Характеристическая форма системы

Совокупность соотношений (4) образует характеристическую форму системы уравнений (1) и равносильна этой системе. [c.135]

В этих обозначениях и в силу (5) характеристическая форма системы (1) принимает вид [c.148]

И окончательно получается следующая характеристическая форма системы уравнений (7) [c.261]

Соотношения (4.19) называются характеристической формой системы уравнений (4.12). Их особенность состоит в том, что в каждом уравнении (4.19) дифференцирование проводится только вдоль одной характеристики. [c.51]

Фундаментальные характеристические свойства системы дифференциальных уравнений теории оболочек (например, ее тип или порядок) инвариантны относительно невырожденных преобразований координат на отсчетной поверхности Q. Однако аналитическое представление дифференциальных операторов этой теории существенно зависит от используемой координатной системы, и надлежащим выбором последней им можно придать наиболее удобную, каноническую" форму. Такую форму дифференциальные уравнения теории оболочек получают в ортогональной системе координат, связанной с линиями кривизн поверхности Q. В этой системе координат, обычно и используемой в механике тонкостенных систем, ниже формулируются уравнения неклассической теории оболочек. Итак, пусть х , — ортогональная система координат, координатные линии которой — линии кривизны поверхности Q. Пусть — [c.68]

В зависимости от начальных разностей скоростей и температур фаз, возмущений Пд,. .. и величины интервал О < < 1 или его подынтервалы принадлежат к равновесному Е) или к неравновесному К) типу. К равновесному (неравновесному) типу отнесем отрезки времени, на которых отличия параметров невозмущенного потока от равновесных значений (1.3) малы (велики). Интервалы типа N подразделяются на дозвуковые 8В) и сверхзвуковые ЗР) в соответствии с характеристическими свойствами системы (1.1). В ней независимо от значений параметров смеси характеристическую форму имеют два векторных (каждое с двумя проекциями для и у -) и два скалярных уравнения, т.е. шесть из десяти скалярных уравнений в частных производных. Три из них - пятое (векторное) и шестое записываются вдоль траекторий газа, а оставшиеся три - седьмое (векторное) и восьмое - вдоль траекторий частиц. Тип подсистемы первых четырех уравнений (1.1), связанных с перечисленными только через коэффициенты и свободные члены, определяется числом действительных корней характеристического уравнения ([1, 5] и Гл. 11.1) [c.487]

Уравнения Лагранжа механической системы имеют вид Aq + Bq + q = О, где А, В и С — постоянные матрицы, причем А и С — симметрические матрицы, отвечающие положительно определенным квадратичным формам, а В — диагональная матрица с элементами Ри = Р > О, = О (г 7 1). Показать, что те значения со, нри которых годограф Михайлова /(i o) характеристического полинома системы f X) пересекает мнимую ось, являются собственными частотами консервативной системы, в которую рассматриваемая система переходит в пределе при р 0. [c.181]

Применим эти результаты к системе (8.1), (8.2), (8.6). Заметим вначале, что уравнение (8.6) (а также уравнение (8.3)) уже имеет характеристическую форму [c.59]

Это—система в характеристической форме (определитель из коэффициентов при производных по характеристическим направлениям [c.158]

Соотношения (1.7) и (1.9) содержат дифференциалы искомых функций только в одном направлении—вдоль линии тока—и имеют, следовательно, характеристическую форму, так что линии тока являются сдвоенными характеристиками исходной системы уравнений. Выражения в левых частях интегралов (1.8) (или (1.11)) и (1.10) представляют собой аналогично функции тока т] инварианты, сохраняющие свои значения вдоль линий тока. [c.246]

Умножив второе уравнение системы на скорость звука с и сложив его с первым уравнением, представим систему (18) в характеристической форме [c.98]

Заметим, что эта система уравнений инвариантна относительно циклической перестановки а, р, у. Чтобы привести эти уравнения к характеристической форме, умножим (5.101) на X, (5.102) на л и прибавим их к (5.103). Если выбрать и л такими, что коэффициенты при а я а, равны нулю, то [c.129]

Когда гиперболическая система представлена в виде (1.7), говорят, что она приведена к характеристической форме. Левая часть каждого уравнения содержит производные на плоскости х,1 вдоль одного направления х/сИ = которое называется характеристическим. Линия, касающаяся в каждой точке одного характеристического направления, называется характеристикой, а - скоростью характеристики или характеристической скоростью. [c.19]

Введение инвариантов Римана и соответствующее преобразование линейной системы к виду (1.10) во многих случаях весьма полезно. К сожалению, когда коэффициенты Uik зависят от Uj, такого преобразования в общем случае сделать нельзя. Однако, его можно всегда сделать для систем, состоящих из двух уравнений (Рождественский и Яненко [1983]). Для этого запишем уравнения (1.6) в характеристической форме (1.7) [c.25]

Полученная система из восьми (скалярных) дифференциальных уравнений (33), (34) и (35) для восьми искомых функций ЬР, /г , и, V, го, р, 5 вместе с уравнением состояния р = /(р, 5), образует характеристическую форму уравнений газовой динамики. [c.63]

Уравнения в вариациях (468)—9. Случай, когда уравнения возмущенного движения имеют каноническую форму (469) — 10. Некоторые вспомогательные предложения (472)—И. Определение устойчивости по корням характеристического уравнения системы в вариациях (475) — 12. Исследование сомнительного случая (479). [c.16]

Каждое уравнение в характеристической форме дает только одну связь между п производными функций и] вдоль соответствующей характеристики. Как мы увидим ниже, для возможности локального построения решения в некоторой малой области требуется существование п независимых уравнений в характеристической форме. Это условие является основой определения гиперболической системы. [c.117]

Два вектора 1 линейно независимы, так что система является гиперболической. Если у <С О, то не существует вещественных характеристических форм действительно, в зтом случае уравнение является прототипом эллиптических уравнений. [c.120]

Коэффициенты этой системы не имеют особенностей. В действительности она уже записана в характеристической форме, и существуют в точности две характеристики. [c.122]

Единственной возможной характеристической формой является первое уравнение в исходном виде. Следовательно, система не является гиперболической. Однако в данном исключительном случае первое уравнение можно решить независимо от второго, проинтегрировав его вдоль характеристик йх д,1 = С. Затем, зная и во всей области, можно вычислить и и, проинтегрировав второе уравнение вдоль тех же самых характеристик, найти и. В зтом отношении данная система подобна гиперболической системе с двойной характеристикой, однако формально ее следует классифицировать как параболическую. [c.123]

Согласно стандартной процедуре, описанной в гл. 5, характеристическая форма этой системы сводится к уравнениям [c.470]

В этом уравнении входит в элементы главной диагонали. Преобра.зо-вание А. Н. Крылова позволяет представить характеристическое уравнение в такой форме, что частоты будут принадлежать элементам первого столбца определителя, находящегося в левой части характеристического уравнения. Это преобразование можно рассматривать как некоторый метод исключения N — 1 неизвестной функции из системы уравнений (II. 185) и получения дифференциального уравнения порядка 2N для определения некоторой функции из общего количества N функций qj. [c.241]

Линейные преобразования, выполняемые для приведения к каноническому виду кинетической и потенциальной энергий, не отражаются на главных частотах. Это утверждение, с одной стороны, основывается на общей теории квадратичных форм, а с другой — вытекает из теории линейных дифференциальных уравнений. Действительно, непосредственно видно, что, построив общее решение системы дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода в координатах 0у, можно найти общее решение уравнений движения в исходных координатах ри применяя формулы линейного преобразования координат. При этом решения характеристического уравнения — главные частоты — не изменяются ). [c.252]

Резюме. Движение произвольной механической системы вблизи положения устойчивого равновесия удобно изучать с помощью пространства конфигураций. В этом случае пространство евклидово, а переменные qi служат в нем прямолинейными координатами. Главные оси квадратичной формы потенциальной энергии определяют п взаимно ортогональных направлений в пространстве конфигураций, которые могут быть выбраны в качестве осей естественной системы координат. С-точка совершает гармонические колебания вдоль этих направлений с частотами, меняющимися от одной оси к другой. Амплитуды и фазы этих колебаний, называемых нормальными , произвольны и зависят от начальных условий. Произвольное движение системы является суперпозицией нормальных колебаний. В результате такого движения С-точка описывает фигуры Лиссажу в пространстве конфигураций. Для устойчивости равновесия требуется, чтобы корни характеристического уравнения были положительны, так как в противном случае нарушается колебательный характер движения. [c.189]

Характеристическое свойство (11) консервативного силового поля совершенно не зависит от системы отсчета оно остается в силе, как бы мы ни выбрали триэдр, к которому относим силовое поле. Наконец, если напишем уравнение (п) в раскрытой форме [c.322]

Отметим попутно, что из самой формы характеристического уравнения (28), которое действительно для всех дифференциальных систем вида (27) и, в частности, для уравнений малых колебаний, следует, что если 2 есть его корень, то корнем будет также и — 2. Отсюда имеем характеристические показатели статического решения дифференциальной системы типа (26) и, в частности, динамической задачи попарно равны по модулю и противоположны по знаку. [c.389]

Таким образом, для устойчивости системы (3) необходимо, чтобы корни ее характеристического уравнения (5) были чисто мнимыми. Это условие будет и достаточным, если дополнительно потребовать, чтобы матрица JH приводилась к диагональной форме. [c.544]

Наиболее часто возникает необходимость в расчетах равновесного состава сложной системы по известным свойствам ее частей при заданных внешних условиях. В более строгой формулировке речь идет об определении значений дополнительных внутренних переменных равновесной системы при известной характеристической функции и заданных значениях - ее естественных аргументов. Нетрудно заметить, что до конца такая задача не была решена ни для одного из рассмотренных выше равновесий, так как для этого необходимо было знать явный аналитический вид характеристической функции. Есть два способа нахождения характеристической функции сложной системы прямой эксперимент или теоретический расчет на основании модели внутреннего строения системы и известных свойств ее частей. Первый способ, хотя и доступен, не всегда целесообразен, поскольку экспериментально можно изучать и непос" редственно интересующее свойство системы, а не ее характеристическую функцию, т. е. если опираться только на эксперимент, то можно обойтись без помощи законов термодинамики. Для теоретического расчета характеристической функции системы ее необходимо представить в виде совокупности отдельных частей с известными характеристическими функциями. В эту модель должны быть включены все возможные формы существования веществ в сложной системе. Какие из этих форм способны присутствовать реально, а какие нет — выясняется в результате расчета равновесия. [c.168]

Перейдем теперь к интегрированию исходной системы уравнений, имея в виду расходящуюся сферическую волну. Уравнения в характеристической форме содержат соотношения по трем неэквивалйэЕтным направлениям. Характеристики и Со пересекают возмущенную область так,, что вариации давления, плотности и скорости газа вдоль этих направлений [c.281]

Инварианты Римана. Наиболее ценную информацию о поведении решений системы (1) дает ее характеристическая форма, которая может быть получена из (15.2) и (15.4) при / = 0. В силу условия S — onst здесь исчезают контактные характеристики и остаются только звуковые. Это не значит, конечно, что исчезают траектории частиц — они есть в любом движении газа пропадает лишь свойство траекторий быть возможными линиями слабого разрыва. Кроме того, условия (15.4) на звуковых характеристиках здесь интегрируются. Действительно, при любом дифференцировании d для величины dp/рс можно написать представление [c.147]

Для к.-н. с. определяется характеристическая квадратичная форма В = (введенная в [190]), не зависящая от выбора линейных координат. Квадратично-не-линейная регулярная 0-система, имеющая матрицу симметризатора, обратную матрице характеристической формы [c.221]

Характеристическое уравнение системы (1.4) имеет две пары чисто мнимых корней zf i Ti и ii Tg. Соответствующая матрица IH приводима к диагональной форме, а функция Гамильтона [c.31]

Функция /у, определяющая аналитическую структуру правых частей уравнений (27), называется характеристической функцией системы ка-ноничес их уравнений. Очевидно, что Н, вообще говоря, з. висит от t и от всех канонических переменных i/j,. . ., уравнения движения канонической форме, мы ничуть не уменьшили трудности задачи, и уравнения (27) так же трудно интегрировать, как и первоначальную систему (2). Одиако симметричная форма уравнений (27) делает их более удобными в теоретических исследованиях и позволяет иногда П01учить некоторые свойства движения более просто, чем при помощи уравнений (2). [c.389]

Следовательно, если V не может получать значений одинакового знака с и, то она есть знакоопределенная форма противоположного знака с и. Но тогда по теореме 1 в следует, что все величины х удовлетворяющие уравнениям (53), должны иметь некоторые верхние пределы, что невозможно, так как характеристическое уравнение системы (53) имеет по условию корни с положительными действительными частями, [c.475]

Заметим, что в общем виде эта задача до сих пор еще не решена. Сам А. М. Ляпунов разобрал и исследовал только наиболее простые случаи, когда характеристическое уравнение имеет или только один нулевой корень или два чисто мнимых корня. Для приложений к небесной механике, однако, эти сомнительные случаи представляют наибольший интерес. Действительно, уравнения небесной механики обычно имеют каноническую форму, и, следовательно, характеристическое уравнение системы в вариациях (см. 9) имеет одинаковое число корней с положительными и отрицательными действительными частями. Следовательно, если действительные часги всех корней отличны от нуля, то невозмущенное движение всегда будет неустойчивым. Для того чтобы движение было устойчивым, необходимо, но разумеется недос паточно, чтобы действительные части всех корней были равны нулю, т. е. чтобы характеристическое уравнение имело только чисто мнимые корни. [c.479]

Но этот случай, как мы показали, как раз является сомнительным, и для выяснения вопроса об устойчивости нужны с южные и тонкие исследования членов высших порядков. Например, рассмотрим частные решения ограниченной задачи о трех телах. Выло показано (см. главу VIII), что для решений первой группы характеристическое уравнение системы в вариациях при любом значении ji имеет два действительных корня и два чисто мнимых. Так как уравнения возмущенного движения имеют каноническую форму, то действительные корни имеют разные знаки, а, следовательно, частные решения первой группы неустойчивы, и может иметь место только условная устойчивость. [c.479]

Характеристическая форма уравнени газодинамики. Используя приведенные справочные данные, обратимся к системе уравнений газодинамики для одномерного нестационарного случая в лаграижевых массовых координатах (3.25). [c.52]

Уравнения (5.1) могут быть еще упрощены приведением их к характеристической форме. Попытаемся найти такое направление q на плоскости х, t вдоль которого система (5.1) может быть сведена к решению от одной переменной. Допустим, что такое направление существует и течение баротронно. Если нри выводе придем к противоречию, то "направление д" не существует. Итак, из баротронности следует [c.66]

Примечание. Отсутстпие секулярных членов вида (а) в общем решении дифференциальных уравнении малых колебаний в случае кратных корней характеристического уравнения объясняется тем, что эти уравнения порождаются двумя положительно определенными квадратичными формами — кинетической и потенциальной энергиями. В других случаях эти члены действительно появляются в общем решении системы дифференциальных уравнений. Рассмотрим как пример систему с двумя степенями свободы, уравнениями движения которой являются [c.254]

Ясно, что колебания системы будут затухаюнхими, если корни характеристического уравнения (11.208) имеют отрицательные действительные части. Эти условия достаточны, чтобы движение системы было устойчивым. Характеристическое уравнение в развернутом виде можно представить в следующей форме [c.262]

Очень часто исходные уравнения возмущенного движения не приведены к нормальной форме и содержат производные порядка выше первого. Для того, чтобы опре делить элементарные делители и решить вопрос об устой чивости, нет нужды приводить систему к нормальной фор-м6 — достаточно составить характеристическую Я-матри-цу д 1я исходной системы и исследовать ее. Покажем это на примере уравнения [c.147]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...