Резонансные нормальные формы

Определение. Резонансной нормальной формой гамильтониана степени для резонансов из К называется многочлен степени от симплектических переменных Р<, Q ,. который в полярных координатах (9) зависит от фаз ф только через их комбинации к, ф), к К. [c.273]

Теорема 7 ([156]). Предположим, что собственные частоты не удовлетворяют никаким резонансным соотношениям степени и меньше, за исключением, быть может, соотношений (к, (й) =0, Ле/С. Тогда существует такая симплектическая замена переменных р, д Р, Q в окрестности положения равновесия, что в новых переменных функция Гамильтона приводится к резонансной нормальной форме степени для резонансов из К с точностью до членов степени -1-1. [c.273]

Опреде.пение. Неавтономной резонансной нормальной формой гамильтониана степени Ь для резонансов из называется многочлен степени /. от симплектических переменных Я , Q , который в полярных координатах (9) зависит от фаз ф< и времени ( только через их комбинации к1(р1+. .+k,(p +koi, где (ки. .., к , ко) ( К. [c.283]

Фазовые портреты систем с двумя степенями свободы около замкнутой траектории при резонансе. Колебания около замкнутой траектории в системе с двумя степенями свободы описываются периодической по времени системой с одной степенью свободы, зависящей от параметра (п. 4.1). Система, имеющая резонансную нормальную форму для такой задачи, сводится к системе с одной степенью свободы можно строить ее фазовые портреты. Если коэффициенты при младших членах нормальной формы находятся в общем положении, то для дан- [c.283]

Таким образом, применение амплитудно-фазовых характеристик дает возможность определить величину и расположение дисбаланса и получить более полную информацию о динамическом состоянии ротора. На основе анализа амплитудно-фазовых характеристик можно выделить нормальные формы колебаний, определить линеаризованные коэффициенты демпфирования по величине резонансного диаметра. Наклеенные тензодатчики могут служить в качестве чувствительных элементов при автоматической балансировке, могут оставаться на теле ротора в процессе эксплуатации и давать информацию о вибрационном состоянии ротора. [c.106]

Остался еще без ответа вопрос о роли членов в нормальной форме, для которых выполнено условие (1.19). Полного ответа на этот вопрос нет. Можно лишь отметить, что, как будет показано в 2, в некоторых случаях эти, так называемые резонансные члены, весьма существенны. [c.99]

Таким образом, нормальная форма — это форма, в которой в разложении правых частей по степеням переменных присутствуют лишь резонансные члены. [c.198]

Теперь наш осциллятор записан в виде, к которому может быть применен метод нормальной формы Пуанкаре. Поскольку Л1 = = —г, Аг = г, то в правой части написанного уравнения присутствует только один резонансный член (для него А1 = 2А1 + Л2). Поэтому нормальная форма Пуанкаре второго порядка имеет вид [c.200]

Если система (1) автономна, то сформулированные утверждения о неустойчивости остаются в силе надо только в резонансном соотношении (3) и нормальной форме функции Гамильтона положить ТУ = 0. Если п = 1 и система неавтономна или она автономна и п = 2, то при выполнении неравенства (16) с обратным знаком имеет место устойчивость по Ляпунову. [c.122]

Теорема. Если система не резонансная порядка s и меньше, то существует 2п-периодически зависящее от времени каноническое преобразование, приводящее систему в окрестности положения равновесия к такой же нормальной форме Биркгофа степени s, как если бы система была автономной, с той лишь разницей, что остаточные члены R степени s i и выше будут периодически зависеть от времени. [c.355]

Особенно опасны резонансы низких порядков, так как они влияют на первые члены ряда Тейлора. Если нас интересует замкнутая траектория, для которой собственные числа близки к резонансному соотношению низкого порядка, то нормальную форму Биркгофа следует несколько видоизменить. А именно, при резонансе порядка N обращаются в нуль некоторые из выражений [c.356]

Случай резонанса четвертого порядка стоит несколько особняком. Дело в том, что в этом случае в нормальной форме имеются как резонансные, так и нерезонансные члены четвертой степени. Вид фазовых кривых укороченной системы зависит от того, какой из этих членов нормальной формы перетянет резонансный плп нерезонансный. В первом случае перестройка такая же, как для резонанса третьего порядка, только вместо треугольника — квадрат. Во втором случае перестройка такая же, как при п > 4. [c.365]

Определение 6.6.2. Отличный от нуля член с х , входящий в выражение для г-й координаты, обязанный своим происхождением наличию резонанса = Л, называется резонансным членом. Под нормальной формой отображения понимают отображение, гладко эквивалентное /, степенной ряд которого содержит только линейные и резонансные члены. [c.286]

В нерезонансном случае формальная нормальная форма линейна. Связь классификаций нерезонансных ростков в гладком и в аналитическом варианте описана в 6 главы 3 и 1 главы 4. Резонансный случай для голоморфных ростков исследован так же подробно, как нерезонансный (см. п. 2.1). Ввиду крайней жесткости условия А, класс формально эквивалентных аналитических ростков векторных полей с резонансной линейной частью в особой точке почти никогда не совпадает с классом аналитически эквивалентных ростков. О гладком случае см. теорему Ченя и некоторые другие теоремы ( 6, гл. 3 и 2, гл. 6). [c.81]

В резонансном случае выражение для фундаментальной матрицы решений сложнее, но формальная нормальная форма, линейной системы с регулярной особой точкой всегда интегрируется. На этом основан метод Фробениуса, позволяющий интегрировать уравнение (5) с регулярной особой точкой с помощью рядов [37], независимо от наличия резонансов. [c.126]

Теорема 6 (Биркгоф [22]). Предположим, что собственные частоты (О не удовлетворяют ни одному резонансному соотношению порядка I и меньше. Тогда существует такая симплектическая замена переменных р, ( в окрестности положения равновесия, что в новых переменных функция Гамильтона приводится к нормальной форме Биркгофа степени I с точностью до членов степени Ь+ [c.272]

Для случая, когда собственные частоты удовлетворяют некоторым резонансным соотношениям, определение нормальной формы надо модифицировать. Такая же модификация целесообразна и для частот, близких к резонансным. Пусть К —подгруппа целочисленной решетки 1". [c.273]

Теорема 8. ([77], [94], [117—119], [132]). Если собственные частоты удовлетворяют резонансному соотношению порядка 4 и выполнены условия общности положения п. 3.2, то равновесие исходной системы устойчиво или неустойчиво одновременно с равновесием нормальной формы. [c.281]

Теорема 10. (Биркгоф [22]). Предположим, что собственные частоты (о< 2л-периодической системы (15) не удовлетворяют ни одному резонансному соотношению порядка /. и меньше. Тогда симплектической 2я-периодической по времени заменой переменных функция Гамильтона приводится к такой же нормальной форме Биркгофа степени как если бы система была автономной, с той лишь разницей, что остаточные члены степени -Ы и выше будут 2л-периодически зависеть от времени. [c.283]

Резонансные нормальные формы. Пусть линейный оператор Л имеет жорданову нормальную форму, г= (гь. .., 2 ) — координаты в жордановом базисе соответствует собственному значению Я . Одночлен называется резонансным членом, если выполнено соотношение [c.109]

Теорема 11. Пусть собственные частоты не удовлетворяют никаким резонансным соотношениям порядка Ь и меньше, за исключением, быть может, соотношений кхт-Ь. ..+кщШп+ -ЬЛо=0, где ( 1.....кп, ко) К. Тогда существует симплектическая 2л-периодическая замена переменных, приводящая га-мильтс1 иан к неавтономной резонансной нормальной форме степени I для резонансов из /С с точностью до членов степени -I-1. [c.283]

Комментарий. Двумерная система (10) получается из четырехмерной системы с двумя мнимыми парами собственных чисел следующим образом х означает квадрат модуля первой, а у — второй (комплексной) координаты после приведения системы к нормальной форме Пуанкаре—Дюлака. В предположении несоизмеримости частот (отношение различных по модулю чисто мнимых собственных значений иррационально) резонансные члены выражаются через х в. у, поэтому нормальная форма факторизуется до указанной двумерной системы. [c.31]

Нормальные формы колебаний некоторых механических систем не являются ортогональными. Таковыми, например, являются резонансные формы струн и стержней, к концам которых присоединены зависящие от частоты импедансы, нормальные волны в твердых волноводах и другие. Неортого-нальность создает дополнительные трудности при расчете этих систем на вынужденные колебания и не дает возможности точно решить ряд практически важных задач. [c.6]

Современный, основанный на методе конечных элементов подход является перспективным при исследовании динамических характеристик сложных конструкций, в которых могут возникать колебания различных форм. Многоцелевые пакеты программ NASTRAN, ANSYS и MAR [4.12] давно используются многими исследователями для решения задач о колебаниях конструкций. Обычно метод конечных элементов используется для определения резонансных частот и нормальных форм колебаний. Многие из этих пакетов программ позволяют учитывать в той или иной форме демпфирование. Однако если метод конечных элементов используется для получения количественных оценок влияния вязкоупругих материалов, имеющихся в рассматриваемой конструкции, то следует быть очень внимательным, чтобы не попасть в ловушку. Опасность здесь таят как необозримо большое время расчета на ЭВМ и высокие требования при работе с комплексными числами, характеризующими жесткости, так и чрезмерное упрощение задачи при попытке получить решаемую систему уравнений, поскольку эти уравнения будут неправильно моделировать реальную задачу. [c.187]

Из Приведенных соотношений видно, что теория динамического поведения произвольной однопролетной балки, для которой с определенной точностью можно достаточно хорошо выделять резонансные частоты колебаний, может быть сведена к единственному соотношению, если для каждой системы полученных условий определены параметры эффективных масс и жесткостей. Для ряда случаев интегралы и ряды в выражении (5.18) можно вычислить с помощью таблиц нормальных форм колебаний, составленных Бишопом и Джонсоном [5.19]. Некоторые из этих интегралов и рядов приведены в табл. 5.1 для ряда концевых условий. [c.218]

Одим из основных технических приемов при исследовании системы (1) является разработанный егце в 1879 г. метод нормальных форм Пуанкаре [14], который в последние десятилетия нашел широкое применение в разнообразных нелинейных задачах [15]. Сугцность метода нормальных форм Пуанкаре в задаче об устойчивости системы (1) состоит в том, что при помогци близкого к тождественному канонического преобразования qj,Pj функция Гамильтона (2) приводится к некоторой простейшей (нормальной) форме. Соответствуюгцая ей каноническая система дифференциальных уравнений сугцественно упрогцается, что значительно облегчает ее исследование. Нормальная форма функции Гамильтона будет различной в резонансном и нерезонансном случаях. [c.115]

По коэффициентам нормальной формы функции Гамильтона, на основании соответствуюгцих теорем, полученных к настоягцему времени для резонансных и нерезонансных случаев, можно сделать те или иные выводы об устойчивости системы (1). [c.116]

Теорема. Предположим, что собственные частоты щ не удовлетворяют ни одному резонансному соотношению порядка 8 и меньше. Тогда существует такая каноническая система координат в окрестности положения равноеесия, что в ней функция Гамильтона приводится к нормальной форме Биркгофа степени 8 с точностью до членов степени + 1 . [c.353]

Используя пары инволюций, Мельроз нашел локальную нормальную форму пары гиперповерхностей симплектического пространства в описанной ситуации (в С -постановке, так как в аналитическом случае ряды расходятся, как в теориях Экаля (1975) и Воронина (1981) резонансных динамических систем). [c.459]

Определение. Пусть (21,..., г )—координаты, в которых матрица линейной части формального векторного поля V имеет жорданову нормальную форму пусть X — спектр этой матрицы. Одночлен называется резонансным членом, [c.59]

Теорема Пу анкар е- Д юл ака ((Н. Ви1ас) [8]). Формальное векторное поле с особой точкой нуль и резонансной линейной частью формально эквивалентно такому полю, линейная часть которого имеет жорданову нормальную форму 1г, а нелинейные члены резонансны. Это поле имеет вид [c.59]

Дифференциальные уравнения с резонансной линейной частью, записанные в нормальной форме Пуанкаре—Дюлака, имеют, как правило, богатую группу симметрий и допускают понижение порядка. Порядок полученного уравнения (так называемой факторсистемы) равен числу линейно независимых резонансных соотношений на спектр линейной части. В случае, когда это число равно 1, нормальная форма Пуанкаре—Дюла- [c.59]

Теорема ([95 11, близкая теорема содержится в книге [18]). Пусть формальное векторное поле V имеет однорезонанс-ную линейную часть и пусть все резонансные соотношения являются следствиями одного (г, Я)=0, гб2+". Пусть ю г)=1г- -1ц и)—нормальная форма Пуанкаре—Дю- [c.60]

Формальные замены, приводящие ростки аналитическнз векторных полей с нерезонансной линейной частью к линейной нормальной форме, называются в этом параграфе нормализующими рядами при их вычислении приходится делить на выражения iX,k)—kj, где /= ( ,/) fe =SA< 2, /е 1,rt эти выражения обращаются в О для резонансных наборов. Для нерезонансного набора X множество чисел (Я,, A)—Xj k, i) J имеет предельную точку нуль, если в только если X принадлежит области Зигеля. Числа из этого множества и называются малыми знаменателями их, появление затрудняет сходимость нормализующих рядов. [c.78]

А. Д. Брюно и П. М. Елизаровым [60, с. 165, 144] анонсиро- ваны теоремы об аналитических нормальных формах росткоВ резонансных векторных полей, подобные теореме Пуанкаре—Дюлака. ) Эти теоремы описывают какие мономы тейлоровского разложения ростка векторного поля можно убить с помощью аналитической замены координат. Полученная при этом нормализованная нелинейность содержит так мало членов, что два ростка с разными нормализованными нелинейностями аналитически неэквивалентны. [c.101]

Резонансный случай. В резонансном случае формальная нормальная форма ростков диффеоморфизмов дается формулируемой ниже теоремой Пуанкаре—Дюлака. [c.105]

Определение. Пусть Zi,..., 2 — координаты, в которых матрица линейной части ростка диффеоморфизма в неподвижной точке имеет жорданову нормальную форму Zj соответствует собственному значению Я (числа Я, необязательно различны). Одночлен d/dzj называется мультипликативно резонансным членом, если выполнено резонансное соотношение Яз=Я". [c.105]

Теорема Пуанкаре—Дюлака. Формальное отображение с резонансной линейной частью формально эквивалентно такому отображению, линейная часть которого имеет жорданову нормальную форму, а нелинейная часть содержит только мультипликативно резонансные члены. [c.105]

Формальные ряды, приводящие росток диффеоморфизма иа области Зигеля с резонансной линейной частью к нормальной форме Пуанкаре—Дюлака, за редкими исключениями расходятся (теорема А. Д. Брюно [18 31]). В гладком случае справедлива [c.106]

Фазовые кривые новой системы вне шюсксхгги /=0 совпадают с интегральными кривыми старой. Теорема Пуанкаре—Дюлака (п. 3.2, гл. 3) позволяет найти формальную нормализующую замену, сопрягающую автономную систему с ее формальной нормальной формой, нелинейная часть которой содержит только резонансные члены. Для систем, линейных по 2, эта теорема может быть усилена нормальная форма и нормализующая замена линейны по 2, причем нормализующая замена сохраняет время t, [c.125]

Замечание ([184]). Относительная мера множества инвариантных торов в полидиске т <е не меньше 1—Если между частотами отсутствуют резонансы до порядка / 4 включительно, то эта мера даже не меньше 1—0(е ). Д В случае п = 2 изознергетическая невырожденность гарантирует устойчивость равновесия по Ляпунову [5]. При п = 2 условие изоэнергетической невырожденности заключается в том, что квадратичная часть функции Но не делится на линейную. Если даже квадратичная часть делится на лннелную, то равновесие все равно, как правило, устойчиво. Именно, предположи.м, что между частотами о)1 и ыг нет резонансных соотношений до порядка 1>4 включительно. Тогда функцию Гамильтона можио привести к нормальной форме [c.207]

Так как, по предположению, гамильтониан имеет нормальную форму, то он не зависит от соответственно / — интеграл задачи. Сделаем изоэнергетическую редукцию на уровне энергии Я=А (см. [6]), в качестве нового времени введем фазу х- Получим приведенную систему с одной степенью свободы, гамильтониан которой зависит от параметра А. Ее фазовый портрет и надо исследсшать. В случае общего положения портрет существенно зависит еще от одного параметра — резонансной расстройки б = 1(й1-1-Л2<й2- [c.275]

Эти диаграммы полезны и при большем числе степеней свободы. Действительно, пусть в системе с п степенями свободы приближенно выполнено единственное резонансное соотношение между двумя частотами. Тогда ее нормальная форма имеет п—2 интеграла Р( = onst и приводится к системе с двумя степенями свободы. В результате получается одна из рассмотренных нормальных форм, коэффициенты которой зависят от параметров 1. [c.280]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...