Интеграл фазовый

Зависимость фазы (или энергии) частицы от времени, т. е. второй интеграл фазового уравнения (8.2), можно найти интегрированием уравнения (8.15). Снова считая Рр, Ем, фр, 5 постоянными, получим [c.171]

Результаты расчета представляются в виде графиков и массивов числовых значений переменных. Для вывода переменных служат индикаторы. Индикаторы фазовых переменных типа потенциала и интеграла фазовой переменной типа потенциала присоединяют к соответствующему узлу топологии. Индикаторы фазовых переменных типа потока включают в разрывы связей топологии. [c.502]

Было немало попыток представить коэффициент распределения как функцию температуры, давления и состава. Однако так как интеграл уравнения (9-39) — функция вида и количества каждого компонента в системе, то нельзя вывести общее строгое соотношение для коэффициента распределения. Более того, чтобы вычислить интеграл в уравнении (9-39), необходимо знать величины ik при постоянных составе и температуре по всей области давлений от нуля до давления системы. В области давления между давлением системы и давлением п и кипении, соответствующем температуре и фазовому составу, v представляет собой парциальный мольный объем компонента в гомогенной жидкой фазе. В области давления между нулем и началом конденсации vt представляет собой парциальный мольный объем компонента в гомогенной паровой фазе того же состава. В двухфазной области между давлением начала конденсации и давлением при кипении величины не могут существовать, и уравнение (9-39) не может быть использовано для определения коэффициента распределения. [c.274]

Фазовые траектории для консервативной системы можно построить используя интеграл энергии. Каждой фазовой траектории соответствует определенное значение полной механической энергии. [c.433]

Воспользовавшись формулой преобразования кратного интеграла при преобразовании координат, определим фазовый объем Vx в момент 1 = (и- -х [c.304]

Из уравнения (2.15) непосредственно видно, что величина Ь не влияет на динамику маятника. Фазовым пространством рассматриваемой системы является цилиндр с координатами е, б (О == 0 < 2л). Поскольку функция Лагранжа L не зависит явно от времени, имеет место обобщенный интеграл энергии [c.30]

О С Я, < 1/4 система обладает двумя со- Рис. 2.14. стояниями равновесия устойчивым и не-, устойчивым, а при Я, < О (знак X изменяется при изменении направления одного из токов) — одним устойчивым состоянием равновесия. В точке Q-U, /4) производная ( , Я) == О, поэтому X == V4 есть бифуркационное значение параметра. Для построения фазового портрета рассматриваемой системы напишем интеграл энергии. В безразмерных величинах интеграл энергии имеет вид [c.35]

При интегрировании по замкнутому контуру, целиком состоящему из фазовых траекторий, интеграл в правой части этого соотношения обратится в нуль, в силу уравнений [c.48]

Как известно из математики, любую функцию, удовлетворяющую определенным условиям , можно разложить в зависимости от характера изменения либо в интеграл (если функция непериодическая), либо в ряд Фурье (если функция периодическая). Выбор вида членов разложения имеет важное значение для оптики. Дело в том, что, как известно, в недиспергирующей среде все монохроматические волны независимо от частоты распространяются с одинаковой фазовой скоростью и поэтому, как мы уже отметили, [c.41]

Интеграл энергии определяет уравнение фазовой траектории [c.225]

Если теперь параметр принять за некоторую новуЮ лагранжеву координату, то при различных начальных условиях эта система обыкновенных дифференциальных уравнений определит в фазовом пространстве системы семейство координатных линий, соответствующих изменению координаты при фиксированном времени 1. Условие, при котором координате соответствует циклический интеграл, сформулируем в виде теоремы. [c.561]

Интеграл 1 удобно относить к фазовому пространству переменных [c.660]

Пусть функция Гамильтона Я(p,q) сохраняется на гамильтоновых фазовых потоках, определенных функциями /(р, q) и д(р, q). Показать, что тогда скобка Пуассона /, д есть первый интеграл системы уравнений Гамильтона с функцией Гамильтона Я. [c.700]

Вид семейства фазовых траекторий будет совершенно иным, если равновесие системы неустойчиво. Рассмотрим общий интеграл уравнения (8) при условии с < О, соответствующем неустойчивости равновесия системы в положении q = Q. Введя в этом случае обозначение [c.483]

Интеграл (9) позволяет легко находить фазовые кривые. На каждой фазовой кривой значение полной механической энергии Ё постоянно, поэтому каждая фазовая кривая целиком принадлежит одному уровню энергии Е х, [c.151]

Если бы мы имели дело только с монохроматическим излучением, то понятия фазовой скорости было бы достаточно для описания всех явлений, связанных с распространением электромагнитных волн. Однако монохроматическая волна, представляющая собой безграничную и бесконечно длящуюся синусоиду, неосуществима. На самом деле излучение распространяется в виде импульсов, ограниченных во времени и в пространстве (см. 1.7). Скорость распространения такого импульса можно отождествить со скоростью распространения какой-либо его точки, например точки максимальной напряженности поля. Однако при этом надо предполагать, что импульс, распространяясь, сохраняет свою форму или во всяком случае деформируется достаточно медленно. Для того чтобы судить об этом, можно представить импульс как наложение бесконечно большого числа близких по частоте монохроматических волн (представление импульса в виде интеграла Фурье). Если все эти монохроматические волны разной длины распространя- [c.86]

Иными словами, для таких систем существует интеграл уравнения движения вида F (х, y) = h. Геометрически это сводится к тому, что интегралами уравнения движения являются функции, соответствующие фазовым траекториям (кривым равного уровня), получающимся при сечении поверхности z=F(x, у) плоскостями г—к. [c.23]

Здесь второе слагаемое (6.14) представляет собой суммарную по всем компонентам теплоту фазовых превращений, происходящих в продукте при изменении его температуры на 1К, следовательно, это понятие будет вырождаться при переходе к системам с четкими границами зоны затвердевания и температурной полочкой для этой зоны. Полную теплоту фазовых превращений (Дж/кг) можно определить как интеграл от Сф по температуре [c.147]

Так как Прямой путь характеризуется уравнениями (3) типа Лагранжа, то как было установлено ранее, прямой путь в расширенном фазовом пространстве выделяется среди окольных путей тем, что для него интеграл [c.113]

Интегральный инвариант Пуанкаре Д ке меняет своего значения, если контур С смещается вдоль трубки прямых путей, переходя в контур С, состоящий снова из одновременных состояний. Интеграл /, удобно рассматривать в обычном (нерасширенном) 2п-мер-ном фазовом пространстве ( 1, /7],. .., q , /7 ). В этом пространстве контурам С и С (рис. 33) соответствуют контуры D и D, охватывающие трубку прямых траекторий (рис. 36) при этом [c.136]

Инвариантность этого интеграла означает инвариантность фазового объема в 2л-мерном фазовом пространстве и устанавливается следующим образом ). [c.142]

Но С—совершенно произвольный контур в (2я- -1)-мерном расширенном фазовом пространстве. Поэтому, выражение, стоящее под знаком интеграла в равенстве (8), должно быть полным дифференциалом некоторой функции от2 -(-1 аргументов qi, pi, q , р и t. Эту функцию нам удобно будет обозначать через —F (t, qi, Pi) тогда [c.149]

В (старой) квантовой теории фазовым интегралом соответствующим k-V[ степени свободы (если последняя может быть отделена от остальных степеней свободы), называют интеграл [c.312]

В то время как при пользовании принципом Гамильтона мы сравниваем лишь траектории, бесконечно мало отличающиеся друг от друга, траектории в фазовом пространстве координат д, q (здесь 2 , z) в обоих случаях отличаются от истинного движения на конечные величины. Несмотря на это, величина интеграла Гамильтона и теперь оказывается меньшей в случае а), чем в случае б) [c.357]

В свете всего сказанного о параметрических системах формулировка принципа наименьшего действия для консервативных систем, данная Эйлером и Лагранжем, получает новый смысл. Напомним, что этот принцип требует минимизации интеграла по времени от величины 2Т при условии, что для движущейся точки выполняется энергетическое уравнение Т + V = . При переходе от пространства конфигураций к фазовому пространству принцип Эйлера — Лагранжа принимает следующую форму. Требуется найти условия стационарности интеграла [c.221]

Интересно посмотреть, что произойдет, если применить метод неопределенных множителей, оставив дополнительное условие в форме (6.10.27). Вернувшись снова от фазового пространства к пространству конфигураций, получим принцип, в котором стационарное значение принимает интеграл [c.223]

Перейдем теперь к обш,ему случаю реономной системы, не удовлетворяюш,ей закону сохранения энергии. В соответствии с изложенным раньше методом результаты, полученные для консервативных систем, всегда могут быть обобщены, если включить время i в число позиционных координат qi и рассматривать задачу как консервативную, но в расширенном фазовом пространстве.. Имеется канонический интеграл [c.271]

Видно, что искомое распредоленке с точностью до вынесенного из-под интеграла фазового множителя является фурье-обрааом исходного распределения. [c.74]

В связи с тем, что плотность статистического ансамбля зависит только от фазовых координат и времени и не зависит от производных фазовых координат, утверждение р = onst определяет первый интеграл уравнений движения. [c.302]

Отсюда i -=V2h + f Ц), где / (g) 2Х 1п (1 — g) — 1 . При П0М0Щ.И графика функции / ( ) и построения, аналогичного проведенному в предыдущем примере, получаем разбиение фазовой полуплоскости I < 1 на траектории, изображенное на рис. 2.15, й для случая О < 1 < V4 и на рис. 2.15, б для случая А, < 0. Подставляя в интеграл энергии (2.21) координаты седлиьон точки + / 2 [c.35]

Отметим, что периодическим колебаниям на фазовой плоскости соответствуют замкнутые фазовые траектории, и наоборот. Вид фазовых траекторий характеризует устойчивость или неустойчивость поло кения равновесия, достаточную малость колебаний и т д, Фазовые траектории для консервативной системы мож.но построить, используя интеграл энергии. Каждой фазовой траектории соответствует определенное значение полной механической зн-ергии, [c.420]

В действительности мы всегда имеем более или менее сложный импульс, ограниченный во времени и в пространстве. При наблюдении такого импульса мы можем выделять какое-нибудь определенное его место, например, место максимальной напряженности того электрического или магнитного поля, которое представляет собой электромагнитный импульс. Скорость импульса можно отождествить со скоростью распространения какой-либо его точки, например, точки максимальной напряженности поля. При этом, однако, надо предполагать, что импульс нащ сохраняет при распространении свою форму или во всяком случае деформируется достаточно медленно или периодически восстанавливается. Для выяснения этого обстоятельства мы можем представить импульс как наложение бесконечно большого числа близких по частоте монохроматических волн (представление импульса в виде интеграла Фурье). Если, например, все эти монохроматические волны разной длины распространяются с одной и той же фазовой скоростью (среда не имёет дисперсии), то с той же скоростью перемещается и импульс как целое, сохраняя неизменной свою форму. [c.428]

Решение. Рассматриваемый интеграл является решением дифференциального уравнения x-=f x) с начальным условием л (0) = =0. Вводя фазовое л-, р-пространство и гамильтониан H=pf x), мы получи.м возможность использовать мощные методы теории канонических преобразований. Рассмотрим функцию Якоби. г= =sn(/, k) — эллиптический спиус. В этом случае f= [c.319]

Подставляя эти выражения в интеграл Коши — Лагранжа, получим классическое уравнение Рэлея — Ламба (иногда называемое уравнением Рэлея — Ламба — Плессета) для радиального движения пузырька в безграничной вязкой несжимаемой жидкости с учетом фазовых переходов [c.64]

В ЭТОМ нварианте интегрирование совершается по произвольной области-фазового пространства, и поэтому инвариантность интеграла /п эквивалентна утверждению, что объем любой части фазового пространства не изменяется при канонических преобразованиях. Как мы покажем в дальнейшем, отсюда следует, что этот объем не изменяется со временем. [c.277]

Подобный критерий может быть применен и к дифференциальной форме (7.5.1). Проинтегрируем (7.5.1) вдоль любой замкнутой кривой L в фазовом пространстве. Тогда в левой части мы получим два криволинейных интеграла, поскольку каждая р, <7)-точка связана преобразованием с соответствующей (Я, Q)-тoчкoй. Интеграл в правой части обращается в нуль. Следовательно, мы получаем принцип инвариантности, в котором уже отсутствует неопределенная функция S, [c.242]

В пространстве Ф2 всякое решение p=p(f), q = q(t) канонической системы изображается кривоД (интегральной), которая, ввиду того, что параметр t представляет собой меру времени, часто называется траекторией. Соответственно возможному выбору 2л произвольных координат, от которых зависит общий интеграл канонической системы, имеется оо траекторий, из которых одна и только одна проходит через данную точку фазового пространства Фа . [c.244]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...