Системы с двумя степенями свобод нормальные

Пример 2. Для системы с двумя степенями свободы нормальной формой Биркгофа степени 4 будет [c.272]

Свободные незатухающие колебания в системах с двумя степенями свободы. Нормальные колебания (моды). Парциальные и нормальные частоты. Биения. Понятие спектра колебаний. Методика анализа колебаний двух связанных осцилляторов. Затухание колебаний и диссипация энергии. Вынужденные колебания. Резонанс. Колебания систем со многими степенями свободы. Дисперсионное соотношение. [c.47]

Нормальные координаты в случае малых колебании системы с двумя степенями свободы [c.245]

Рассмотрим сначала случай движения системы с двумя степенями свободы. Это позволят указать элементарную геометрическую интерпретацию перехода к нормальным координатам, которая далее распространяется на случай движения системы с произвольным числом степеней свободы. [c.245]

Легко заметить, что задача разыскания нормальных координат для системы с двумя степенями свободы эквивалентна известной задаче аналитической геометрии приведения уравнения алгебраической кривой второго порядка к канонической форме. [c.246]

Нетрудно показать в общем виде, что для любой системы с двумя степенями свободы с помощью соответствующего линейного преобразования можно перейти к нормальным координатам, причем уравнения колебаний в этих координатах имеют вид [c.242]

Так же, как в случае системы с двумя степенями свободы, для системы с п степенями свободы можно ввести нормальные координаты, т. е. такие координаты, которые совершают гармонические колебания при любых начальных условиях. Их можно ввести следующим образом. Зададим п гармонических колебаний вида [c.284]

Если же одинаково возбудить оба маятника в одном и том же направлении (рис. 35 слева) или в противоположных направлениях (рис. 35 справа), то перекачки энергии не будет. Эти два колебания называются нормальными колебаниями нашей связанной системы с двумя степенями свободы. В общем случае справедлива теорема [c.144]

НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 539 [c.539]

Нормальная форма системы с двумя степенями свободы. Рассмотрим голономную систему с двумя степенями свободы, для которой [c.539]

Систему (26.8.6) иногда называют нормальной формой системы с двумя степенями свободы. Эти уравнения описывают плоское движение частицы под действием силы консервативного поля с потенциалом у и гироскопической силы величиной направленной под прямым углом к скорости V. Здесь гироскопическая сила более общего типа, чем в 8.8 и 9.8, поскольку множитель не является постоянным и зависит от gj и 2- Если исходная система является натуральной, то = О и общая задача сводится к задаче [c.540]

Уравнения (2.110) соответствуют движению системы с двумя степенями свободы и служат для определения перемещений точек Л и 5 стержня. Решение этих уравнений удобно искать в виде разложения по нормальным формам колебаний. Этот метод позволяет окончательное решение для дисперсии упругих колебаний свести к квадратурам, которые вычисляют по таблицам. [c.132]

Теорема (Арнольд — Мозер [179]). Если в автономной гамильтоновой системе с двумя степенями свободы отсутствуют резонансы до четвертого порядка включительно и в нормальной форме (195) [c.236]

Если колебательная система состоит из п частей с массами гПп, упругостями Sn и сопротивлениями г,г, связанных друг с другом, т. е. имеет п степеней свободы, то ее колебания отличаются от колебаний системы с двумя степенями свободы, в основном тем, что вместо двух собственных частот и двух форм нормальных колебаний она имеет п собственных частот и п форм нормальных колебаний. При воздействии синусоидальной силы, приложенной к одной из частей системы, во всей системе возбуждаются сложные колебания, которые состоят из свободных колебаний с частотами, равными собственным частотам системы, и вынужденных колебаний с частотой внешней силы. [c.45]

Кинетическая и потенциальная энергия системы при Малых колебаниях с двумя степенями свободы. Нормальные координаты. [c.156]

Что представляет собой система с двумя степенями свободы С помощью каких величин описывается их движение 2. Какое положение называется устойчивым положением равновесия и каковы его условия 3. Какие колебания называются собственными колебаниями системы 4. Каковы дифференциальные уравнения колебаний системы с одной и двумя степенями свободы 5. Что представляют собой главные колебания системы 6. Как определяются частоты главных колебаний 7. Как определяются нормальные координаты [c.160]

Так как дифференциальные уравнения (3) являются линейными, то сумма частных решений (12) и (13) также представляет собой их решение. Таким образом, свободное движение системы с двумя степенями свободы можно представить в виде суммы нормальных колебаний [c.247]

Если такая динамическая система с двумя степенями свободы и постоянной энергии, равной нулю, имеет условный интеграл, линейный относительно скоростей, то посредством подходящего преобразования координат и времени уравнения могут быть приведены к нормальному виду, с главной функцией Ь, равной [c.58]

В большинстве задач, содержащих системы с двумя степенями свободы, не так легко на глаз найти нормальные координаты. Как правило, уравнения движения для систем с двумя степенями свободы — это два связанных уравнения. Одним из методов решения таких связанных дифференциальных уравнений является поиск новых переменных, которые являлись бы линейной комбинацией первоначальных, неудачно выбранных координат и которые давали бы не связанные, а разделенные уравнения движения. Такие новые координаты называются нормальными. [c.34]

Матричные уравнения движения, обобщающие случай системы с двумя степенями свободы на системы с п степенями свободы, рассмотрены в гл. 4, в которой описано использование метода нормальных форм колебаний к исследованию динамических задач, а также по- [c.12]

Фазовые портреты систем с двумя степенями свободы около замкнутой траектории при резонансе. Колебания около замкнутой траектории в системе с двумя степенями свободы описываются периодической по времени системой с одной степенью свободы, зависящей от параметра (п. 4.1). Система, имеющая резонансную нормальную форму для такой задачи, сводится к системе с одной степенью свободы можно строить ее фазовые портреты. Если коэффициенты при младших членах нормальной формы находятся в общем положении, то для дан- [c.283]

Нетрудно теперь понять, что любое колебание связанной линейной системы с двумя степенями свободы (а именно такие системы мы будем далее рассматривать) может быть представлено в виде суперпозиции двух нормальных колебаний (3.3) и (3.4) [c.49]

Понятие о нормальных координатах. Рассматривая колебания системы с двумя степенями свободы, мы нашли, что каждая обобщенная координата испытывает два гармонических колебания с разными частотами, т. е. совершает негармоническое колебание. Докажем, что величины [c.224]

Пример 26.1. Колебания системы с двумя степенями свободы и выбор нормальных координат. [c.225]

Полезно рассмотреть пример, приведенный в книге Уиттекера Аналитическая динамика , в котором рассматривается влияние слабого сопротивления среды на нормальные колебания системы с двумя степенями свободы. Заметим, что выбор именно двух степеней свободы позволяет выявить все главные особенности движений систем с большим числом степеней свободы и вместе с тем делает само решение достаточно прозрачным и не очень громоздким. [c.468]

Р. в системах с неск. степенями свободы. В системах с числом степеней свободы п 2 и в распределённых системах Р. сохраняет все осн. черты Р. в системе с одной степенью свободы. В линейном приближении собств. колебания этих систем представляют собой набор нормальных колебаний (мод). Если отклик системы представляет собой суммарный отклик всех степеней свободы, резонансная кривая будет наложением резонансных кривых отд. норм, колебаний и может иметь сложный характер. Так, в системе с двумя степенями свободы, ввиду того что собств. колебания могут происходить с двумя разл. частотами, Р. наступает при совпадении частоты гармонич. внеш. воздействия как с одной, так и с другой норм, частотой системы (рис. 5). Подбором параметров норм, колебаний можно создать резонансную кривую практически любой формы, что широко используется, напр, в радиотехнике, для создания фильтров частот. [c.630]

Рассмотрим зависимость нормальных частот системы от соотношения парциальных частот маятников. Для определенности будем считать, что изменяется только одна из парциальных частот, например С помощью соотношений (6.1.12) и (6.1.13) можно построить график зависимости квадратов собственных частот системы от V ] (рис. 6.4), называемый графиком Вина. Как мы видим, при любом V2 парциальные частоты лежат между собственными частотами. Это свойство является общим для любых систем с двумя степенями свободы. [c.243]

Так же как для систем с двумя степенями свободы, в рассматриваемых системах можно ввести нормальные координаты. Число нормальных координат равно числу степеней свободы системы. Движение каждой нормальной координаты происходит независимо от остальных. Поэтому каждая нормальная координата совершает гармоническое колебание с собственной, или нормальной, частотой. Любые свободные и вынужденные колебания можно представить в виде суперпозиции нормальных колебаний. [c.281]

Р. в связанных колебат. системах сохраняет основные черты Р. в системах с одной степенью свободы, но может протекать существенно иначе по двум причинам во-первых, связанным системам свойственно не менее чем 2 нормальных колебания, вообще говоря, с различными нормальными частотами во-вторых, в связанных системах возможно одновременное внешнее воздействие на неск. парциальных систем, образующих связанную систему. Для упрощения ограничимся рассмотрением связанной колебат. системы без потерь, обладающей двумя степенями свободы. В общем случае на каждую из двух координат может действовать гармонич. внешняя сила, причем амплитуды внешней силы, действующей на 2 раз- [c.396]

Как уже говорилось в предыдущем параграфе, демпфирование становится исключительно важным в том случае, когда периодические возмущения имеют частоту, близкую к одной из частот собственных колебаний системы со многими степенями свободы. Вопрос об установившихся вынужденных колебаниях систем с двумя степенями свободы исследовался в п. 3.8 с помощью метода передаточных функций. Этот подход может быть легко распространен на системы с п степенями свободы, при этом основные соотношения [см. выражения (3.51) и (3.52) J сохраняют свою форму неизменной. Однако решение в рамках указанного подхода требует обращения матрицы порядка п X п, содержащей комплексные числа. Если собственные значения и собственные векторы системы предварительно были определены тем или иным способом, подходу с использованием передаточных функций лучше предпочесть метод нормальных форм колебаний. Зная частоту изменения возмущений и собственную частоту колебаний системы, можно непосредственным путем определить динамические перемещения по формам колебаний, чьи частоты близки к частоте возмущения. Ниже, будут рассмотрены возмущения, имеющие вид либо одной гармонической функции, либо произвольного вида периодических функций, при этом будет предполагаться, что система имеет либо пропорциональное демпфирование, либо демпфирование по формам колебаний, аналогичное тому, о котором говорилось в предыдущем параграфе. [c.306]

Мы специально выбрали три примера (8—10) продольные колебания (рис. 1.9), поперечные колебания (рис. 1.11) и связанные L -цепи (рис. 1.12), так как эти системы имеют одинаковую пространственную симметрию и их уравнения движения и нормальные моды имеют одну и ту же математическую форму. Эти системы рассмотрены еще и потому, что, обладая двумя степенями свободы, они являются естественным продолжением простых систем с одной степенью свободы, которые мы рассматривали в примерах 2—4 в п. 1.2 (см. рис. 1.3—1.5). Во второй главе мы обобщим эти три примера для неограниченно большого числа степеней свободы. [c.42]

Ура1внения (135.55) (вынужденных колебаний системы с двумя степенями свободы в нормальных координатах независимы друг от друга. Эти уравнения совпадают с уравнением (133.71) вынужденного колебания точки. Если частота возмущающей силы р совпадает с частотой одного из собственных колебаний системы k или /гг, то в решение множителем войдет время /. Следовательно, одна из нормальных обобщенных координат при возрастании t может быть сколь угодно большой (резонанс). Значения частот р возмущающей силы, ра(вной одной из частот собственных колебаний системы ( i,. 2), называют критическими частотами возмущающей силы. [c.218]

Таким образом, исходная система с двумя степенями свободы, но с тем ограничением, что она может совершать только синфазные колебания (и поэтому ее положение определяется заданием одной координаты), и будет представлять собой первую парциальную систему для исходной системы, описываемой координатами i/j и 1/3. Соответственно частота первой парциальной системы будет совпадать с частотой синфазных колебаний исходной системы, т. е. с более медленной из ее нормальных частот. Вторая п.эрциальная система, получающаяся при новых координатах и i/g, когда (/, = О, т. е. 1/3 = (/з, будет совпадать со второй парциальной системой при старых координатах, и значит, частота ее будет выше более медленной и ниже более быстрой из нормальных частот исходной системы, [c.639]

Разработав методику исследования кинетостатики цепей третьего класса, Ассур рекомендует применить ее и к нормальным цепям четвертого класса. Так как теория вспомогательного рычага в значительной степени облегчает решение поставленной задачи, то ее методикой можно пользоваться вообш,е при исследовании механизмов с двумя степенями свободы. Но раз задача об определении условий равновесия системы с двумя степенями свободы может совершаться с удобством при помош,и теории вспомогательного рычага, что почему бы не попытаться, вместо последовательного отбрасывания двух новодков, сделать это одновременно. Ведь и в этом случае, принимая скорости свободных концов остальных новодков равными нулю, получим систему с двумя степенями свободы. Искомыми явятся моровские напряжения двух отброшенных поводков, так что данную систему сил придется уравновесить двумя силами, точки приложения и направления которых даны. [c.166]

В отличие от одиночного маятника такая система имеет две собственные частоты. Та или иная из этих частот устанавливается в зависимости от способа возбуждения системы. Более низкая частота oi получается при качании обоих маятников Б одной фазе (рис. 11.25,6). Более высокая частота соз при качании маятников в противофазе (рис. 11.25, в). То, что сог > wi, объясняется тем, что возвращающая сила при колебаниях в противофазе больше, чем при колебаниях в одной фазе, за счет деформации связывающей пружины. Если упругость пружины невелика, то различие в частотах будет небольшим. Отметим, что разбираемая система обладает двумя степенями свободы (двумя координатами), так как ее положение в каждый момент времени определяется положением обоих маятников. Система с двумя степенями свободы обладает двумя собственными частотами, которые называются нормальными. Это означает, что при специальных способах возбуждения можно вызвать колебания маятников либо в одной фазе (с частотой oj), либо в противофазе (с частотой сог)- Но при произвольном возбуждении возникают колебания того и другого типа и, следовательно, обе частоты появляются одновременно. Каждый маятник, таким образом, участвует в двух колебанйях, близких по частоте. А в этом случае, как мы знаем, результирующее колебание маятника представляет собой биения. Итак, при произвольном возбуждении системы из двух связанных маятников возникают биения. При этом частота колебаний маятников [c.351]

Условные интегралы, линейные относительно скоростей. В предыдущем параграфе мы рассматривали интегралы, линейные относительно скоростей и годные для всех значений постоянной энергии. Более трудную проблему представляет собою нахождение условного интеграла, годного для какого-нибудь определенного значения постоянной с энергии, например, для с = 0. В настоящем параграфе мы рассмотрим этот вопрос для случая системы с двумя степенями свободы. В этом случае, как было показано раньше, мы можем, совершив преобразование персмсипых, получить уравнения движения и интеграл энергии в нормальной форме [c.56]

Эти диаграммы полезны и при большем числе степеней свободы. Действительно, пусть в системе с п степенями свободы приближенно выполнено единственное резонансное соотношение между двумя частотами. Тогда ее нормальная форма имеет п—2 интеграла Р( = onst и приводится к системе с двумя степенями свободы. В результате получается одна из рассмотренных нормальных форм, коэффициенты которой зависят от параметров 1. [c.280]

В сплошных системах (струна, стержень и др.) Р. сохраняет те же основные черты, что и в системе с двумя степенями свободы. Однако в таких системах, в отличие от систем с одной степенью свободы, существенную роль играет точка приложения внешнего воздействия возможны случаи, когда, несмотря на совпадения частоты внешнего воздействия с одной из нормальных частот системы, Р. всё же не наступает. Пример этого —возбуждение вынужденных колебаний в струне, когда внешняя сила, совпадающая по частоте с одной из собственных частот струны, приложена в узле скоростей для данного нормального колебания, а поскольку сила, приложенная к неподвижной точке струны, не совершает работы, мощность от источника внешней силы в систему не ностунает и сколько-нибудь заметного возбуждения колебаний струны не возникает, т. е. Р. не наблюдается. [c.303]

Решение. Регулятор в целом представляет собой систему с двумя степенями свободы. Выбираем обобщенные коор.тинаты угол поворота вокруг оси ОС, который обозначим 3, и угол поворота стержней О А и ОБ вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к плоскости ОАВ, который назовем 9. Определим значение угла 9(,, соответствующее вращению системы с постоянной заданной угловой скоростью pd = o)g. Для этого достаточно рассмотреть относительное равновесие одного из шаров (рнс. б). К шару приложены вес P P=mg) и реакция стержня N. Присоединяя к этим силам нормальную силу инерции 7 (У = /я/sin 9gMg), можем рассматривать совокупность трех сил как уравновешенную систему. [c.654]

Продолжение примечания с предыдущей страницы. Движение лиувиллевой системы (рис. 49) в проекции на каждую координатную ось имеет такой же колебательный характер, как движение в потенциальной яме (рис. 41). Таким образом, лиувиллева система сводится к двум системам с одной степенью свободы (но эти системы зависят, вообще говоря, от полной энергии исходной системы как от параметра, так что здесь нет такого тривиального распадения системы на одномерные, какое наблюдается при линеаризации после перехода к нормальным координатам иначе говоря, лиувнллева система в общем случае не является прямым произведением одномерных). Наконец, представление Пуансо (см. рис. 66) тоже можно рассматривать как сведение случая Эйлера к (ненатуральной) гамильтоновой системе с одной степенью свободы (см. рис. 74), [c.286]

Более сложная модель системы показана на рис. 5 она представляет собой систему с двумя степенями свободы перемещения резца в плоскости действия силы резания. Показан типичный случай, когла система имеет разную жесткость в различных направлениях и сила резания по направлению не совпадает пи с одной из главных осей жесткости. В этом случае смещение вершины резца не совпадает с направлением действия силы. Возникает связь (координатная, статическая, упругая) между перемеще-чиями по направлению действия силы и в перпендикулярном к ней направлении (в системе возможны другие виды связей — инерционная, скоростная). Учитывая сказанное, нетрудно представить себе возникновение фазового отставания танген-ВДальной составляющей силы резания от перемещения вершины резца в направлении действия этой силы. Величина силы зависит от толщины срезаемого слоя, определяе-ого смещением вершины резца в направлении, нормальном к этой силе, и происходящем с фазовым сдвигом по отношению к тангенциальному смещению. Вершина резца Рч Этом движется по эллиптической траектории (рис. 5, а). При движении (рис. 5, 6) д Рону действия силы резания (положения 1—3) резец врезается на большую Hii увеличивая тем самым силу. При движении в обратном направлении (положе- ) резец снимает слой меньшем толщины и сила уменьшается. За цикл колеба-ц, совершает работу (рис. 5, в), пропорциональную площади эллипса переме- [c.123]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...