Нелинейные колебания математического маятника

Пример 7.1. Нелинейные колебания математического маятника в среде с линейной силой сопротивления. [c.317]

Пример 42.1. Найти закон нелинейных колебаний математического маятника, описываемого функцией Лагранжа [c.235]

Рассмотрим теперь нелинейное уравнение колебаний математического маятника + и +е/ 1))8тг = 0. Покажем, что оно может иметь аналитический интеграл Г г,2,1), двоякопериодический по [c.367]

Во всех этих случаях обобщенная восстанавливающая сила нелинейна и соответственно, нелинейно дифференциальное уравнение движения. Простейшим примером может служить задача о больших колебаниях математического маятника (рис. 3.1). [c.57]

Рассмотренный в предыдущем параграфе пример маятника показывает, какие математические трудности возникают при точной постановке задачи о нелинейных колебаниях. Вместе с тем необходимость в решении задач такого рода, выдвинутых вначале астрономией и механикой, а затем главным образом радиотехникой, настолько возросла, что потребовала созданий при ближенных методов, доступных для практических вычислений. [c.504]

Первая лекция. Важность изучения колебательных движений при рассмотрении многих вопросов современной техники. Причины возникновения колебаний. Свободные колебания систем с одной степенью свободы. Типичные примеры колебания груза на пружине, крутильные колебания диска, колебания груза на конце консоли, малые колебания математического и физического маятника. Условия, при которых упомянутые системы можно рассматривать как системы с одной степенью свободы. Общность рассмотренных задач. Интегрирование дифференциального уравнения свободных колебаний. Параметрическая структура коэффициента жесткости. Возникновение нелинейных задач теории колебаний. [c.22]

Наиболее простым, с математической точки зрения, примером колебательного движения является математический маятник, т.е. точечный гр 0 на невесомой нити в поле тяжести. Нелинейность колебаний достигается при достаточно больших амплитудах. При этом невесомая нить предполагается несжимаемой (невесомый стержень). По этой причине мы изучим понятие солитона именно на простейшем механическом примере колебаний большой амплитуды математического маятника (без учёта трения). [c.5]

Предположение об изменении амплитуды нелинейного колебания, по существу, также связано с допущением (7.1) 6 близости нелинейного и линейного колебаний в течение одного периода. Действительно, в линейном приближении амплитуда математического маятника изменяется по закону [c.312]

Характерным для нелинейных колебаний является наличие обертонов , т, е. частот, кратных основной частоте. В частности, это можно видеть на примере математического маятника, уравнение которого содержит нелинейный член, приводящий к появлению высшей гармоники (см. (7.1)) [c.313]

Пусть математический маятник совершает малые нелинейные колебания в среде, сила сопротивления которой пропорциональна первой степени скорости точки. Найти закон движения маятника. [c.317]

Нелинейные системы. Большинство задач теоретической и математической физики приводят к нелинейным уравнениям [85-93]. Консервативные системы с одной степенью свободы всегда интегрируемы. В предыдущих лекциях мы получили решения одномерных нелинейных систем частицы в поле Эккарта (см. лекцию 5) и математического маятника (см. лекцию 14), которые демонстрируют типичные свойства нелинейных колебаний 1) периодическое решение, разложенное в ряд Фурье, содержит бесконечное число гармоник основной частоты, 2) период колебаний зависит от полной энергии. [c.161]

Следует, кстати, заметить, что наклон заштрихованной области на рис. 134 зависит от вида характеристики обратной связи в осцилляторе. Рис. 134 относится к математическому маятнику, для которого период колебаний возрастает с увеличением амплитуды. Если рассмотреть характеристику возмущения, у которой период колебаний уменьшается по мере возрастания амплитуды, то область неустойчивости будет наклонена в другую сторону, а именно в сторону возрастания частот. Аналогичное явление наблюдается также при вынужденных колебаниях нелинейных систем. [c.179]

Это линейное дифференциальное уравнение в обыкновенных производных является хорошо известным уравнением Матье. При определенных значениях /3 и О это уравнение имеет неустойчивые колебательные решения. Влияние нелинейностей превращает эти колебания в предельный цикл. Аналогичный пример — маятник с колеблющейся точкой подвеса (рис. 3.9). Численное исследование хаотических колебаний в этой задаче проведено в [104, 120]. Математическое описание такого маятника приводит к уравнению [c.86]

Вынужденные колебания ). Выше (в 9.10) мы уже рассматривали вынужденные колебания осциллятора с затуханием. Уравнение движения такой системы является линейным. Переход к исследованию вынужденных колебаний нелинейных систем связан с весьма большими трудностями, и обычно, чтобы достигнуть прогресса, приходится вводить упрощаюш ие предположения, которые часто бывает трудно оправдать. Поясним это на примере движения математического маятника (пример 5.2А), на который действует дополнительная малая горизонтальная сила таг sin pt, где 8 — малый параметр. Уравнение движения маятника запишется в виде [c.481]

Приведенная здесь трактовка схематизированного лампового генератора была дана А. А. Андроновым, открывшим связь между математическим понятием предельного цикла и физическим явлением автоколебаний. Впоследствии А, А, Андронов и его сотрудники (А. Г. Майер, H.H. Баутин) с помош,ью математических методов, элементарное представление о которых дают 2, 3,смогли решить ряд весьма сложных задач теории нелинейных колебаний. Речь идет о теории часов, учитываюш,ей (в отличие от 2) обратное действие маятника на часовой механизм, а также о теории устройств, применяемых в технике для автоматического регулирования,, основанной в 1876 г. И. А. Вышнеградским в получившей мировую известность работе О регуляторах прямого действия ). [c.120]

Заметим, что консервативная система, способная совершать незатухающие колебания (например, математический маятник), а также различные кинeмatичe киe схемы (например, кривошипно-шатунный механизм), трансформирующие равномерное вращение вала в колебания ползунков, не являются автоколебательными системами, так как в первом случае амплитуда колебаний (а для нелинейной консервативной системы и частота) зависит не только от внутренних свойств системы в первом случае — от начальных условий, а во втором — от частоты вращения вала. [c.128]

Уравнение (7.20) нелинейное, ибо неизвестная функция ф входит в него не линейно, а под знаком синуса его нельзя проинтегрировать до конца в элементарных функциях — его точное решение (приведенное в 165 учебника) выражается так называемыми эллиптическими функциями времени ). Ограничиваясь случаем малых колебаний, полагаем приближенна 81пф Ф и приходим к линейному уравнению ф + ф = 0. Такой метод, называемый методом линеаризации, позволяет заменить нелинейное дифференциальное уравнение линейным хотя при такой замене мы получаем не точное решение задачи, а приближенное, справедливое лишь при некоторых ограничениях, тем не менее этот метод весьма широко применяется в физике и в технике. В рассматриваемом случае нет особого смысла находить точное решение математической задачи — оно все равно не будет точным с физической точки зрения, ибо при составлении уравнения (7.20) мы пренебрегаем сопротивлением воздуха и сопротивлением в подвесе маятника. [c.163]

Когда речь заходит об осцилляторах, большинство из пас, по-видимому, прежде всего представляет себе механические осцилляторы, такие, как пружины. Еще один не менее известный пример механического осциллятора — маятник. Если амплитуда колебаний достаточно мала, то маятник можно рассматривать как линейный осциллятор, но при больших амплитудах это — нелинейный осциллятор. Во многих случаях, представляющих значительный интерес для практических приложений, нам приходится иметь дело со связанными осцилляторами. Достаточно взять какое-нибудь упругое тело математической моделью его служит система связанных между собой конечных элементов, каждьи из которых может быть представлен осциллятором. Такого рода математические модели играют важную роль в механике, например при расчете вибрации двигателей или высотных сооружений или флаттера крыла самолета. Разумеется, иногда мы рассматриваем предельные случаи, в которых конечные элементы аппроксимируют непрерывное распределение, соответствующее нашему исходному представлению о сплошной среде. Колебания встречаются не только в механике, но и в электро- и радиотехнике. Здесь нам приходится иметь дело не только с колебательными контурами на старых электронных лампах, но и с новыми устройствами с колебательными контурами иа транзисторах и других электронных приборах. [c.189]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...