Несобственная точка

Если проецирующий луч некоторой точки D параллелен плоскости проекций, то он пересекается с плоскостью проекций в бесконечно удаленной точке da,. Эту точку называют несобственной. Каждая прямая пространства имеет единственную принадлежащую ей несобственную точку. Все параллельные между собой прямые пересекаются в одной несобственной точке. [c.10]

Две параллельные плоскости пересекаются по несобственной прямой линии. Пучок плоскостей пространства может иметь собственную и несобственную оси. Пучок с несобственной осью образуют йсе параллельные плоскости. Геометрическое место несобственных точек пространства принято считать несобственной плоскостью. [c.10]

Если прямая параллельна плоскости проекций, то следом ее на этой плоскости является несобственная точка. [c.35]

Прямые линии, пересекающиеся в несобственной точке, называют параллельными. [c.38]

При параллельном проецировании порядок плоской алгебраической кривой не изменяется. Если движущаяся по кривой линии точка стремится в бесконечность, то и проекция этой точки также стремится в бесконечность, т. е. несобственные точки кривой проецируются в несобственные точки проекции кривой. [c.131]

Инверсия есть взаимно однозначное преобразование всех точек плоскости, за исключением одной — полюса (центра) О инверсии. Полюс инверсии преобразуется в несобственные точки. [c.142]

Две прямые линии, проходящие через центр гиперболы и касающиеся гиперболы в несобственных точках, называют асимптотами гиперболы. Асимптоты гиперболы направлены по диагоналям прямоугольника со сторонами 2а и 2Ь. [c.153]

Задавая различные значения х, можно определить ряд точек параболы. Прямую линию, проходящую через середины параллельных хорд параболы, называют диаметром параболы. Все диаметры параболы параллельны оси Ох (оси симметрии), поэтому центром параболы является несобственная точка. [c.155]

Частный случай. Если удаление точки, например В (см. рис. 2, в), от плоскости проекций равно удалению центра проецирования S от этой же плоскости, то проецирующий луч будет параллелен плоскости проекций и проекция В точки В будет бесконечно удаленной точкой, называемой несобственной точкой . [c.10]

Примечание. Второй фо.кус параболы является несобственной точкой, поэтому все лучи, проходящие через этот фокус, параллельны между собой [c.24]

Цилиндрическая поверхность (см. рис. 25, в) — поверхность, образованная движением прямолинейной образующей I по кривой направляющей т, при этом образующая во всех положениях параллельна некоторому наперед заданному направлению. Для цилиндрической поверхности ребро возврата — точка в бесконечности (несобственная точка). [c.38]

Прямые могут пересекаться, скрещиваться и быть параллельными (частный случай пересечения, когда точка пересечения находится в бесконечности — несобственная точка). [c.60]

Построение эвольвенты. Эвольвентой окружности называется кривая, которую описывает точка прямой линии, катящейся без скольжения по неподвижной окружности. В этом случае неподвижная центроида — окружность, а подвижная — прямая линия (окружность, центр которой — несобственная точка). [c.58]

С позиций классического метода двух изображений чертеж Монжа получается при совмещении плоскости изображения П с фронтальной плоскостью проекций П2, горизонтальная плоскость проекций П перпендикулярна П2 = П (см. рис. 1.10, а). Центры проецирования 5, 5], 2 являются несобственными. При этом точка 5] находится в направлении, перпендикулярном П], точка 2 — перпендикулярном к П2- Точка 8 является несобственной точкой прямой 5, перпендикулярной оси Ох = П п П2 и составляющей с плоскостью изображения П = = П2 угол 45°. [c.17]

В этой конструкции прямая I, инцидентная несобственным точкам 5, 5[, 521 пересекает плоскость изображения П в несобственной точке Поэтому носители проекций A , А2, называемые линиями связи, параллельны между собой. [c.17]

Следовательно, если секущая плоскость Г пересекает все образующие конической поверхности, то получается эллипс, кривая второго порядка, не имеющая несобственных точек. В частном случае, когда плоскость Д перпендикулярна к оси конической поверхности, в сечении получается окруж- [c.40]

Рассмотрим прямую (5Е). При приближении Е к точке О угол у будет уменьшаться и в пределе = / n(SG), т.е. параллельные по геометрии Евклида прямые Г и (5С) пересекутся в несобственной точке С ,. Если аналогично удалять точку К прямой, то опять придем к проекции Е несобственной точки. [c.23]

Действительно, рассмотрим построение перспективы параллельных прямых а и h, показанных на черт. 345. Продолжив каждую т прямых до пересечения с картиной, найдем их начала — точки М и N. Второй точкой, определяющей искомые перспективы, будет несобственная точка F, для построения которой т точки зрения S проводят луч параллельно данным прямым до. пересечения с П. [c.163]

Центральные проекции параллельных прямых могут быть и параллельны, если их точка схода окажется несобственной точкой плоскости картины П. Единственное условие, которому должны удовлетворять такие параллельные прямые, заключается в том, что они должны быть параллельны плоскости картины. [c.163]

Замечая, что линии контура плана могут быть разделены на два пучка параллельных прямых, определяем перспективы несобственных точек (F и F ) каждого из пучков, причем точка F является перспективой несобственной точки пучка параллельных прямых направления I, а точка F — направления II. Обе точки найдены при помощи лучей SF и SF", соответственно параллельных прямым направлений I и II. Лучи SF и SF , будучи параллельными прямым, расположенным в горизонтальной плоскости, пересекут картину в точках, лежащих на линии горизонта h (черт. 355). При построении перспективы без увеличения отрезки PF и PF на черт. 355 конгруэнтны соответственно отрезкам PoF и PqF] на черт. 354. [c.166]

Для решения задачи необходимо прежде всего определить точки схода противоположных сторон квадрата. Обе точки F и F должны быть на линии горизонта. Чтобы найти первую из них, достаточно продолжить заданный отрезок А В до пересечения с линией горизонта. Для построения второй точки схода совместим с картиной точку зрения S и проведем через нее две взаимно перпендикулярные прямые S i-и S°f . Обе прямые можно рассматривать как совмещенные с картиной лучи, идущие от точки зрения S в несобственные точки сторон квадрата, пересекающиеся также под прямым углом. Найденная точка F позволяет построить перспективы прямых, перпендикулярных к АВ. [c.178]

Напомним, что любая особенность плоской кривой влечет за собой ту же особенность ее невырожденной параллельной проекции. Так, проекция касательной явится касательной к проекции кривой, проекция несобственной точки всегда несобственная точка, не изменяется порядок алгебраической кривой (проекция кривой 2-го порядка всегда кривая 2-го порядка, 3-го порядка — 3-го и т. д., изменяются только их параметры) (рис. 3.39). [c.66]

Понятие несобственная точка было введено в 1636 г. французским математиком Ж. Дезаргом. [c.10]

FE = 2а. Гипербола имеет две оси (х — действительная, у — мнимая) и две асиптоты т — прямые, с которыми ветви гиперболы пересекаются в несобственных точках. Расстояние между фокусами гиперболы FFi называется фокусным расстоянием и равно 2с. Уравнение гиперболы [c.49]

В расширенном евклидовом про-странстве все параллельные прямые имеют одну обн ую несобственную точку и образуют связку прямых с несобственным центром, а все парал-,тельн1.1с плоскости имеют общую несобственную прямую и образуют пучок плоскостей с несобственной осью. [c.12]

Первые три свойства цен трального проецирования, сформулированные в п. 1.1.1, будут справедливыми и в случае параллельного проецирования. Четвертое свойство требует уточнения, так как между центральным и парал-лельнгям проецированиями имеется существенное отличие в изображении несобственных элементов. В общем случае при центральном проецировании несобственная точка (например, (V на рис. 1.2) проецируется в собственную точку, так как проецирующая прямая всегда является собственной и пересекает плоскость проекций в собственной точке. В случае же параллельного проецирования проекцией несобственной точки всегда будет несобственная точка, так как проецирующая прямая является несобственной и, следовательно, пересекает плоскость проекций обязательно в несобственной точке. Отсюда следуют еще три свойства параллельного проецирования [c.12]

Кривые второго порядка называются также коническими сечениями, так как получаются сечением конической поверхности вра1цения некоторой плоскостью. Как известно, кривые второго порядка бывают неприводимые (окружность, Э71ЛИПС, парабола и гипербола), приводимые или распавшиеся (две действительные или мнимые пересекающиеся прямые, две совпавшие прямые, две действительные или мнимые параллельные прямые). Окружность и эллипс, как замкнутые кривые, не содержат несобственных точек. Парабола имеет одну несобственную точку, а гипербола — две несобственные точки (неаэбствешше точки се асимптот). [c.40]

Несобственная точка кривой 1 1осцируегсн в несобственную точку ее проекции. [c.42]

Проецирующая прямая (8В) образует с линией / угол ф. Чем дальше по прямой точка В будет удаляться от плсйкости П, тем меньше будет угол ф. В пределе угол ф будет стремиться к нулю. Если на прямой / взять бесконечно удаленную точку 1 , то проецирующий луч (5Ь ) станет параллельным (в понятии геометрии Евклида) прямой / и перюсечет плоскость П в точке Е . Следовательно, Ь - центральная проекция бесконечно удаленной точки Е прямой /, а отсюда следует, что Е = / П(5Е а,), т.е. параллельные прямые / и пересекаются в бесконечно удаленной точке Е . Точка Е называется несобственной точкой. Это противоречит аксиоме Евклида, которая утверждает, что параллельные прямые не пересекаются. [c.23]

За центр проекций возьмем несобственную точку 8, а направление проецирующей прялюй покажем стрелкой, обозначенной строчной буквой з (рис. 17). [c.24]

С помощью этих правил на черт. 51 и 52 найдены следы прямых а и Ь. Там же показаны и совпавшие проекции точек А, принадлежащих рассматриваемым прямым. Особенность этой точки, как отмечалось выще (см. 4), заключается в том, что она равноудалена от плоскостей проекций и тем самым находится в биссекторной плоскости ( второй и четвертой четвертей (А=апР). Если же некоторая прямая- а параллельна fi, то точка А становигся несобственной точкой прямой а. В этом случае [c.29]

Имея А В и Л[В[, можно определить две характерные точки прямой перспективу / бесконечно удаленной (несобственной) точки F и начало прямой N (началом прямой принято называть точку пересечения прямой с картиной). Вторичная проекция первой из них (точка F, ). цолжна быи, иа линии горизонта, а второй на основании картины (точка Л/, ). Проведя через F, всрш-кальпую прямую до пересечения с А В пол>-чим перспективу F бесконечно удаленной точки прямой. В этой точке с картиной пересече1ся проецирующий луч, направленный в бесконечно удаленную точку данной прямой А В (параллель-1П.1Й АВ). Перпендикуляр к основанию О О картины, проходящий через N,. пересекаясь с А В, определяет начало прямой (точку N ) [c.162]

Чтобы построить перспективы пapaлл Jн,-ных хорд, необходимо определить их общую точку схода F. Последнюю находят с помощью луча Sf, параллельного хордам АЛ и ВВ", Для построения точки F на картине воспользуемся тем, что отрезок SF является основанием равнобедренного треугольника SFE, вершиной Е которого служит вторичная проекция несобственной точки заданного отрезка А В. Действительно, обратимся к черт. 379, где показан вид сверху на систему плоскостей линейной перспективы. Рассмотрим треугольники А,А°Ы, и SFE. Так как стороны второго параллельны соответствующим сторонам первого, то они подобны. Но треугольник A,A Ni—равнобедренный (N,/(,=N,-4"), а поэтому равнобедренным будет и второй треугольник SFE. Совместим этот треугольник с плоскостью картины, вращая его вокруг линии горизонта, на которой лежат вершины Е и h. Первая из них определяется пересечением вторичной проекции а В отрезка с линией горизонта (см. черт. 377, к которому относятся и последующие пояснения). Вторая точка является искомой. На перпендикуляре к линии i ори-зонта окажется совмещенная с картиной точка зрения S , причем отрезок равен главному расстоянию, которое считается заданным. Проведя из точки Е как из центра дугу радиуса ES". 1юлучаем на линии горизонта точку схода параллельных хорд — точку F. Построив перс- [c.177]

Остается определить на одной из построенных линий третью вершину квадрата. Для jtoi о проведена биссектриса прямо о yi да FS F, которую следует рассматривать как совмещенный с картиной луч, направленный из гочки зрения S параллельно той диагонали квадрача. которая проходит через вершину А построенною прямого угла. Этот луч (биссектриса прямого угла) пересекает линию горизонта в точке F-. Последняя и является перспективой несобственной точки диагонали квадрата. С помощью диагонали найдена третья вершин.i квадрата — точка Е. Пересечение прямых A F и E F определяет четвертую вершину М искомой фигуры. [c.178]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...