Равномерная топология

Лемма 2.4.5. Степень отображения непрерывна и, следовательно, локально постоянна в С° равномерной) топологии. [c.85]

Теорема 2.4.6. Каждое растягивающее отображение окружности / степени к топологически сопряжено с отображением Е . Кроме того, если / достаточно близко к Е в С°-(равномерной) топологии, то сопрягающий гомеоморфизм может быть выбран близким к тождественному. [c.86]

Далее, для любых чисел iV и е можно найти такое число 5 > О, что если / в равномерной топологии -близко к Е , то [c.88]

Обозначим правую часть (2.6.4) через. ,(/1,) и рассмотрим как опе ратор на пространстве дважды периодических непрерывных функций н с равномерной топологией. Легко видеть, что отображение являете сжимающим [c.100]

Доказательство. По предложению 4.1.15 достаточно показать, что временные средние каждой функции из плотного множества непрерывных функций равномерно сходятся к константе. По теореме Вейерштрасса тригонометрические полиномы образуют плотное множество в пространстве всех непрерывных функций в равномерной топологии. Кроме того, равномерная сходимость к константе — линейное свойство если функции 1р и ф обладают этим свойством, то оно также выполнено для функции а(р Ьф, где а и Ь — постоянные числа. Таким образом, достаточно проверить равномерную сходимость для любой полной системы функций, например для набора функций Хт(х) = е . При тфО получаем Хт( а ) = = [c.156]

Доказательство. Положим т(/) = т, и пусть числа р р/д Q таковы, что р /д < т <р/д. Выберем поднятие Р отображения / таким образом, что —1 < (ж) - жО для некоторого жбК. Тогда Р (ж)<ж+р для всех ж е К, поскольку в противном случае Р х) = ж -Ьр для некоторого ж е К и т = р/д. Так как функция Р — 1(1 периодична и непрерывна, она достигает своего максимума. Таким образом, существует такое 5 > О, что Р х) < ж -Ь р - 5 для всех ж 6 К. Это озн ает, что любое достаточно малое в равномерной топологии возмущение Р отображения Р удовлетворяет неравенству Р х) < ж + р для всех ж К. Следовательно, т(/) < р/д, где / — проекция Р на окружность. Аналогичные соображения, применяемые к р /д, завершают доказательство. [c.394]

Мы иногда используем тот факт, что из равностепенной непрерывности и равномерной ограниченности следует компактность семейства непрерывных функций в равномерной топологии. [c.698]

Таким образом, в частности, замкнутое ограниченное равностепенно непрерывное семейство отображений компактного пространства компактно в равномерной топологии. [c.698]

Равномерной топологией называется топология, индуцированная на (Ж) операторной нормой. Ее также называют иногда сильной операторной топологией или метрической топологией множества 33(Ж). Именно такую топологию мы рассматривали до сих пор, когда говорили о ЗВ(Ж) как о С -алгебре. [c.149]

Лемма. В равномерной топологии на множестве Ш индуцированной равномерной топологией множества Щ замыкание множества совпадает с Сужение на 92, X 92 билинейной формы ), действующей из 92 X в С, обладает тем свойством, что множество 92, наделенное своей сильной топологией, совпадает с множеством, двойственным к в обычном смысле теории банаховых пространств). [c.156]

Основное содержание работы связано с изложением концепции построения оптимальных сеток, развиваемой в работах уральских ученых в течение 30 лет. В качестве критериев оптимальности выбраны требования близости криволинейной сетки к равномерной, ортогональной и адаптации к заданной функции или решению уравнений в частных производных. Приведены конструкции функционалов, используемых для построения структурированных и блочно-структурированных сеток. Описаны эффективные алгоритмы и программы построения двумерных оптимальных сеток с различными топологиями в сложных многосвязных областях. Описан ряд приложений геометрически оптимальных сеток к расчету гидродинамических и газодинамических течений в осесимметричных каналах сложных геометрий. [c.512]

Вспомним теперь, что Vg. г — s , г-ц, где и величина l)sg, г11 ограничена равномерно по Т. Поэтому существует такая последовательность Тп оо, что в пространстве со слабой топологией пространства, со- [c.165]

Определение 2.3.4. С-отображение называется С"-сильно структурно устойчивым, если оно структурно устойчиво и, кроме того, для любого отображения д 11 можно выбрать сопрягающий гомеоморфизм к = к таким способом, что и к , и к равномерно сходятся к тождественному отображению при приближении д к / в С"-топологии. [c.81]

Определение 2.3.5. С-диффеоморфизм называется топологически устойчивым, если он является фактором любого гомеоморфизма, достаточно близкого к нему в равномерной С°-топологии. [c.81]

Доказательство. Утверждение по существу следует из доказательства теоремы 2.4.6. Как мы отмечали, условий нашего утверждения достаточно, чтобы предъявить точки =о,1 к - - Однако длина отрезков Г не обязана стремиться к нулю при п- оо. Тем не менее, соответствие к монотонно и имеет плотный в [О, 1] образ, следовательно, оно может быть единственным образом продолжено до монотонного, но, возможно, не строго монотонного отображения к [р, р-Ь 1] — [О, 1], удовлетворяющего условию (2.4.8). Если / близко к Е ь С -топологии, то (2.4.7) гарантирует, что отображение к равномерно близко к тождественному. [c.89]

Первый член справа близок к Л". Во втором члене композиция о близка к единице и, следовательно, отделена от нуля (равномерно по х) так что мы можем выбрать таким образом, что вторая производная значительно превосходит вторую производную на некотором множестве. Заметим, что для доказательства того факта, что отображение /г принадлежит классу С, нет необходимости получать явные выражения для производных обратных отображений, потому что отображения близки к тождественному в С -топологии и, следовательно, производные обратных отображений малы при условии, что производные малы. Таким образом, мы получаем нужный пример. [c.421]

Доказательство. Пусть В (0,1) с С — открытый единичный круг. Обозначим через С7"(В(0,1)) пространство голоморфных функций, снабженное топологией равномерной сходимости на компактных множествах. Будет удобно использовать обозначение [c.518]

П1 в. Метрические пространства. Для определенных совершенно естественных понятий топологическая структура неудовлетворительна в том смысле, что требуется наличие равномерной структуры, т. е. топологии, в которой можно как-то сравнивать окрестности различных точек. Такая структура может быть определена абстрактно она существует, например, для топологических векторных пространств (см. определение П 2.1), но гораздо удобнее производить сравнение окрестностей для метрических пространств. [c.696]

Пусть В - банахово пространство. Всюду в этой главе используется только сильная топология ( порожденная нормой ). Поэтому все пределы и сходимости будут пониматься в смысле нормы. Пусть С -открытое множество в В и - сегмент вещественной прямой R. Пусть f(x,t) равномерно непрерывная функция из G х / в В. Рассмотрим следующую задачу. [c.341]

Лемма. Топология локально-равномерной сходимости. [c.45]

Определение 2.3.7. Поток ф N —> N называется орбитальньш фактором потока 1р М М, если существует сюръективное непрерывное отображение к МН, которое переводит орбиты (/з в орбиты ф . С-поток 1р называется топологически устойчивым, если он является орбитальным фактором любого непрерывного потока, достаточно близким к нему в равномерной топологии. [c.82]

Еслн X — компактное метризуемое топологическое пространство (например, компактное многообразие), то пространство С(Х,Х) непрерывных отображений из Х в себя обладает С°, или равномерной, топологией. Она получается, еслн зафиксировать метрику р в пространстве X и определить расстояние d между /,д С(Х,Х) по формуле [c.697]

Здесь линия, идущая вверх от одной топологии к другой, означает, что первая слабее второй. В дальнейшем мы будем пользоваться тем, что на ограниченных подмножествах множества Ъ Ж). а) сильная топология совпадает с ультрасильной и б) слабая топология совпадает с ультраслабой. Отметим также, что отображения А->-АВ (где элемент В фиксирован ) и В->АВ (где элемент А фиксирован ) непрерывны во всех пяти топологиях, но (если не считать равномерной топологии) отображения (Л, В)- АВ не являются непрерывными )- Кроме того, отметим, что отображение Л->Л непрерывно в равномерной, ультраслабой и слабой операторной топологии, но не является непрерывным ни в сильной, ни в ультрасильной топологии. На этом мы закончим наши предварительные замечания о пяти топологиях. [c.151]

Следствие. Множество периодических автоморфизмов плотно в пространстве всех автоморфизмов пространства Лебега (М, Ж, х), снабженном равномерной топологией, т. е. топологией, задаваемой метрикой diT , 7 ,) = supn- 7 i Ar2 ). [c.70]

Существуют е > О, непрерывное по хеЛ семейство С -вложений (px.t и непрерывное в топологии равномерной сходимости на компактах) по х А семейство инъективных С -иммерсий ц/х. - М, талие что [c.211]

Доказательство. Рассмотрим сначала неподвижные точки. По предложению 1.1.4 трансверсальные неподвижные точки изолированы, так что мы можем выбрать попарно непересекающиеся открытые множества 0(, покрывающие Р1х(/), так, что каждое множество О,- целиком содержится в некоторой координатной окрестности на М. Пусть р, — неподвижная точка из О . Выберем достаточно малые числа, 62, О <6, < 8 , и С -функ-цию р на положительной полупрямой так, что р = 1 на [О, и р = О вне [О, 2]- Пусть = + зр, и пусть ф О,- К" —такая карта, что ф р )=0. Рассмотрим семейство отображений которые совпадают с / вне и имеют вид /, х) = ф р, ф(х) ) ф(/(х))). Тогда /, ->/ в С -топологии при 3 -+ О и, таким образом, для достаточно малого з отображение является С -диффеоморфизмом, близким к / в С-топологии, с единственной неподвижной точкой р в О . Кроме того, p — гиперболическая неподвижная точка для поскольку все собственные значения дифференциала Д /, не лежащие на единичном круге, равномерно отделены от него, так что спектр дифференциала зрес(2)р/,) = 1-ь в) зрес( >р/) не пересекает единичный круг. Зафиксировав любое такое число з и проделав описанную процедуру последовательно для всех p Р1х(/), получаем наше утверждение для неподвижных точек. [c.299]

Пространство компактно в топологии равномерной сходимости в силу теоремы Арцела — Асколи П. 1.24. Поэтому функция [c.344]

Вообще говоря, асимптотическое поведение потоков на поверхностях характеризуется медленным ростом числа орбит, но они обладают менее равномерными типами возвращения и статистического поведения, чем обратимые одномерные отображения, изучаемые в гл. 11 и 12. Первое обстоятельство тесно связано с тем фактом, что и орбиты, и одномерные трансверсали к потоку локально делят поверхность второе же обязано своим появлением прежде всего более сложной, чем у окружности (и тора), топологии поверхностей рода выще единицы и, в меньщей степени, эффектам замены времени. Характерными проявлениями этого типа сложности, промежуточного между простым поведением нашей первой группы примеров ( 1.3-1.6) и диффеоморфизмами окружности с одной стороны и примерами с положительной топологической энтропией ( 1.7-1.9, 5.4, 9.6) с другой, являются теоремы о конечности числа нетривиальных замыканий орбит (теорема 14.6.3) и неатомарных эргодических инвариантных мер (теорема 14.7.6) для потоков на поверхностях рода больще единицы. Эти результаты параллельны единственности минимального множества (предложение 11.2.5) и строгой эргодичности (теорема 11.2.9) гомеоморфизмов окружности. [c.454]

Если пространство X о--компактно, можно ввести открыто-компкатные топологии для отображений и гомеоморфизмов, т. е. топологии равномерной сходимости на компактных множествах. [c.698]

Подгруппа Г группы О называется дискретной, если она замкнута и все ее точки изолированы в С. В этом случае однородное пространство С/Г орбит д еТ (соответственно пространство Г С, орбит Ьд Т), называется правым (соответственно левым) фактором С по Г. Еслн один из этих факторов (а следовательно, и другой) компактен в топологии факторпространства, Г называется равномерной нли кокомпактной решеткой. Нетрудно видеть, что для равномерной решетки любая правая (соответственно левая) мера Хаара по О проектируется в конечную борелевскую меру на однородном пространстве С/Г (соответственно Г С). Более общим образом, дискретная подгруппа Г называется решеткой в С, еслн правая мера Хаара на С проектируется в конечную меру на С/Г. [c.719]

Эффект пограничного слоя и разрывные решения идеальной кеплеровой задачи ([22], [23], [29]). Пусть М риманово многообразие, Е — его замкнутое подмногообразие, IV — нормальное расслоение над Т,, II — трубчатая окрестность I] в М, диффеоморф-ная г-окрестности нулевого сечения (так что (ж, у), ж < г, у Е Т., X ТуТ, можно считать координатами в и). Все векторные поля, о которых далее пойдет речь, принадлежат классу па своей области определения и зависят от параметра О непрерывно в точке а = О относительно топологии равномерной сходимости на компактах. [c.141]

Здесь V — трехмерное линейное пространство с топологией, которая создается нормой с равномерной сходимостью. Шестимерное линейное пространство симметричных тензоров с компонент тами обозначено как по следующим причинам. Уравне-1 ние (2.6.1) имеет форму, соответствующую той, которую предпи- сывает теория градиента первого порядка для определяющих величин в механике (в выражение виртуальной работы входят самое большее только первые пространственные градиенты от V ). Так как тензор 1 должен быть объективным и необходимо инвариантно при преобразованиях (2.5.2), то ввиду тривиальной инвариантности скалярного произведения сомножитель при 1 в выражении для должен быть объективен а этот сомножитель есть не что иное, как тензор скоростей деформации О причем О — объективная часть первого пространственного градиента от V (ср. соотношения (2.3.4) и (2.3.5)). Среди возможных полей пространства у некоторые представляют особый интерес. К ним относятся виртуальные поля скоростей абсолютно твердого тела, занимающего объем 5г. Согласно уравнению [c.110]

Читатель помнит, что в п. 4 мы подчеркивали необходимость различать в общем случае сети и последовательности и что (опять же в общем случае) подмножество 9 топологического пространства X замкнуто лишь при условии, что для каждой сети х на сходящейся к л е Ж, точка х принадлежит подмножеству 9 . Это утверждение справедливо, в частности, для слабой операторной топологии на 8(<3 ). Итак, мы говорим о новой, секвенциально слабой операторной топологии, когда называем подмножество 8 Ж) а-замкнутым в том и только в том случае, если для каждой последовательности Я из Я , сходящейся в слабой операторной топологии к элементу Я из 33 (<3 ), элемент Н принадлежит подмножеству Я . (Напомним [320, п. 84], что всякая последовательность сходящаяся в слабой операторной топологии, с необходимостью является равномерно ограниченной.) Для любого множества 5 в Ъ Ж) обозначим через о 9 ) сг-замыкание этого множества [т. е. наименьшее сг-замкнутое подмножество в Ъ(Ж), содержащее 9 ]. Определим конкретную 2 -алгебру Ш как С -алгебру операторов, действующих в гильбертовом пространстве Ж, такую, что [c.191]

Пусть а - открытое множество в Л/-мерном евклидовом пространстве 1К (на1фимф,0=К ) и 3)(й) - множество бесжонечно дифференци-рушых функций с компактным носителем в 2 (т.е. тождествшно равных нулю вне некоторого компактного множества в 2). Определим топологию (или понятие сходимости) наф( 2). Если в ( = 1,2,. ..) и в -функции из Ф(0), то запись 6 - 6° в Ф( 2) означает, что носители всех в содержатся в одном компактном множестве из 2 и в вместе со-всеми своими производными равномерно сходится к и к соответствующим производным. [c.13]

Пусть 3 и Т — римановы поверхности. В этом параграфе будет изучаться компактность на функциональном пространстве Но1(5, Т), состоящем из всех голоморфных отображений из 5 в Г. Вначале определим топологию на этом пространстве и на более щироком пространстве Мар(5, Г), состоящем из всех непрерывных отображений из 5 в Г. Эта топология известна в комплексном анализе как топология равномерной сходимости на компактных подмножествах или, более кратко, как топология локально-равномерной сходимости. Она известна топологам как компактно-открытая топология (задача 3-а) или как С°-топология. [c.44]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...