Маятник нелинейный

Решение этого нелинейного дифференциального уравнения колебаний маятника представляет известные трудности. Поэтому решим задачу приближенно, считая колебания маятника малыми. Разложив sin ср в ряд [c.188]

Рассмотренный в предыдущем параграфе пример маятника показывает, какие математические трудности возникают при точной постановке задачи о нелинейных колебаниях. Вместе с тем необходимость в решении задач такого рода, выдвинутых вначале астрономией и механикой, а затем главным образом радиотехникой, настолько возросла, что потребовала созданий при ближенных методов, доступных для практических вычислений. [c.504]

Если точка подвеса медленно колеблется в вертикальном направлении, то даже в том случае, когда а изменяется по гармоническому закону и среднее значение а = О, все же колебания точки подвеса сказываются на среднем периоде колебаний маятника. Эго обусловлено тем, что период колебаний нелинейна зависит от а, п [c.411]

Для иллюстрации путей качественного исследования колебательных движений весьма полезно рассмотрение некоторых типичных примеров механических систем. В качестве одной из простейших механических нелинейных консервативных систем рассмотрим идеальный маятник. [c.23]

Из фазового портрета видно, что при малых амплитудах колебаний, как и в случае идеального маятника, фазовые траектории близки к эллипсам, т. е. малые движения в нелинейной системе близки к гармоническим колебаниям в линейной системе. [c.33]

В системе, нелинейной за счет одного из консервативных параметров, наличие линейного трения также приводит к качественному изменению фазового портрета системы по сравнению с фазовым портретом подобной же системы в пренебрежении затуханием (трением). При этом исчезают существовавшие в случае консервативных систем особые точки типа центр и на их месте появляются особые точки типа устойчивого фокуса или устойчивого узла, а вместо континуума замкнутых фазовых траекторий возникают свертывающиеся траектории, приводящие из любого места фазовой плоскости (при любом начальном состоянии) к устойчивой особой точке — состоянию покоя. Наличие нелинейного консервативного параметра в колебательной системе в первую очередь сказывается на форме фазовых траекторий, которые в этом случае не являются логарифмическими спиралями на всей фазовой плоскости, а переходят в них в окрестностях особой точки типа фокуса. Для иллюстрации можно привести фазовый портрет маятника при учете линейного трения (рис. 2.6). Описывающее его дифференциальное уравнение имеет вид [c.52]

Очевидно, это уравнение всегда имеет тривиальное решение V = О, означающее, что при вертикальном положении маятника условие равновесия выполняется при любом значении Р. Имеется и второе решение если <р ф Q, то Р = с/1. Следовательно, линеаризованное уравнение (13.3) дает ту же самую точку бифуркации А, которую мы нашли из нелинейного уравнения (13.1). Но важно подчеркнуть, что линеаризованное уравнение не содержит никакой информации о конечных перемещениях системы при Р > Р р- [c.512]

Приближенное решение задачи о нелинейных колебаниях маятника получается теперь из формул (57), (60), (62), выражающих исходные величины ср, рср через новые переменные, в которых записано решение (63). [c.405]

Довольно подробно рассматривается обп ая теория малых колебаний около положения равновесия показывается, как вводятся нормальные координаты. Теория иллюстрируется на примерах малых колебаний двойного маятника, молекулярных колебаний в некоторых простых молекулах, нормальных колебаний одномерного кристалла. Рассмотрены двухатомные и линейные и нелинейные трехатомные молекулы типа А В. В заключение обсуждается простой случай колебаний около равновесного (устойчивого) движения. [c.67]

Угол у принимают равным половине максимального угла отклонения маятника фтах с тем, чтобы свести к минимуму нелинейность за счет изменения угла передачи силы Р. [c.343]

Хотя изложенное выше предполагает линейный характер колебаний, но линейность системы не следует считать условием успешного гашения колебаний. Напротив, нелинейность, появляющаяся при больших колебаниях маятника, дополнительно способствует гашению колебаний. [c.262]

Данному вопросу в настоящее время посвящено достаточно много работ, в которых рассматривается движение цапфы как плоская задача, но без учета гибкости ротора. Решение этой задачи связано с громоздкими и сложными выкладками, так как движение цапфы в подшипнике рассматривается как колебания маятника при больших амплитудах, что приводит к нелинейной задаче с параметрическим возбуждением. Учет же гибкости ротора делает решение задачи в такой постановке малопригодной для практики, так как еще в большей степени затрудняется анализ основных факторов, влияющих на характер движения цапфы в подшипнике. [c.350]

Исследования свойств нелинейных динамич. систем показали, что для мн. таких систем характерно не только упорядоченное, регулярное движение, но и случайное изменение состояния. Парадоксальность вывода следует из того, что это движение возникает в отсутствие случайных факторов и полностью определяется нач. условиями. Иллюстрацией может служить матем. маятник с периодически колеблющейся точкой подвеса. Возмущение маятника не случайно, однако его движение может быть как условно-периодическим, так и случайным в зависимости от выбираемых нач, условий. [c.397]

Стохастич. слой является зародышем хаоса в гамильтоновых системах. Примеры образования таких слоев видны на рис. 7(й). Они образуются при любых сколь угодно малых возмущениях и поэтому являются примером неустранимого хаоса. Пусть, напр., задан нелинейный маятник, описываемый ур-нием движения [c.400]

Кроме того, исследовалось влияние других нелинейностей (нечувствительности маятника, люфта в направляющем аппарате) на характер переходного процесса. [c.61]

В упомянутых линеаризованных дифференциальных уравнениях движения не был принят во внимание такой нелинейный фактор, как центробежная сила, развиваемая маятником при его качаниях и воспринимаемая шарниром. Текущее значение этой силы [c.244]

Возбуждение высших гармоник как центробежной силой качания маятника, так и колебаниями мощности встроенного двигателя представляют собой нелинейные эффекты, и поэтому к ним неприменим принцип суперпозиции. Их следует рассматривать совместно, что позволяет учесть их взаимное влияние. [c.245]

В теории нелинейных колебаний метод усреднения использовался в отдельных случаях в неявном виде (например, М. В. Остроградским для решения уравнения с кубической характеристикой и Ньютоном при нахождении формулы для периода колебаний маятника). [c.85]

Данные Кельвина были получены из чрезвычайно тщательно поставленных экспериментов с крутильными длинными проволочными маятниками, амплитуда колебаний которых находилась в области малых деформаций. Влияние пластической деформации на модули, будь то в ( рме микродеформаций или больших деформаций, является одним из главных источников нелинейной упругости при малых деформациях разумеется, в металлах, поведение которых до сих пор было описано с этой точки зрения. [c.125]

До сих пор мы рассматривали внешние воздействия, входящие в уравнения движения аддитивно (внешние силы). При параметрических внешних воздействиях на нелинейные осцилляторы наблюдаются не менее интересные эффекты. Возможные наборы бифуркаций и хаотических режимов для таких осцилляторов описаны в 4 главы 7 (в основном по материалам работ [60, 62—67]). Здесь мы остановимся на результатах других работ и обратим особое внимание на качественные стороны поведения системы и спектральные характеристики колебаний. Уравнение физического маятника с колеблющейся осью подвеса имеет вид [c.276]

Характерным примером автоколебательной системы являются часы с маятником. Колебательное двиящние маятника вызывается непериодическим движением гири, которая, опускаясь, вращает ведущее колесо механизма часов ), Все эти системы — нелинейны. [c.277]

Собственно говоря, станнонгриые колебания маятника с отрицательным трением будут квазипериодическими Вопрос о периоде колебаний р данной конкретной задаче здесь подробно не изучался. Отсылаем читателей к специальным работам по нелинейной механике ) [c.294]

Глава 7 (Гармонический осциллятор). Очень важны линейные задачи и, в частности, задача о вынужденных колебаниях гармонического осциллятора. Даже в объеме минимальной программы необходимо разобрать первый из трех примеров нелинейных задач, потому что он дает студентам понятие о том, как они могут оценить ошибки, обусловленные линеаризацией задачи о колебаниях маятника. Понятие о сдвиге фаз при вынужденных колебаниях гармонического осциллятора не сразу воспринимается большинством студеп-тов. Здесь помогает хорошая лекционная демонстрация. Электрические аналогии плохо воспринимаются на этой стадии преподавания, и их, может быть, следовало бы оставить для лабораторных работ. В демонстрации входят гармонические колебания камертонов (следует усилить их, чтобы звук был хорошо слышен, а также показать форму волны на экране) вынужденные колебания груза на пружине задаваемые генератором сигналов вынужденные электрические колебания контура, состоящего из сопротивления, индуктивности и емкости прибор Прингсхейма колебания связанных осцилляторов. [c.15]

Пример. Нелинейные эффекты. Теперь мы рассмотрим маятник, который колеблется с амплитудой настолько большой, что мы не можем пренебрегать членом, содержащим 0 в разложении в ряд sin 0, как мы это делали выше в (22). Какое влияние на движение маятника оказывает член, содержащий 03 Это элементарный пример ангармонического осциллятора. Ангармонические, или нелинейные, задачи обычно с трудом поддаются точному решению (за исключением тех случаев, когда используются электронновычислительные машины), однако во многих случаях приближенные решения дают нам достаточно ясное представление о рассматриваемом явлении. Разложение sin 0 в ряд с сохранением членов, содержащих 0 , обычно называемое разложением до порядка 0 , имеет вид [c.211]

Вынужденные колебания ). Выше (в 9.10) мы уже рассматривали вынужденные колебания осциллятора с затуханием. Уравнение движения такой системы является линейным. Переход к исследованию вынужденных колебаний нелинейных систем связан с весьма большими трудностями, и обычно, чтобы достигнуть прогресса, приходится вводить упрощаюш ие предположения, которые часто бывает трудно оправдать. Поясним это на примере движения математического маятника (пример 5.2А), на который действует дополнительная малая горизонтальная сила таг sin pt, где 8 — малый параметр. Уравнение движения маятника запишется в виде [c.481]

Вытеснение коромысловых систем маятниковыми в значительной мере объясняется упрощением системы регистрации благодаря автоуравновеши-ванию действующего на образец усилия. Нелинейность зависимости угла отклонения маятника от значения измеряемой нагрузки компенсируется кинематикой регистрирующего механиз- [c.342]

Само собой разумеется, что такой результат, приводящий по истечении бесконечно большого времени к бесконечно большой алшлитуде колебаний, вытекает из формального рассмотрения идеализированной — в точности линейной — системы. Реальные физические и инженерные системы в действительности всегда в той или иной степени нелинейны. При больших амплитудах колебаний маятника принятая нами линеаризация оказывается слишком грубой. Она слишком груба в том отношении, что в действительности период колебаний маятника увеличивается по мере увеличения амплитуды колебаний. [c.35]

КОЛЕБАНИЯ (вынужденные [возникают в какой-либо системе под влиянием внешнего воздействия переменного пружинного маятника (характеризуется переходным режимом и установившимся состоянием вынужденных колебаний резонанс выявляется резким возрастанием вынужденных механических колебаний при приближении угловой частоты гармонических колебаний возмущающей силы к значению резонансной частоты) электрические осуществляют в электрическом колебательном контуре с включением в него источника электрической энергии, ЭДС которого изменяется с течением времени] гармонические относятся к периодическим колебаниям, а изменение состояния их происходит по закону синуса или косинуса затухающие характеризуются уменьшающимися значениями размаха колебаний с течением времени, вызываемых трением, сопротивлением окружающей среды и возбуждением волн когерентные должны быть гармоническими и иметь одинаковую частоту и постоянную разность фаз во времени комбинационные возникают при воздействии на нелинейную колебательную систему двух или большего числа гармонических колебаний с различными частотами кристаллической решетки является одним из основных видов внутреннего движения твердого тела, при котором составляющие его частицы колеблются около положений равновесия крутильные возршкают в упругой системе при периодически меняющейся деформации кручения отдельных ее элементов магнитострикционные возникают в ферромагнетиках при их намагничивании в периодически изменяющемся магнитном поле модулированные имеют частоту, меньшую, чем частота колебаний, а также определенный закон изменения амплитуды, частоты или фазы колебаний неавтономные описываются уравнениями, в которые явно входит время некогерентные характерны для гармонических колебаний, частоты которых различны незатухающие не меняют свою энергию со временем нормальные относятся к гармоническим собственным колебаниям в линейных колебательных системах [c.242]

Статические Г. используются только для относительных определений, и являются осн. приборами для измерения Ag. Осн. частью статич. Г. является упругая система. Применяются системы типа пружинных весов, в к-рых мерой служат дополнит, растяжение пружины и линейное перемеп1ение груза. Чагце используются крутильные системы, в к-рых маятник, подвешенный на горизонтальной упругой нити или пружине, поддерживается её упругой силой в положении, близком к горизонтальному. Мерой Ag служит дополнит, поворот маятника или дополнит, усилие, необходимое для возвращения его в исходное (нулевое) положение. Системы такого типа в принципе нелинейны. При приближении маятника к положению неустойчивости резко возрастает чувствительность. Такая система называется астазированной. [c.520]

Если ф-ция fix) линейна [fix)— х], то осциллятор линейный. Ур-ние нелинейного осциллятора описывает, напр., колебания матем. маятника, изменения тока и наоряжения в колебат. контуре, в к-ром индуктивность катушки зависит от величины тока и (или) ёмкость конденсатора зависит от напряжения, а также движение иона в пространственно неоднородном электрич. поле и др. На рис. 1 приведены вид потенциального рельефа ф(а ) и соответствующие ему фазовые траектории — траектории движе- [c.312]

Проявления неустойчивости в колебат. системах с конечным числом степеней свободы в осн. аналогичны рассмотренным на примере маятника. Проявление неустойчивости в волновых системах имеет особенности, обусловленные пространств, протяжённостью этих систем. Как и в колебат. системах, неустойчивость волновых движений в консервативных волновых системах является резонансной и связана с нелинейным взаимодействием волн, напр. трёх-, четырёх- и т. д. волновые взаимодействия, возникающие в нелинейных средах при выполнении условий синхронизма, самовоздействие волн (самомодуляция, самофокусировка) и др, В активных волновых системах неустойчивость может иметь как автоколебательный, так и резонансный характер. Примерами активных волновых систем являются лазеры, гиротроны, волновые пучки в плазме, химически активные среды. При автоколебат. неустойчивости волновые возмущения нарастают за счёт энергии веколебат. источников, напр. пучков частиц или течений. В отличие от колебат. систем нарастание возмущений в таких системах может происходить не только во времени, но и в пространстве. В частности, возмущение может носить [c.348]

В этом пункте рассмотрен ряд задач о действии вибрации на механизмы, содержащие маятники II вращающиеся роторы. Основная особенность изучаемых систем состоит в гом, что вибрации основания, на котором установлены механизмы, являются как бы каналом передачи мощности (вращающегося момента) пропускная способность этого канала при прочих равных условиях растет с увеличением частоты и амплитуды вибрации. Наличие указанной вибрационной связи приводит к ряду. воеобразных нелинейных эффектов (см. ниже), которые могут быть истолкованы как результат появления вибрационных моментов в соответствующих уравнениях медленного движения. Наиболее отчетливо вибрационные связи (взаимодействия) проявляются в задаче о самосинхронизации механических вибровозбудителей (см. ниже), где они приводят к взаимной согласованности средних угловых скоростей роторов. [c.244]

Поясним сказанное на примере пружинного маятника — массы, прикрепленной к упругой пружине. Этот маятник способен совершать как продольные, I aK и угловые колебания. В линейном приближении эти две формы колебаний совершенно не за-висимы и не.связаны между собой. Только в нелинейной постановке 1иожет быть качественно правильно описан действительный [c.22]

Как уже отмечалось, одним из самых простых и наглядных примеров стохастических генераторов является осциллятор с отрицательным трением, колебания которого ограничиваются за счет ударов, уменьшающих скорость осциллятора на величину р и производимых в моменты времени в которые ж = О и ж > > а > О [150, 280]. Таким осциллятором может служить, например, маятник Фроуда [15, 216, 345]. Считая трение слабо нелинейным, запишем уравнение осциллятора в виде [c.262]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...