Сигала алгебра

Теорема 8. Пусть Ъ —совместное множество наблюдаемых, а (93) — множество всех полиномов относительно элементов В е 93. Тогда замыкание (93) множества (93) есть ассоциативная подалгебра Сигала алгебры 91. [c.77]

Вопрос о том, какую роль играет в квантовой механике исключительная алгебра еще не нашел окончательного решения в рамках алгебраического подхода. Отметим лишь одно любопытное положение, доказанное Шерманом [366] алгебру Зйз можно нормировать так, что она станет системой наблюдаемых в смысле Сигала [356]. [c.69]

С аксиоматической точки зрения мы могли бы заметить, что аксиома Сигала 11.4 (но не 11.5 ) излишняя. В то же время аксиомы непротиворечивы в том смысле, что мы уже располагаем некоторыми их реализациями. В частности, на каждой алгебре г-чисел (в том числе [366] и на исключительной [c.76]

Математический объект 91, определяемый аксиомами Сигала, мы будем в дальнейшем называть алгеброй Сигала. Проанализировав полученные нами до сих пор результаты, можно заметить, что изложенная выше теория (определяемая семью аксиомами о структуре) наделяет множество 91 всех наблюдаемых структурой алгебры Сигала. Отметим некоторые различия между системами аксиом Сигала и принятой нами. Прежде всего в нашем подходе особо подчеркивается та роль, которую мы хотим отвести состояниям в формулировке как алгебраической, так и топологической структуры теории. Однако необходимо ясно сознавать, что и в большей части проводимого Сигалом обоснования его системы аксиом в действительности неявно используется понятие состояния. Различие между нашими подходами заключается главным образом в том, что на более раннем этапе обоснования мы уделяли большее внимание понятию состояний с нулевой дисперсией. Это было необходимо для надлежащего обоснования степенной структуры на 91 (5-я аксиома) и, кроме того, позволило нам значительно раньше ввести понятие совместности наблюдаемых. Последнее понятие в свою очередь было использовано в нашей 6-й аксиоме, предопределяющей характер того обобщения классической механики, которое мы намереваемся рассматривать. Основное следствие из 6-й аксиомы состоит в том, что после ее введения симметризованное произведение А°В становится дистрибутивным (относительно сложения) и однородным (относительно умножения на скаляр). В работе Сигала также фигурирует формальное произведение , которое он определяет аналогично нашему симметризованному произведению и которое действительно совпадает с симметризованным произведением, когда алгебра 91 дистрибутивна. Однако Сигал не постулирует дистрибутивность в общем случае, и, более того, Шерману [366 удалось построить класс [c.76]

Следующая теорема о представлении алгебр Сигала, доказанная Сигалом в работе [356], показывает, что физические системы, все наблюдаемые которых совместны, совпадают с классическими системами . [c.77]

Продолжим теперь начатый нами анализ следствий из теоремы 9. Заметим, что каждой точке V Г мы можем сопоставить состояние (у Л) = Л (у), которое, очевидно, имеет нулевую дисперсию на всех ЛеК(Г)" 31. Множество у всех состояний V, полученных таким образом, полно относительно 91. Следовательно, ассоциативная алгебра Сигала допускает полное множество состояний, имеющих нулевую дисперсию на всех ее элементах. Этот результат, достаточно сильный сам по себе, [c.81]

МЫ В дальнейшем усовершенствуем и обобщим на любую ассоциативную подалгебру Сигала произвольной алгебры Сигала. Один пример такого обобщения нам уже известен, а именно ассоциативная подалгебра (23), порожденная совместным множеством наблюдаемых. [c.82]

Нашими аксиомами можно воспользоваться, чтобы несколько уточнить один результат Шермана [365], согласно которому в алгебре Сигала 91 сумму квадратов элементов из й можно представить в виде квадрата некоторого элемента алгебры В свою очередь этот результат позволит нам получить больше информации относительно множества < . [c.82]

Доказательство. Пусть А — произвольная положительная наблюдаемая, а (Л) — подалгебра Сигала, порожденная Ли/. Эта алгебра ассоциативна (поскольку Л и I совместны). Из теоремы 9 известно, что алгебра В(Л) изоморфна некоторой алгебре К (Г). Пусть я означает этот изоморфизм. Говоря о положительной наблюдаемой Л, мы имеем в виду, что (ф Л) 0 для всех ф е и, в частности, для тех состояний, которые соответствуют точкам пространства Г. Следовательно, функция п (Л) положительна. Пусть / — положительный квадратный корень из нее / принадлежит ( (Г). Итак, существует элемент В е (Л), такой, что я (В) = [, а поскольку я — изоморфизм, выполняется равенство В = А. Из положительности / следует, что у В) 0 для всех у е Г. Поскольку же множество у полно относительно (Л), мы имеем (ф для всех ф е , т. е. В > 0. [c.82]

Естественно возникает вопрос, существуют ли на 31 чистые состояния. В частном случае, когда алгебра Сигала 21 ассоциативна, ответ на вопрос следует непосредственно из теоремы 9 всякое состояние (у А), соответствующее произвольной точке у пространства Г, чисто. Действительно, как вытекает из приводимой ниже леммы [356], на ассоциативной алгебре Сигала существуют лишь чистые состояния. [c.84]

Теорема 11. Любой точке а спектра а а произвольной наблюдаемой А, принадлежащей алгебре 91, соответствует по крайней мере одно чистое состояние ф на 91, такое, что (ф А) =а н Ф — состояние с нулевой дисперсией на подалгебре Сигала (Л), порожденной Aul. [c.88]

Примечание. Данное обстоятельство (по-видимому, не слишком хорошо известное среди физиков) нельзя целиком объяснить особым характером принятых нами допущений (и, в частности, излишне жесткой формулировкой нашей 4-й аксиомы о структуре). Отказ от состояний того типа, о котором говорится в теореме II, привел бы к довольно крутому расхождению (если оценивать его с математической точки зрения) с существующим формализмом, поскольку Сигал [356] доказал это следствие в рамках предложенной им системы аксиом (в которую входит и предположение о том, что сумма квадратов наблюдаемых есть квадрат некоторой наблюдаемой — положение, остающееся в силе, как доказал Шерман [365] и как мы уже отмечали, для любой алгебры Сигала). Кроме того, с физической точки зрения состояния, о которых идет речь в теореме И (и которые не являются нормальными в том смысле, в каком это принято понимать в теории С -алгебр), по-видимому, не вызывают серьезных физических возражений. В дальнейшем мы убедимся, что некоторые ненормальные состояния действительно возникают в теории рассеяния и при переходе к термодинамическому пределу в статистической механике. [c.89]

Примечание. Для любой алгебры Сигала, в которой симметризованное произведение А°В однородно и дистрибутивно по каждому из сомножителей, мы наряду с теоремами 12 и 13 доказали эквивалентность следующих трех условий для пары высказываний (Р, Q) [c.95]

Поскольку, с одной стороны, математическая теория специальных алгебр Сигала развита весьма подробно, а, с другой стороны, еще не встретилась ни одна конкретная физическая система, которая допускала бы описание в рамках исключительной алгебры Сигала, мы в дальнейшем сосредоточим свое внимание лишь на специальных алгебрах Сигала. Но поскольку с математической точки зрения это очень жесткое ограничение, мы хотим ввести его в как можно более слабой форме. [c.97]

Лемма. Состояние ф на С -алгебре 91 является чистым в том и только в том случае, если его сужение ф 5[ на алгебру Сигала 91 всех самосопряженных элементов алгебры 8 чисто. [c.114]

Пользуясь опять полной аналогией с уже рассмотренным случаем алгебры Сигала, мы скажем, что состояние ф доминирует ) над состоянием -ф, если существует действительная величина Я > 1, такая, что (Яф — -ф) — положительный действительный линейный функционал на 91. Затем мы докажем так же, как и в случае алгебры Сигала (стр. 84), что состояние ф на С -алгебре является чистым в том и только в том случае, если оно не доминирует ни над одним другим состо-, янием. [c.114]

Понятие физической эквивалентности тесно связано с вопросом о наиболее целесообразном с физической точки зрения выборе топологии, которой мы намереваемся снабдить алгебру (или 91 ), двойственную алгебре й (или 91). В гл. 1, 2 мы рассмотрели слабую -топологию на алгебре 91, двойственной алгебре Сигала 91 всех наблюдаемых, и отметили, что сужение этой топологии на множество е 91 всех состояний на 21 естественно с физической точки зрения. [c.129]

Пусть 3 (или 91) есть С -алгебра (или алгебра Сигала). Объектом (или 91 ), двойственным объекту Л (или 91), называется множество всех непрерывных линейных отображений ф, действующих из 91 (или 91) в С (или R ) Поскольку множества 3 , 91, С и Р — нормированные линейные пространства, линейные отображения ф, непрерывны в том и только в том случае, если они ограничены, т. е. в том и только в том случае, если [c.130]

Теорема 5. Пусть 91 есть С -алгебра, а 91 — алгебра Сигала всех самосопряженных элементов алгебры 91. Тогда = 21. [c.130]

Состояние на С -алгебре (или алгебре Сигала) 131 [c.419]

Теорема 9. Всякая ассоциативная алгебра Сигала 91 изоморфна алгебраически и метрически) алгебре ( (Г) всех действительных непрерывных функций А на компактном хаусдорфо-вом пространстве Г, на котором сложение, умножение на скаляры и возведение функции в степень определены обычным образом, а норма дается выражением Ц ЛЦ= sup 1 Л(Y) 1. Кроме [c.77]

Этот результат был обобщен Сигалом [356] на случай произвольной алгебры Сигала 21. Основная трудность, которую пришлось преодолеть Сигалу, состояла в том, чтобы доказать следующее свойство множества определяемого как множество всех (действительных) линейных функционалов ф на 21 (рассматриваемой алгебре Сигала), которые удовлетворяют условиям (ф Л ) О для всех Л е и (ф /) = 1 если (ф Л) = О при всех ф е , то Л = 0. Иначе говоря, необходимо было доказать по линейности, что две наблюдаемые, совпадающие на всех состояниях, тождественны. Этот результат с физической точки зрения столь естествен, что мы приняли его в качестве нашей 2-й аксиомы. Нам неоднократно пришлось пользоваться этой аксиомой, когда мы проводили феноменологическое обоснование степенной структуры на 21. Следовательно, коль скоро известно, что 21 — алгебра Сигала, наша 2-я аксиома о структуре математически становится излишней, хотя с физической точки зрения она необходима для того, чтобы мы могли [c.85]

С -алгеброй (или Н -алгеброй) называется комплексная (или действительная) банахова алгебра с инволюцией, такая, что 1Р = для всех Я. Заметим, что наша алгебра всех наблюдаемых обладает всч ли свойствами 7 -алгебры, кроме ассоциативности, причем инволюцию можно рассматривать юак тождественное отображение, которое, очевидно, является антиавтоморфизмом, поскольку алгебра 91 абелева (Л оВ =В о Л). Подчеркнем, что множество 51 всех самосопряженных элементов (ассоциативной ) С -алгебры (или 7 -алгебры) 8 является алгеброй Сигала и что в этом случае симметризованное произведение А° В = 2 (Л + В) — А — В ) имеет простой вид Л <> В= 2 АВ ВА), где озйачает произведение в Алгебра Сигала может быть либо специальной (комплексной или действительной), либо исключительной в зависимости, от того, изоморфна ли она множеству всех самосопряженных элементов С - или 7 -алгебры. Как и в случае йордановых алгебр, абстрактные критерии специальной алгебры Сигала неизвестны ). Неизвестно также, является ли в общем случае алгебра 21 всех наблюдаемых физической системы специальной в указанном смысле. [c.96]

Наметим лишь схему доказательства. Поскольку множество полно относительно 91, для каждого элемента е Я в существует по крайней мере одно состояние (которое мы обозначим через ф ), такое, что ф — строго положительная величина. Пусть Пц — представление, полученное из ф конструкцией Сигала, описанной при доказательстве теоремы. Гильбертова прямая сумма я представлений, возникающая, когда элемент 7 пробегает алгебру Я, инъективна [т. е. равенство я (7 )== О имеет место лишь при 7 = 0]. Доказательство будет завершено, если заметить, что из инъективности представления я (7 ) следует его изометричность, т. е. я (7 ) Ц = 7 . [c.102]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...