, содержится в бесконечном множестве всевозможных моментов этого поля (в предположении, что все моменты существуют). Далее, указанные моменты удовлетворяют некоторой бесконечной системе уравнений (выражающих ограничения, налагаемые законами сохранения массы и импульса, т. е. тем, что поле скорости удовлетворяет уравнениям неразрывности и Навье — Стокса), о которой шла речь в 19. Эти обстоятельства приводят к вопросу не удовлетворяет ли характеристический функционал поля скорости некоторым уравнениям, которые являлись бы компактной формой записи выте- [c.614]

Каждое уравнение в характеристической форме дает только одну связь между п производными функций и] вдоль соответствующей характеристики. Как мы увидим ниже, для возможности локального построения решения в некоторой малой области требуется существование п независимых уравнений в характеристической форме. Это условие является основой определения гиперболической системы. [c.117]

Два вектора 1 линейно независимы, так что система является гиперболической. Если у <С О, то не существует вещественных характеристических форм действительно, в зтом случае уравнение является прототипом эллиптических уравнений. [c.120]

Единственной возможной характеристической формой является первое уравнение в исходном виде. Следовательно, система не является гиперболической. Однако в данном исключительном случае первое уравнение можно решить независимо от второго, проинтегрировав его вдоль характеристик йх д,1 = С. Затем, зная и во всей области, можно вычислить и и, проинтегрировав второе уравнение вдоль тех же самых характеристик, найти и. В зтом отношении данная система подобна гиперболической системе с двойной характеристикой, однако формально ее следует классифицировать как параболическую. [c.123]

Согласно стандартной процедуре, описанной в гл. 5, характеристическая форма этой системы сводится к уравнениям [c.470]

Это — характеристическое уравнение для системы (11.10). Корни уравнения (11.13) определяют форму интегралов уравнений [c.433]

Если Т велико (х1 т), то величина 7(2) приближается к единице при глубине проникновения в среду объекта приблизительно на одну характеристическую длину лазерного импульса. Тем не менее то, что поправочный коэффициент 7(2) может оказаться значительно меньше единицы даже для больших значений Т, соответствующих пределу рассеяния, показывает, что в действительности простая форма лидарного уравнения рассеяния (7.15) дает завышенную величину ожидаемого сигнала в тех случаях, когда принимаемый обратный сигнал является результатом реального лазерного импульса, рассеянного близко от резкой границы исследуемой флюоресцирующей среды Результаты, представленные на рис. 7.3, а, относятся к случаю, когда 0,2. При хп — XI наблюдается подобный режим работы (рис. 7.3,6), за исключением того, что при 2 = 0 параметр 7(2 ) имеет конечное значение. Для понимания этого необходимо ввести в рассмотрение пространственную разрешающую способность системы. В пределе рассеяния (т. е. при т 0) про- [c.285]

Линейные преобразования, выполняемые для приведения к каноническому виду кинетической и потенциальной энергий, не отражаются на главных частотах. Это утверждение, с одной стороны, основывается на общей теории квадратичных форм, а с другой — вытекает из теории линейных дифференциальных уравнений. Действительно, непосредственно видно, что, построив общее решение системы дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода в координатах 0у, можно найти общее решение уравнений движения в исходных координатах ри применяя формулы линейного преобразования координат. При этом решения характеристического уравнения — главные частоты — не изменяются ). [c.252]

Итак, основные этапы развития аналитической динамики таковы первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжев метод вариации произвольных постоянных и аналогичная теория Пуассона и связанные с нею проблемы интегрирования затем Гамильтон представил интегральные уравнения посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или из того условия, что она должна одновременно удовлетворять двум дифференциальным уравнениям в частных производных Гамильтон же нашел новую форму уравнений движения Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений динамики к нахождению полного интеграла единственного дифференциального уравнения в частных производных он же развил теорию последнего множителя системы дифференциальных уравнений движения Остроградский рассмотрел проблему интегрирования уравнений динамики Раус нашел новую форму дифференциальных уравнений движений Пуанкаре развил теорию интегральных инвариантов наконец, [c.848]

Благодаря открытию Гамильтона система интегральных уравнени задач механики получила замечательную форму. Именно, если характеристическую функцию дифференцировать по произвольным постоянным, которые она содержит, то получатся интегральные уравнения данной системы дифференциальных уравнений. Это аналогично теореме Лагранжа, согласно которой дифференциальные уравнения задачи в том случае, когда имеет место принцип наименьшего действия, могут быть представлены как частные производные одной величины. Однако, Гамильтон хотя и установил ту форму интегральных уравнений, о которой идет речь и которую эти уравнения [c.6]

При осуществлении предельного перехода от общего решения системы уравнений к частным важное значение имеют вид характеристического уравнения после предельного перехода и форма получаемых при этом корней. Так, для неограниченной пластины характеристическое уравнение (6-3-10) в результате Рп-лерехода (т. е. Рп=0) принимает вид [c.257]

Перейдем теперь к интегрированию исходной системы уравнений, имея в виду расходящуюся сферическую волну. Уравнения в характеристической форме содержат соотношения по трем неэквивалйэЕтным направлениям. Характеристики и Со пересекают возмущенную область так,, что вариации давления, плотности и скорости газа вдоль этих направлений [c.281]

Характеристики урависиий газовой динамики. Предыдущие понятия и факты существенны для понимания качественных закономерностей движения газа и должны учитываться при анализе уравнений газовой динамики. Для отыскания характеристик исходную систему удобно взять в виде системы (3.15) или (3.16), для которой соответствующая форма записи (2) уже получена в виде (3.17). Из нее следует, что система уравнений газовой динамики является гиперболической. Для вычисления вводится следующая запись искомого нормального характеристического вектора [c.57]

Характеристики уравнения (14) определяются через нормальные характеристические векторы аналогично тому, как это делалось для системы уравнений газовой динамики в 6. Роль характеристической матрицы (6.15) здесь играет характеристическая квадратичная форма, которая составляется по следующему правилу берется вектор = (т, г], Q, и в уравнении (14) каждая производная второго порядка заменяется произведением соответствующих координат этого вектора, например, на место iptt подставляется г , на место pxt подставляется и т. д. В результате для уравнения (14) характеристическая квадратичная форма оказывается такой [c.104]

Функция /у, определяющая аналитическую структуру правых частей уравнений (27), называется характеристической функцией системы ка-ноничес их уравнений. Очевидно, что Н, вообще говоря, з. висит от t и от всех канонических переменных i/j,. . ., уравнения движения канонической форме, мы ничуть не уменьшили трудности задачи, и уравнения (27) так же трудно интегрировать, как и первоначальную систему (2). Одиако симметричная форма уравнений (27) делает их более удобными в теоретических исследованиях и позволяет иногда П01учить некоторые свойства движения более просто, чем при помощи уравнений (2). [c.389]

Рассмотрим теперь случай, когда характеристическая функция Я системы уравнений в вариациях (61) есть знакоопределенная форма переменных дг у,. Тогда все корни характеристического уравнения (62) чисто мнимые, т. е. имеют равные нулю действительные части и не равные нулю коэфициенты при — 1. Действительно, система имеет интеграл [c.471]

Характеристическая форма уравнени газодинамики. Используя приведенные справочные данные, обратимся к системе уравнений газодинамики для одномерного нестационарного случая в лаграижевых массовых координатах (3.25). [c.52]

Как уже упоминалось выще, оценку качества равновесия удобно получать на основании качественных критериев, хорошо разработанных в трудах Р. Р. Матево-сяна [39], Я. Л. Нудельмана [46], А. Ф. Смирнова [72] и других исследователей. В настоящей работе будем основываться на понятиях о степени устойчивости и неустойчивости, причем совокупность последовательных коэффициентов устойчивости по предложению Р. Р. Мате-восяна будем называть рядом устойчивости [39]. Следуя [39], ряд устойчивости используется в неортогональной форме, т. е. для определения степени устойчивости и неустойчивости системы не будем решать характеристическое уравнение и вычислять собственные значения матриц, хотя для некоторых рассуждений будут использованы известные свойства собственных чисел. Мы будем рассматривать качественный анализ систем, описываемых уравнениями смешанного метода. При этом будем предполагать, что система уравнений смешанного метода записана таким образом, что сперва расположены все условия совместности деформаций, а затем все условия равновесия (см. рис. 54). [c.148]

Уравнения (5.1) могут быть еще упрощены приведением их к характеристической форме. Попытаемся найти такое направление q на плоскости х, t вдоль которого система (5.1) может быть сведена к решению от одной переменной. Допустим, что такое направление существует и течение баротронно. Если нри выводе придем к противоречию, то "направление д" не существует. Итак, из баротронности следует [c.66]

Примечание. Отсутстпие секулярных членов вида (а) в общем решении дифференциальных уравнении малых колебаний в случае кратных корней характеристического уравнения объясняется тем, что эти уравнения порождаются двумя положительно определенными квадратичными формами — кинетической и потенциальной энергиями. В других случаях эти члены действительно появляются в общем решении системы дифференциальных уравнений. Рассмотрим как пример систему с двумя степенями свободы, уравнениями движения которой являются [c.254]

Ясно, что колебания системы будут затухаюнхими, если корни характеристического уравнения (11.208) имеют отрицательные действительные части. Эти условия достаточны, чтобы движение системы было устойчивым. Характеристическое уравнение в развернутом виде можно представить в следующей форме [c.262]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...