Схемы для стационарных уравнени уравнений

Обременительные ограничения на шаги /г и /12 удается снять, если конвективные члены аппроксимировать односторонними разностями, ориентированными против течения. Применим, например, монотонный оператор консервативной схемы (3.30), построенной для стационарного конвективного уравнения. При этом неявное разностное уравнение для функции тока (4.28) оставим в силе, а для температуры и завихренности составим чисто явные аппроксимации вида [c.93]

Схемы для стационарных уравнений 161—168 [c.6]

Такой подход на самом деле с успехом использовался многими авторами. Однако в общем случае пока рекомендуется нестационарный подход. В качестве первого решающего аргумента в его пользу продемонстрируем эквивалентность простейшей схемы для стационарного уравнения и одной разностной схемы для нестационарного уравнения. [c.161]

Метод конечных разностей применим для решения уравнений гиперболического, эллиптического и параболического типов. При этом расчетная область разбивается на счетные ячейки. Производные от функций заменяются конечными разностями с помощью тех или иных соотношений. Этим методом решаются стационарные и нестационарные задачи для дозвуковых, сверхзвуковых и смешанных течений. Предложено большое количество разностных схем для решения конкретных задач, применимых к уравнениям разного типа. [c.267]

Из анализа устойчивости разностной схемы для линеаризованной системы гиперболических уравнений для двумерного стационарного сверхзвукового течения следует, что на шаг по координате х должно быть наложено ограничение [c.285]

Разработка разностных схем для дифференциальных уравнений,, описывающих стационарные процессы, также приводит к необходимости решения системы разностных уравнений. Однако иногда оказывается целесообразным использование специального приема, позволяющего избежать трудностей, связанных с их решением. С этой целью исходное стационарное дифференциальное уравнение заменяют на нестационарное с тем же пространственным оператором, а решение исходной задачи ищут как предел, к которому стремится решение нестационарной задачи при т->оо. Граничные условия для нестационарной задачи сохраняют такими же, как для стационарной, а начальные условия выбирают произвольно. Для нестационарного уравнения составляют явную разностную схему, решение которой принципиальных трудностей не вызывает. Рассмотренный способ называют методом установления. [c.66]

В пятой главе рассматриваются методы реализации простейшей модели конвективного теплообмена, заключающейся в решении уравнения энергии при заданном поле скоростей. Обсуждаются особенности конечно-разностной аппроксимации конвективных членов в уравнении энергии. Подробно разбираются численные схемы для двух часто встречающихся на практике задач расчет двумерного стационарного температурного поля жидкости при течении в канале и совместный расчет одномерного температурного поля стенки и жидкости. [c.5]

Рассмотрим пример такой неудачной разностной схемы для одномерного стационарного уравнения с переменной теплопроводностью X (х) [c.84]

Мы рассмотрели построение разностной схемы методом баланса для стационарного уравнения. Его целесообразно применять и для нестационарного уравнения. В принципе вопрос о том, на каком временном слое брать аппроксимацию пространственного оператора, мы уже обсудили в 3.2. Поэтому для перехода к нестационарной задаче достаточно в приведенных выше аппроксимациях пространственного оператора поставить у сеточных функций индекс настоящего / или предыдущего (/ — 1) момента времени. Однако для уравнений, содержащих коэффициенты, зависящие от времени, целесообразно использовать метод баланса в нестационарном варианте. Кроме того, на основе такого подхода проще получать аппроксимации для граничных условий и пояснять их физический смысл. [c.91]

Мы рассмотрели конечно-разностные схемы для решения стационарного уравнения энергии. В случае нестационарной задачи построение соответствующ,их схем производится на основе приведенных аппроксимаций конвективного и кондуктивного потоков точно так же, как это делалось для нестационарного уравнения теплопроводности, т. е. можно использовать явную или неявную схемы. В явной схеме потоки берут с предыдуш,его шага, в неявной — с текущего. Можно ввести и схему с весами. Отмеченные выше отрицательные и положительные свойства аппроксимаций (5.6)—(5.8) проявляются и при решении нестационарных задач. В частности, даже неявная схема с разностью вперед является неустойчивой при любом соотношении шагов по пространственной и временной переменным. С другой стороны, неявная схема с аппроксимацией разностью против потока безусловно устойчива. [c.162]

Значение 6 в соотношении (6), согласно схеме 11), для стационарных условий с учетом зав Шостей (5) находится из дифференциального уравнения [c.130]

При развитии метода эффективных полюсов и нулей для стационарных линейных систем широко использовались замещающие системы уравнений и замещающие структурные схемы. [c.160]

Из предыдущих материалов следует, что для стационарных систем порядки уравнений отдельных составляющих определяются по параметрам р/, которые зависят от значений коэффициентов характеристических уравнений. Такой же подход может использоваться в определенных случаях, о которых говорится ниже, и для нестационарных систем, поскольку при исследовании этих систем используется условие замораживания коэффициентов уравнений на каждом шаге интегрирования. Однако вследствие изменения значений коэффициентов характеристического уравнения будут изменяться значения параметров р/ и в общем случае порядки отдельных составляющих при переходе от шага к шагу интегрирования. При изменении же порядков отдельных составляющих изменяются обозначения координат для исходных и конечных замещающих систем уравнений и структурных схем и даже появляются в них принципиальные отличия. В связи с этим обстоятельством должны рассматриваться два случая распространения задачи приближенного разложения процессов на исследование нестационарных систем. Более простым является первый случай, при котором порядки отдельных составляющих не изменяются при изменении шагов интегрирования. [c.161]

Для стационарной задачи изложенный метод приводит к системе, состоящей из М алгебраических уравнений, для нестационарной задачи — к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных значений искомой функции в узлах сетки Фр(т). Интегрирование по времени этих уравнений проводится маршевым методом с использованием явных или неявных схем (см. п. 5.1.12). При этом на каждом новом временном слое задача также сводится к решению системы, состоящей из Л/алгебраических уравнений. [c.152]

При преобразовании Фридрихса (12) дополнительные условия (геометрические уравнения) и условия стационарности (статические уравнения) функционала Лагранжа переходят соответственно в условия стационарности и дополнительные условия функционала Кастильяно. См. также 3.2г, в котором схема (12) дополнена обратным преобразованием Фридрихса, и 3.2в, где дана аналогичная схема для функционалов Лагранжа в деформациях и Кастильяно в функциях напряжений. [c.59]

В рамках схемы идеальной жидкости функция шСг] ) может быть совершенно произвольной. Поэтому для ее определения необходимы дополнительные предположения. Мы допустим, что вихревое движение в зоне отрыва можно рассматривать как предельное течение вязкой жидкости, когда вязкость устремлена к нулю. Для стационарного течения вязкой несжимаемой жидкости действует уравнение Гельмгольца [c.155]

Гц) функцию fe (е) можно считать стационарной. Такое упрощение позволяет определить (е) и компоненты элементарных процессов как самостоятельную задачу в общей схеме, не связанную, например, в импульсном режиме возбуждения активной среды с кинетическими уравнениями среды. Исходное уравнение Больцмана для стационарной части (е) имеет следующий вид [128 ]i [c.61]

Численное решение [13] системы уравнений (13.22) и (13.23), очевидно, может быть получено при помощи пошаговой (относительно времени) схемы, для которой дискретизация выполняется так же, как это описано в предыдущих главах. При этом значения скорости и завихренности, известные в момент времени t— А/, принимаемый за начальный временной слой для уравнения (13.23), используются для вычисления нового набора значений завихренности в момент времени t. Эти значения w(r, t) в вихревых объемных ячейках затем используются для вычисления при помощи уравнения (13.22) скорости u(r о, t) в произвольных точках области. Далее численное решение задачи продолжается таким же образом, т. е. повторением подобных циклов, моделирующих физические процессы диффузии, конвекции и образования вихрей. Этот алгоритм, разработанный By, позволяет рассчитывать нестационарные решения наряду со стационарными или периодическими (вихревые дорожки) решениями на более поздних стадиях. [c.372]

Полезные схемы построения моделей могут основываться на требовании, чтобы для малых длин свободного пробега эти модели верно воспроизводили поведение не только некоторых коэффициентов, но и самой функции распределения. Согласно результатам разд. 7, решения уравнения Больцмана для стационарных одномерных задач принимают вид /г = /za на расстоянии от границ в несколько длин пробега, На дается выражением (7.51). Поэтому для получения из столкновительной модели верного асимптотического поведения необходимо, чтобы выполнялось равенство L = L если Ln — оператор, заменяющий L. С учетом того, что Liv и — операторы, об- [c.236]

Решение системы (5.27) для Щ, Шо используется в качестве начального профиля пограничного слоя. Разностная схема для решения уравнений (5.21)-(5.24) строится следующим образом. Добавим в уравнения (5.21), (5.22) члены ди/01 ж д /01 соответственно. Введем равномерную сетку 1 и обозначим значения скорости в узлах этой сетки через Максимальные значения к обозначим соответственно Ж, М. Пусть имеется некоторое распределение скорости на временном слое Из уравнения (5.23) определяем распределение Далее решаем не стационарные уравнения пограничного слоя. Конечно-разностная схема имеет следующий вид [c.197]

Если не учитывать двухскоростное течение жидкости, т. е. ее разделение между высокоскоростным ядром и медленной пленкой, то изменение паросодержания на всей длине трубы с двухфазным потоком (2б 2 Ь) определяется уравнением (7.6.25). Тогда можно рассмотреть упрощенную односкоростную схему для определения момента кризиса теплоотдачи с помощью зависимости Ххф ( й ) для стационарного течения (рис. 7.6.1), полагая, что кризис реализуется, как только (в соответствии с зависимостями [c.242]

При необходимости подробного расчета используются более сложные расчетные схемы и ЭВМ для решения систем уравнений, описывающих эти схемы. В этом случае учитываются крутильные колебания цепи подач. Стационарная динамическая ошибка может вызываться и автоколебаниями, причиной которых являются высокие силы трения в направляющих и элементах привода и [c.169]

Для численного решения уравнений (8.30), (8.31) по методу установления нри стационарных граничных условиях (8.33) можно применить неявную схему переменных направлений. [c.66]

Свойства разностных схем для уравнений ЕК во многом определяются способом аппроксимации пространственных дифференциальных операторов, содержащихся в этих уравнениях. Особенности различных способов пространственной аппроксимации изучим на стационарных аналогах двумерных конвективных уравнений (1.11)—(1.15), (1.24)—(1 27). Если не обращать внимания на зависимость коэффициентов и правых частей от решения, каждый из этих стационарных аналогов будет выглядеть как частный случай уравнения [c.46]

Разностную схему для двумерной стационарной задачи ЕК будем считать консервативной, если каждое из разностных уравнений переноса тепла, завихренности и [c.59]

Неявные схемы. Применение неявных разностных схем для уравнений переноса тепла и завихренности позволяет повысить устойчивость алгоритма, что проявляется в увеличении допустимых значений шага т. Несмотря на то что при переходе к неявным аппроксимациям время счета на каждом слое возрастает, общий расход машинного времени на решение задачи может значительно сократиться из-за уменьшения числа расчетных слоев. Неявные схемы имеют более сложную конструкцию, чем явные, а значит, требуют дополнительных усилий и времени на составление и отладку программы для счета на ЭВМ. Они перспективны в первую очередь при решении стационарных задач по методу установления, а также при расчете крупномасштабных нестационарных процессов, когда выбор большого шага по времени не противоречит физическим представлениям. [c.94]

Пространственные дифференциальные операторы аппроксимировались на равномерной сетке со 2-м порядком посредством консервативной монотонной схемы (3.30). Для вычисления завихренности на стенках цилиндров строились приближенные формулы типа Вудса. В случае нестационарной постановки задач разностное решение находилось методом установления с неявной схемой типа описанной в п. 4.2.2 для температуры и завихренности и с расчетом функции тока на временных слоях по методу последовательной верхней релаксации. При стационарной постановке решение разностных задач осуществлялось с помощью релаксационного метода, изложенного в п. 4.3.2 и 5.2. Сразу отметим, что в рассмотренном диапазоне магнитных чисел Рэлея релаксационный алгоритм решения стационарных конвективных уравнений приводил к тем же результатам, что и нестационарный метод установления, адекватно реагируя на кризис равновесного состояния при Ram Ra. [c.147]

Отметим интересный исторический факт, заключающийся в том, что большинство исследователей, применявших итерационные схемы для решения стационарных задач, не занималось анализом устойчивости и скорости сходимости своих схем, а определяло характеристики эмпирически, хотя уже в то время из ранней работы фон Неймана был известен метод исследования устойчивости для уравнений, описывающих нестационарное течение. Возможное объяснение этого факта заключается в том, что методы расчета стационарных течений развивались из раздела численного анализа, относящегося к решению уравнения Пуассона, для которого простейшие итерационные методы не имеют ограничений, связанных с устойчивостью. [c.163]

Упражнение. Показать, что в схеме Лакса для стационарного уравнения получается величина а = Ax l(2At). [c.365]

Для построения консервативной схемы можно использовать интегроинтерполяционный метод [25] (или метод элементарных балансов), существо которого состоит в том, что разностная схема строится на основе интегральных законов сохранения. В результате получается разностный аналог закона сохранения для ячейки сетки. В качестве примера рассмотрим построение консервативной схемы для стационарного уравнения теплопроводности (или диффузии) [c.251]

При расчете разрывных решений обычно используются консервативные уравнения, т. е. уравнения в виде законов сохранения, и консервативные (дивергентные) разностные схемы. Прежде всего нун но отметить работу [248], в которой для одномерных дивергентных уравнений газовой динамики разработана разностная схема второго порядка точности. Весьма удобный для расчетов вариант этой схемы разработал Рихтмайер [161]. Он предложил двухшаговый вариант (консервативную схему предиктор-корректор), который в 1962 году обобщил на двумерные нестационарные уравнения. Разностные схемы этого типа носят название схем Лакса — Вепд-роффа. Аналогичная двухшаговая схема для двумерных нестационарных уравнений в неконсервативной форме была предложена в [61, 164, 168]. Стационарный вариант консервативной двухшаговой схемы в случае двух и трех переменных разработан в [125, 126, 165, 167]. Различные варианты двухшаговой схемы рассматривались в [14, 85, 258]. [c.88]

Схема слабо неустойчивая 135 со свойствами транспортивности а конвективности 110—113 Схемы для стационарных уравнений 161-168 [c.609]

При решении сопряженных задач механики реагирующих газов приходится преодолевать многочисленные математические трудности. В частности, уравнения описывающие состояние газовой и конденсированной фаз, имеют различную структуру, а иногда применяется и другой тип уравнений. Например, уравнения пограничного слоя имеют параболический тип, а уравнения теплопроводности г твердом теле для стационарного случая — эллиптический тип. Поэтому при решении задач конвективного теплоебмена часто используют понятие коэффициента теплообмена а и граничные условия третьего рода. При этом используют следующую схему решения задач конвективного теплообмена [c.214]

Поставленная задача имеет те же особенности, что и задача для стационарного двухзвенного манипулятора. Она также является нерегулярной, поскольку гамильтониан линейно зависит от управляющих воздействий Р, 1/1, 172 и, следовательно, уравнения Эйлера-Лагранжа не являются источником для их определения. Будет показано, что оптимальные программные управления должны иметь двухимиульсную структуру. Это приводит к скачкообразному поведению скоростей X, ф, д в начальный и завершающий моменты времени. Такое поведение скоростей звеньев ТМ порождает проблему перемножения в выражении для мощности (3.2) разрывных скоростей на импульсные управляющие силу и моменты. Поэтому возникает потребность редуцировать задачу 3.1 к вспомогательной, имеющей структуру классической задачи динамической оптимизации. Схема, описанная в начале главы, позволяет осуществить указанный переход. [c.169]

Прежде чем излагать схему численного решения, запишем уравнения плоской вихревой стационарной задачи в полярных координатах (г, 6) такая система естественна для рассматриваемой задачи обтехания круга. [c.191]

Соответствующая этой простейшей модели двухуровневая фабочая схема показана на рис. 1.46. Здесь 1 и 2 — соответственно нижний и верхний рабочие уровни, р — вероятность заселения верхнего уровня, и — вероятности очищения уровней 1 и 2. Обозначив через Пх и п заселенности рабочих уровней, а через концентрацию ионов, запишем уравнения баланса для стационарного случая [c.78]

Для стационарных уравнений (4.45), аппроксимированных со 2-м порядком монотонной консервативной схемой (3,30), рассмотрим простейший релаксационный алгоритм зейделевского типа [c.106]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...