Множество двойственное

Лемма. В равномерной топологии на множестве Ш индуцированной равномерной топологией множества Щ замыкание множества совпадает с Сужение на 92, X 92 билинейной формы ), действующей из 92 X в С, обладает тем свойством, что множество 92, наделенное своей сильной топологией, совпадает с множеством, двойственным к в обычном смысле теории банаховых пространств). [c.156]

В теории геометрического программирования показывается, что максимум двойственной функции достигается в стационарной точке, которая совпадает со стационарной точкой функции In V ( ), являющейся вогнутой. Следовательно, заменяя в двойственной задаче функцию У функцией 1п V, получаем. необходимость максимизации вогнутой функции на выпуклом множестве, что представляет собой задачу вогнутого, программирования, которая решается такими же методами, что и задача выпуклого программирования. Это также существенно облегчает процесс численного решения двойственной задачи. [c.258]

Здесь G (a) - общая потенциальная энергия напряжений. Вторая переменная Л ст представляет собой заданные объемные силы в J2, а функция F (-A a) совпадает с индикаторной функцией множества К, т.е. она равна нулю для а К и + > для остальных тензоров а [14]. Поэтому двойственная вариационная задача принимает вид sup [—(7 (а)]. Эта задача соответствует принципу максимума дополнительной энергии. В [14] указаны условия существования и единственности решения исходной задачи ы и существования решения двойственной задачи а. Для этих решений справедливо равенство функционалов J (ы, Л ) =/ (Л а, а), а также экстремальное соотношение [c.144]

Из табл. 4.4 видно, что в исходной и двойственной вариационных задачах предварительные и естественные условия экстремальности соответствующих функционалов обладают свойством взаимности. На возможной площадке контакта такими двойственными условиями являются неравенства (4.4) и (4.5). В случае контакта двух деформируемых тел статическое условие (4.5) дополняется условием (4.7) в ограничениях множества и в условиях экстремальности функционалов. Физические соотношения в форме (4.3) позволяют использовать приведенные вариационные постановки контактных задач для нелинейных и анизотропных тел. [c.144]

Теорема существования. Для того чтобы задача ЛП имела решение, необходимо и достаточно, чтобы допустимые множества G и И как прямой, так и двойственной задачи были не пусты. [c.129]

Возможны две причины отсутствия решения прямой или двойственной задачи ЛП противоречивость ограничений (допустимое множество G или Н пусто) или неограниченность значения целевой функции в допустимой области. При этом если G не пусто, а И пусто, то не ограничено решение прямой задачи, если G пусто, а // не пусто, то не ограничено решение двойственной задачи. [c.129]

Если G не пусто и Я не пусто, то решения прямой и двойственной задач соответствуют одной или нескольким вершинам (крайним точкам) многогранников или замкнутых неограниченных многогранных множеств. В случае соответствия решения нескольким вершинам прямая задача имеет бесконечное множество решений, являюш,ихся линейными комбинациями 2 решения, со-1=1 [c.129]

Адекватным математическим образом временного порядка и хаоса стали аттракторы, т. е. устойчивые состояния равновесия, устойчивые периодические движения или автоколебания и, наконец, странные аттракторы. Адекватным математическим образом пространственного порядка и хаоса в двойственном представлении распределенной динамической системы оказались седловые состояния равновесия, седловые периодические движения и более сложные седловые инвариантные множества. [c.41]

Можно доказать (см. [17, 34]), что, если пара (й,р ) является седловой точкой лагранжиана Ь(у,р ), то элемент й — решение исходной вариационной задачи, элемент р — решение задачи (83), которую называют сопряженной (или двойственной) к исходной задаче минимизации функционала J(v) на множестве К кроме того, операции нахождения нижней и верхней грани в задаче (88) можно поменять местами. [c.110]

Если молекулярно-механическая теория исходит ит представления о двойственной природе трения, то по теории Б- И. Костецкого допускается множество природ трения. [c.16]

Напомним, что двойственная проективная плоскость КР является множеством прямых в RP , а двойственная кривая 5 RP к кривой Ск есть множество прямых в RP касательных к S. Кривая, двойственная к двойственной, совпадает с исходной (см. [521). [c.142]

Кроме того, мы получили возможность определить класс, двойственный к множеству S(/), даже в случае отображения/ не общего положения по определению, этот класс всегда равен [c.199]

Те 0-рем а (см. [230]). Пусть 5 — произвольное аналитическое / /.-инвариантное подмножество пространства / (Ro, Ro) Тогда существует универсальный полином Тз над 22 от переменных, зависящий только от 3, т и п., такой, что для любых гладких многообразий М>", N и почти любого отображения класс в // (Ж , 2г), двойственный к особому множеству >5 (/) = / ( ), равен значению полинома [c.200]

Пример. Для любой иммерсии М в евклидово пространство а f Г Af) /K>(v )=1, то есть ш(у) = (ш(ГА1)) 1бЛ(М). Отсюда следуеГ, что если (n—m)-мерная однородная составляющая класса w TM)) не равна нулю, то М не имеет вложения в R". Действительно, для любой иммерсии при k = 2 в формуле (6) класс щ — нулевой, а следовательно, множество М2 кратных точек отображения f не только непусто, но даже образует нетривиальный элемент в гомологиях М (двойственный к Wn .jn [c.216]

Теорема. Для любого типичного семейства наборов многочленов существует двойственное семейство такое, что бифуркационные множества обоих семейств диффеоморфны, а диаграммы Юнга двойственны (теорема двойственности для нетипичных семейств следует из теоремы о конечной определенности, п. 4.7 ниже). [c.155]

ГЛ. 5, 4, п. 3] в ш ТОПологии. Рассмотрим далее линейное пространство 21 как подмножество пространства, сопряженного (двойственного) с пространством, сопряженным с 21 (т. е. рассмотрим элементы пространства 21 как линейные функционалы на 21 ). Пространство 21 полно в 21 в том смысле, что из равенства (х Л) = 0 для всех Л е 21 следует заключение о равенстве нулю элемента х - Таким образом, 9Г, если его снабдить -топологией, становится локально выпуклым топологическим линейным пространством [91, гл. 5, 3, п. 3]. Множество в -топологии является компактным подмножеством локально выпуклого топологического пространства и, следовательно, содержит некоторые крайние точки [91, гл. 5, 8, п, 2]. Это позволяет дать ответ на заданный нами ранее вопрос о существовании чистых состояний. Кроме того, поскольку множество выпукло, по теореме Крейна — Мильмана [91, гл. 5, 8, п. 4] оно совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой своих крайних точек (т. е. с пересечением всех замкнутых выпуклых подмножеств пространства 2[ , содержащих крайние точки множества 6). Обозначим через множество всех чистых состояний на 21 (иначе говоря, 6 —множество всех крайних точек множества <5). Предположим теперь, что для некоторой пары (Л, В) элементов алгебры 2[ и всех выполняется неравенство (ф ЛХ(р В). Поскольку [c.85]

Понятие физической эквивалентности тесно связано с вопросом о наиболее целесообразном с физической точки зрения выборе топологии, которой мы намереваемся снабдить алгебру (или 91 ), двойственную алгебре й (или 91). В гл. 1, 2 мы рассмотрели слабую -топологию на алгебре 91, двойственной алгебре Сигала 91 всех наблюдаемых, и отметили, что сужение этой топологии на множество е 91 всех состояний на 21 естественно с физической точки зрения. [c.129]

Тогда любой полимер задается косвязным множеством Н-дефектов (т, е, множеством, двойственное к которому связ- [c.70]

Теорема 11. Пусть есть С -алгебра, я -> й— ее универсальное представление, = я (Я)" — ее универсальная обертывающая алгебра фон Неймана, Ш или Э ) — множество, двойственное или дважды двойственное) алгебре <2 — множество всех состояний на — множество всех нормальных состояний на Э " и Ш — множество, преддвойственное множеству Ш". Тогда [c.160]

Метод численного решения. При численном решении контактной задачи область, занимаемая контактирующими телами, расчленяется по поверхности контакта на подобласти, и для них последовательно решаются краевые задачи с известными граничными условиями на Г и Г (4.1), (4.2) и смешанными граничными условиями на Г , уточняемыми в процессе итераций. Процесс решения, в свою очередь, расчленяется на два чередующихся этапа а - поиск границы площадки контакта к б - уточнение ее конфигурации в пространстве. На каждом из этих этапов используется двойственная вариационная постановка контактной задачи (см. табл. 4.4). При решении вариационной задачи считаются выполненными предварительные условия экстремальности соответствующего функционала, однако в процессе итерации могут нарушаться естественные условия экстремальности. Так как истинное решение задачи (й, ст) принадлежит произведению множеств VXKk имеет место равенство [c.144]

В отличие от задач без трения, которые могут быть сведены к решению вариационных неравенств или к задаче минимизации выпуклого функционала на вьшуклом множестве ограничений, содержащем ограничения в виде неравенств, контактная задача с трением сводится к решению квазива-риационного неравенства. В работе [29] приведен итерационный процесс решения такого неравенства, а также дан алгоритм практического решения задачи, основанный на идее двойственности. Решение задачи проводится с помощью алгоритма типа Удзавы. На каждой итерации решается задача, эквивалентная обычной задаче теории упругости с граничными статическими условиями на Гк, причем последовательно уточняются как напряжения а , так и напряжения а . Для определения этих напряжений по данным предьщущей итерации применяются операторы ортогонального проектирования на множество Стр<0, Эти операторы имеют вид [c.152]

В линейных консервативных С. с р. п., где потерн энергии (в т. ч. и на излучение) и притоки её извне отсутствуют, произвольное движение сводится к бесконечному, но счётному множеству нормальных колебаний, каждое из к-рых можно интерпретировать как состояние нек-рой системы с сосредоточенными параметрами (в том смысле, что нормальное колебание, как и эта система, описывается с помощью обыкновенных дифф енц. ур-ний). В неконсервативиых и нелинейных С. с р. п. такое двойственное описание, вообще говоря, невозможно. Подробнее см. в ст. Колебания, Волны, Автоколебания, Нормальные колебания, Моды. [c.535]

X —наше пространство и У = [—1, 1]. Единичный шар в двойственном пространстве соответствует, естественно, совокупности линейных отображений X - У (и линейность — замкнутое условие). Из теоремы Алаоглу следует, что ограниченные по норме слабо -замкнутые множества компактны. [c.700]

ДЛЯ линейных процессов и обобщенный де Гроотом ([13], стр. 196). Здесь предполагается, что необратимые силы заданы к=, 2,. . . , ] Сп). Принцип устанавливает, что диссипативная функция минимизируется значениями х = 0 (/с=/+1,. . . , и) скоростей, соответствующих остальным необратимым силам. Этот принцип, который опять-таки можно было бы выразить в виде некоторой двойственной] формулировки с переменными местами х,. и Х не эквивалентен принципам п. 4.1. Однако для линейных процессов, и вообще когда I) -поверхности гладкие, этот принцип представляет собой их следствие. Фиксируя Хк к=1, 2,. . ., 7 < п), мы ограничиваемся некоторым линейным подпространством силового пространства. Здесь минимум функции В (Хи ) достигается на некотором множестве значений Хк к=]- г1,. . ., п), удовлетворяющем системе уравнений [c.78]

В последней, четвертой главе описаны топологические характеристики особых множеств гладких отображений классы когомологий, двойственные к, множествам критических. точек и нерегулярных значений инварианты отображений, определяемые этими классами структура пространств отображений, не имеющих особенностей того или иного типа. По-видимому, впервые. приводится конструкция характеристических классов слоений при помощи универсальных комплексов особенностей и мультиособенностей, а также вычисление фундаментальной группы пространства функций с особенностями не сложнее и топологии дополнений к раскрытым ласточкиным хвостам. [c.10]

В этой главе описаны топологические и численные характеристики особых множеств гладких отображений классы когомологий, двойственные к М1НОжес пвам кр ит, ческих точек и нерегулярных значений инвар-ианты - отчабражвний, определяемые этими классами связь их со стандартными топологическими характеристиками отображаемых многообразий структура пространств гладких отображений без особенностей того или иного типа ограничения на количество и сосуществование особых точек. [c.198]

M- N, то есть в окрестности любой своей точки множество S выделяется системой аналитических уравнений. Множеству S однозначно соответствует его фундаментальный гомологический класс, то есть такой класс а в группе Z2) гомологий S с замкнутыми носителями, что для любой регулярной точки x S, образ класса а в группе fldims(S, S—х Z2) является образующей последней группы (ом. [230], П51]). Вложение N) отображает класс а в группу N),Zz) пользуясь еще двойственностью Пуанкаре, получаем элемент группы Я (/ (Л1, iV), Z2), v= odim S, который называется классом, двойственным к множеству S, и обозначается [S]. Напомним (см. 3.1), что для любого гладкого отображения f и натурального числа k определено А-1Ст.руйное ра1стирение fh отображения f, (М, N). [c.199]

Трансверсально к стратифищ1рованному множеству S, то множество 5 (/) = /г (S) обладает фундаментальным щослом, а следовательно, определяет двойственный класс [5 (/)] // (М, Z2) лри этом последний класс совпадает с классом /й([5]). [c.199]

Пример. Пусть т = п., 5 = Е —множество всех особых струй отображений. Тогда при любом / класс, двойственный к 5 (/), — это разность первых классов Штифеля — Уитни рас-слбений ТМ и / Т М [5 (/)] = (ГЖ) —да (ГЛ ). Если N ориентируемо, то этот класс следит за ориентацией многообразия М оно ориентируемо тогда и только тогда, когда множество 3 /) гомьлогично нулю в М. [c.201]

Как т1равило, класс Тома—Бордмана (или другой класс особенностей) определяет двойственный элемент лишь в когомологиях с коэффициентами в 2г, но не в 2. Например, особое множество типичного отображения де определяет [c.205]

В случае более сложных особенностей 2 коцикл Л12, двойственный множеству трансверсального перес.ечения 2 с фронг том, уже может не совпадать с произведением коциклов, двойственных к фронту А-1 и циклу 2. Именно, пусть N—база лежандрова расслоения, то есть многообразие, содержащее фронт. Обозначим через [2] разность в Н (Ы, 2 ) между коциклами Л12 и Л1 >2. [c.221]

Этот параграф посвящен вопросам следующего класса. Пусть дано гладкое отображение / M- N. Существует ли гомотопное ему отображение, не имеющее особенностей даннога типа 2 Отрицательный ответ на такой вопрос обычно связак с нетривиальностью двойственного к 2 класса [2] в когомологиях М, см. 1, 2. Верно ли, что это препятствие — единственное если 2]=0, то особеиность 2 устраняется гладкой гомотопией Существуют ли вообще отображения M- N, не имеющие особенностей типа 2 Например, существует ли иммерсия если все препятствия, описанные в п. 1.4, равны О Какова структура множества отображений, имеющих только предписанные особенности [c.227]

Следующий пример — устранение сборок Уитни. Отображение общего положения / имеет лишь складки 2 н сборки 2 , коразмерность этих множеств равна соответственно т—1 н т. Пусть М н V ориентированы и М замкнуто (т. е. компактно и дМ = 0). Тогда, согласно [351], двойственные классы когомологий mod 2 совпадают с т—1-м и т-и классами Штифеля—Уитни М, в частности, число сборок по модулк> двух совпадает с эйлеровой характеристикой % М). [c.227]

Пусть СсСР" —алгебраическая. - гиперповерхность (воз-М0Ж(Н0 с осо1беи1ностям ). Двойственное к ней мнюгообрааие А с=СР —это замыкание множества гиперплоскостей, касательных к X в его неособых точках. Для любой точки хбСР , обозначим через тх х) индекс пересечения в точке х дивизора X и прямой общего положения, проходящей через х (например, тх(х)=0 х Х). [c.235]

Рассмотрим теперь бифуркационные множества. Пусть кривая г фиксирована, а плоскость Ь меняется. Тогда кривая ф-тоже меняется. Параметр такого семейства кривых лежит в грассманиане й-мерных плоскостей пространства Р . При каждом t сопровождающий флаг кривой г в точке r t) делит многообразие Грассмана на клетки Шуберта. Назовем к-разверткой кривой г объединение по 1 клеток Шуберта коразмерности 2 —с диаграммами Юнга (2) и (1,1). Легко видеть, что А-развертка — бифуркационное множество указанного выше семейства кривых. Таким образом, типичные особенности бифуркационных множеств — это особенности разверток неуплощающихся кривых в грассманиане. И в заключение отметим, что теорема двойственности на языке разверток кри- [c.159]

Выберем множество плакетов 5, двойственное к некоторой кривой, соединяющей точки х, у, для с1 — 3 (рис. 5) или [c.48]

Доказательство теперь уже почти стандартно для нас. Полимеры состоят из связных дефектных сетей двойственной рещетки, к которым добавлены множества ребер исходной решетки, обвивающие их, как описано ранее. [c.69]

Этого можно достичь, например, выбором нулевых граничных условий Дирихле на границах квадратов (кубов, гиперкубов). Если отождествить каждую грань квадрата и т. д. с ребром двойственной решетки, то становится очевидным, как имитировать кластерное разложение раздела 3. Погрешность разложения определяется разностью между модифицированной и исходной функциями Грина полимерами будут связные множества ребер двойственной решетки, или, что эквивалентно, связные множества граней квадратов (кубов,. ..) первоначального покрытия. [c.166]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...