Матрица базисных функций элемента

Здесь К — матрица базисных функций элемента, а 6 — вектор узловых перемещений элемента, определяемый выражением (б1, вг, вз) = ( 1, 1, Й2, VI, йг, йз) . С целью упрощения записи 9 оставшейся части этого раздела индекс е будет опускаться, еслн контекст исключает возможность недоразумений. [c.257]

Элементы Ni, N2 я N3 матрицы базисных функций могут быть получены соответственно из Mi, М2 и Мз, заданных соотношениями (4.21), с учетом того обстоятельства, что начало системы координат в данном случае находится в вершине г (см. рис. 4.4 и 5.2, а также гл. 8). [c.147]

Величина называется матрицей базисных функций, а --узловым вектором. Если в каждом элементе больше двух узлов, но задаются лишь узловые значения функции в каждом узле, то форма аппроксимации (1.47) сохраняется. Однако размерность [c.27]

Элементы в уравнениях (9.80), которые входят в матрицу базисных функций являются функциями от I, п, 3 столб- [c.215]

Пробную функцию й на элементе можно записать в терминах матрицы базисной функции как [c.278]

Успех метода Галеркина и его вариантов связан с удачным выбором полной систе мы функций ifk и применением достаточно точного (при больших N) способа решения уравнений (11). Широкое применение метода Бубнова — Галеркина еще в начале нашего века без использования каких-либо счетных машин при небольших N 2 3 для решения задач в относительно простых областях, в частности на основе уравнения Пуассона, было обусловлено как раз хорошим выбором базисных функций (fi и явным аналитическим способом решения (11). Дальнейшее развитие этих методов сдерживалось как трудностя ми построения полных систем базисных функций для сложных областей, так и большими трудностями решения систем (11) уже при N Б из-за очень плохой обусловленности матриц этих систем, которые усугубляются при приближенном расчете интегралов в (11), являющихся элементами этих матриц. Если первую трудность можно снять, используя, например, аппарат 1 функций [17], с помощью которого достаточно легко можно строить полные системы базисных функций (хотя и достаточно сложных) для многомерных обла стей с кусочно-гладкими аналитическими границами, то преодолеть вторую трудность значительно сложнее. Ряд рекомендаций по этому поводу дан в [18]. [c.21]

Однако из-за сложной формы ядер их произведения на базисные функции каждый раз необходимо интегрировать численно, используя квадратурные формулы. Во всех случаях это может быть выполнено с помощью обычной квадратурной формулы исключение составляют интегралы, дающие вклад в элементы главной диагонали матриц окончательной системы уравнений. Интегралы, содержащие функции G, имеют логарифмическую особенность и могут быть вычислены точно по специальной гауссовской квадратурной формуле, описанной в приложении В интегралы же, содержащие функцию F, должны вычисляться аналитически. Мы можем сделать это рассмотренным в разд. 5.4.4 методом (т. е. выделяя сингулярную часть интеграла вместе с дополнительным разрывным слагаемым). Функция F в этом частном случае может быть приведена к более простому виду. [c.154]

Компоненты вектора Ms естественно снова называть базисными функциями, которые в данном случае связывают глобальные координаты Xi произвольной точки внутри элемента с матрицей X координат его геометрических узлов. [c.205]

Таким образом, фактически рассмотрев лишь преобразование плоской треугольной ячейки (1, 2, 3) (рис. 8.3) при переходе из системы координат х в систему т), мы достигли существенного прогресса в описании дифференциальных элементов площади. Ясно, что в соответствии с (8.4) соотношение (8.28) также может быть записано в виде Х = Х,рМв,где геометрические базисные функции просто совпадают с. Аналогично мы можем определить линейно меняющееся поле смещений в треугольнике путем введения, скажем, U ta —матрицы узловых смещений, так что М = == (см. соотношение (8.3)), или некоторой скалярной пе- [c.215]

Согласно всему изложенному выше, для линейных элементов (с треугольными гранями), заданных координатами своих узлов, элементы матрицы Якоби преобразования являются константами и соответствуюш,ие базисные функции тесно связаны с однородными координатами элементов. [c.216]

В общем случае /-мерная матрица гамильтониана приводит к вековому уравнению с / собственными значениями. Подстановка собственных значений Ej одновременно в (5.1426) дает / совместных уравнений для (С- )л/ (т = 1 до I), откуда получаем элементы /-го столбца матрицы С . Так как (С- ) / = = jn, то эти коэффициенты образуют /-ю строку матрицы С и являются коэффициентами базисных функций W°n в собственных функциях 4V [c.90]

С такими представлениями мы уже встречались в 18. Представление трансляционной группы там создавалось с помощью базиса из I вырожденных ортогональных собственных функций Мы видели, что с помощью преобразования базисных функций получаются новые эквивалентные представления. Среди них было отмечено одно представление, у которого все матрицы содержали только диагональные элементы. [c.116]

Представляется интересным определить матрицу М и вектор Р, исходя из базисных функций (называемых также функциями формы), определенных на каждом элементе Для этого снова возьмем величину Ф предварительно определенную в (2 12) [c.35]

Поэтому в последнем уравнении д1 дд — 0 после сокращения на 2 к компоненте вектора нагрузок добавится 6р(я), а в элемент Кыы матрицы жесткости войдет ар(я). Такие малые изменения объясняются локальностью базиса только одна базисная функция (последняя) не равна нулю в точке л = я и именно она связана с краевым условием. [c.69]

Если базисные функции ф,- ортонормальны, то матрица массы будет единичной и дискретная задача состоит в отыскании собственных значений матрицы К . Однако условие ортогональности для ф - несовместимо с более важным свойством конечных элементов, а именно с тем, что функция ф, должна равняться нулю на всех элементах, не содержащих узел гj. Поэтому мы должны либо принять = /, либо нарушить идею Рэлея, допустив приближенный расчет масс. Мы предпочитаем первое, поскольку сейчас появляются численные алгоритмы решения общей задачи на собственные значения / Q = ХМО, сравнимые по эффективности с алгоритмами для задачи КО = [c.258]

Предположим, что гамильтониан Й° Й пренебрегаем) имеет нормированные собственные функции и соответствующие собственным значениям Е т и Еп соответственно, и что / ° коммутирует с операциями группы симметрии G = = Ri, R2, Rs, Rn . Й° преобразуется по полносимметричному представлению группы G, и пусть Wh, и Й образуют базис представлений Гт, Г и Г группы G соответственно. Полный набор собственных функций Й° образует базисный набор для определяемых собственных функций и собственных значений гамильтониана Й = Й°- -Й ), и можно определить матрицу гамильтониана Н в этом базисном наборе как матрицу с элементами Нтп, заданными интегралами [c.87]

При / = О блок матрицы гамильтониана имеет размерность 1 X 1 и содержит волновые функции J = k = О базисного набора. Этот матричный элемент равен нулю, и поэтому E[ J = = 0) = О и Фг(/ = 0) = (8л2)- Л. [c.205]

Сразу видно, что уравнения (5.3.41) и (5.3.49) имеют совершенно одинаковую структуру. Эта аналогия между уравнениями для средних значений базисных переменных и уравнениями для корреляционных функций бывает весьма полезной в конкретных задачах. В самом деле, решая приближенно цепочку уравнений для корреляционных функций, можно явно вычислить элементы матриц П и И( ). Тем самым мы получим явные выражения для коэффициентов в уравнениях (5.3.18) или (5.3.21), которые описывают макроскопическую эволюцию системы. С другой стороны, иногда макроскопические уравнения переноса (например, уравнения гидродинамики) могут быть выведены методами феноменологической неравновесной термодинамики. Тогда отмеченная выше аналогия позволяет получить асимптотические выражения для корреляционных функций через равновесные термодинамические величины и коэффициенты переноса. [c.381]

Если внимательно рассмотреть матрицу базисных функций N , то ее можно представить в виде N = Ny + N , где содержит члены, постоянные внутри элемента (и равные единице), а N — члены, вк 1ючающие переменную интегрирования. Отсюда следует, что поверхностные интегралы в (4.22) и (4.23) можно записать в виде [c.109]

Удобно выбирать матрицы базисных функций и N одинакового вида в этом случае порожденный элемент называется изопараметрическим. Если матрица базисной функций Nm имеет меньший порядок, чем матрица N, то полученный криволинейный элемент является субпараметрическим, а если Nm более высокого порядка, то элемент является суперпараметрнческнм. [c.216]

Вместо метода Бубнова—Галеркина можно использовать вариационный принцип Гамильтона—Остроградского для соответствующего квадратичного функционала. Это позволяет расплирить класс допустимых базисных функций, введя в рассмотрение функции, которые удовлетворяют всем кинематическим, но не обязательно всем динамическим граничным условиям. Уравнения относительно функций qi, (t) сохраняют вид (27), а элементы матриц А, С, F и G определяют по формулам (28) с заменой скалярного произведения на соответствующие энергетические произведения. [c.249]

Основные преимущества МКЭ проистекают из его сеточного (разбивка на конечные элементы) и вариационного (использование вариационных принципов) характера. Вариационный подход расширяет класс допустимых функций и, в частности, позволяет конструировать решение при помощи не очень гладких, но, что важно, локализованных функций. Вариационный подход позволяет также исключить из специального рассмотрения естественные граничные условия. Наконец, сеточный характер МКЭ облегчает известные трудности, связанные с выбором базисных функций в вариационньк методах. В классических вариационных методах, изложенных в гл. 1.4, этот выбор сильно усложняется их зависимостью от конфигурации рассматриваемой области. В МКЭ такой зависимости нет. Влияние сеточных методов на МКЭ приводит к тому, что разрешающие системы алгебраических уравнений оказываются хорошо обусловленными, с редко заполненными матрицами, и, что очень важно, формирование таких матриц оказывается сравнительно простым. [c.54]

Обоим требованиям можно удовлетворить, задав dim(p) = = dim(q)—г, а также путем соответствующего выбора базисных функций Or из (3.23). Подобный выбор Or В ранни.х разработках осуществлялся методом проб и ошибок, а также на основе интуиции, однако в последнее время была разработана рациональная теория [33—37] выбора а при заданном и. Таким образом, теперь разработка устойчивых матриц жесткости гибридных трещинных элементов в напряжениях, имеющих необходимый ранг и т. п., может быть осуществлена рутинным способом. [c.202]

Собственные функции оператора Й могут быть определены в результате диагонализации матрицы этого гамильтониана, записанной в базисе собственных функций Ф° гамильтониана Й°. Таким образом, каждая собственная функция Й может быть записана в виде линейной комбинации полного набора функций Ф° [см. (5.139)]. Оператор Й как часть Й преобразуется по полносимметричному представлению группы G (или любой ее подгруппы) и в соответствии с общим правилом отбора может иметь отличные от нуля матричные элементы только между функциями Ф°, преобразующимися по одному и тому же представлению группы G (или любой ее подгруппы). Поэтому типы симметрии Г собственных состояний Ф гамильтониана Й совпадают с типами симметрии соответствующих собственных состояний Ф гамильтониана Й°. Таким образом, для определения Г необходимо только классифицировать по типам симметрии базисные функции, если [c.113]

Полный перечень базисных функций для этого элемента был дай Фелиппа и КЛафом [21]. Однако, как показано в гл. 5, можио обойти явное использование базисных функций, что приводит к упрощениям формулировки. В той же главе показано, как можно сократить порядок матрицы элемента путем устранения центрального узлового значения посредством конденсации. С другой стороны, этот узловой параметр мо жио исключить методом, описанным в работах [22—24]. [c.197]

X, у и г, что в итоге дэет 16 степеней свободы. Поскольку полный кубический полином от трех переменных имеет 20 членов, для однозначного определения базисных функций четыре члена отбрасываются. Вычисление базисных функций для этого элемента и дифференцирование матрицы жесткости можио найти в литературе [43, 48], В задачах упругости, когда в любой точке возможны три перемещения и, V п т в направлениях х,укг соответственно, получающиеся в результате 48 узловых параметра дают элемент с общепринятым названием Т48, [c.212]

При формировании элементных матриц с использованием изопараметрических элементов необходимо вычислять производные от базисных функций в системе Ogrg из соответствующих производных в системе Oxyz. Эти наборы производных могут быть удобно связаяы через якобиан преобразования. [c.216]

Если бы базис был ортонормальным, то матрица М была бы единичной и х = 1. Это не так для конечных элементов, но важно то, что на равномерной сетке базисные функции метода конечных элементов равномерно линейно независимы х(М) с onst. Другими словами, все собственные значения матрицы Ai одного и того же порядка. Как заметил Шульц, при аппроксимации по методу наименьших квадратов (который есть не что иное, как метод Ритца, примененный к дифференциальному уравнению нулевого поряка и = f) кусочные полиномы значительно более устойчивы, чем последовательность 1, х, у, х ,. .. обычных полиномов. Число обусловленности матрицы массы, соответствующей этой последовательности и являющейся матрицей Гильберта (1.6), растет по экспоненциальному закону. [c.240]

Размерность пространства 5 пробных функций равна числу N базисных функций фj или свободных параметров qj. Очевидно, что N зависит от числа элементов. Решающую роль играет число М параметров в каждой вершине-, оно позволяет сравнивать порядки матриц К при рассмотрении двух конкури- [c.339]

Х = (д, р). Таким широко используемым представлением является представление Вигцера [678]. Вангно отметить, что с учетом конечности размерности гильбертова пространства, отвечающего копечному фазовому объему Q N — Q/ 2nh), где г—число степеней свободы), операторы, представляемые функциями /о(Х), равными нулю вне Q, имеют вид квадратных NXN матриц и требуют для своего описания конечного числа базисных элементов. Это означает, что континуальный набор базисных элементов е(X), где Хей, является переполненным. Предельный переход й делает очевидной переполненность базиса е(Х) и в неограниченном фазовом объеме. Это обстоятельство означает возможность неоднозначного представления Л- -/(Х), которая устраняется после выбора соответствующего наиболее прост о правила в представлении Вигнера /(Х) = = 2я%ут тАе ) [136]. [c.385]

Схемы на ста1здартных элементах — вид заказных микросхем (ASI ), которые, в отличие от вентильных матриц, не используют концепцию базисной ячейки и не содержат каких либо предварительно изготовленных компонентов. Производитель микросхем изготавливает заказной фотошаблон для каждого этапа производства, позволяя каждой логической функции реализовываться с минимально возможным количеством транзисторов. [c.393]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...