Пространство произвольного числа измерений

ПРОСТРАНСТВО ПРОИЗВОЛЬНОГО ЧИСЛА ИЗМЕРЕНИИ [c.551]

Пространство произвольного числа измерений 551 [c.778]

Рассмотрим перенос примеси потоком в пространстве произвольного числа измерений. Будем считать поток квазиодномерным, полагая среднюю скорость зависящей от одной координаты, а флуктуации зависящими от всех координат. Будем также считать движение жидкости установившимся. Это обстоятельство, отсутствующее, например, в процессе турбулентной диффузии, придает неодномерной фильтрационной дисперсии специфические черты и требует специального анализа. [c.233]

Подобно тому как движение механической системы можно заменить движением одной частицы в некотором -мерном римановом пространстве, причем инерция всей системы входит в кинетическую энергию этой воображаемой частицы, так и динамическое действие всех сил может быть представлено с помощью одного вектора, действующего на эту частицу. Этот вектор имеет п компонент в соответствии с числом измерений пространства конфигураций. Компоненты вектора определяются аналитически как коэффициенты инвариантной дифференциальной формы первого порядка, которая выражает полную работу всех действующих сил при произвольном бесконечно малом изменении положения системы. [c.51]

Цепь наших рассуждений, приведшая к распространению свойств консервативных систем на произвольные реоном-ны системы, основывалась на добавлении к фазовому пространству двух новых измерений t и pt. Можно действовать и другим методом, оставляя время t независимой переменной и сохраняя обычное фазовое пространство. Можно рассмотреть каноническое преобразование qi, pi в Q/, Pi, не вводя время t в число активных переменных преобразования. Время t входит в -такое преобразование только как параметр, т. е. уравнения преобразования, связывающие старые и новые переменные, непрерывно меняются. При таком зависящем от времени каноническом преобразовании функция Гамильтона Н не является инвариантной. Как видно из уравнения (7.4.13), функция Гамильтона Н для новой системы координат равна [c.273]

Число постоянных с и а, т. е. 2п — 2, является как раз тем числом произвольных постоянных, которое необходимо для определения всех траекторий в пространстве, число измерений которого снижено благодаря соотношению Я 4- Л = О до 2л — 1. [c.826]

Как же можно математически характеризовать столь сложные движения Прежде всего рассмотрим эргодическое движение. В этом случае траектория любой отдельной точки пересекает произвольно выбранную область фазового пространства бесконечное число раз (при t схз). Сказанное остается справедливым, где бы ни находилась пробная область и какой бы малой она ни была. Нельзя, однако, сократить эту область до отдельной точки. Известна топологическая теорема, гласящая, что одномерная траектория, даже если она плотно заполняет область более высокого измерения, не может проходить через каждую точку данной области ). Тем не менее можно доказать весьма интересное свойство. Рассмотрим динамическую функцию Ь (х), которая является интегрируемой по фазовому пространству [c.379]

Определим предварительно число состояний, обладающих энергией , так как эта величина входит в выражение для функций распределения. При точном рассмотрении кратность вырождения уровней должна определяться нз решения уравнения Шредингера, однако правильные результаты могут быть получены следующим простым способом. Для каждого электрона мы можем ввести фазовое пространство шести измерений, в котором координатами являются три пространственные координаты лг, у, г и трн компоненты импульса р , р и р электрона. Еслн мы разделим затем это фазовое пространство произвольным образом на ячейки объёма А , то можно получить соответствующую плотность состояний, приписывая два состояния каждой ячейке. Эти два состояния соответствуют электронам, движущимся по одной и той же орбите, но с противоположными направлениями спина. Грубо это может быть обосновано с помощью условии, накладываемого на фазовый интеграл в классической квантовой механике, откуда следует, что объём фазового пространства, соответствующий каждому уровню, равен А для каждой пространственной координаты. Следовательно, [c.156]

Совокупность этих положений (и их обобщений на случайные величины, принимающие бесконечное число дискретных или непрерывных значений в пространстве любого числа измерений) и всех теорем, которые из них выводятся, мы будем называть формальной теорией вероятностей . Чтобы эта теория могла быть применена в вопросах физики (а также и любой другой конкретной науки, например биологии), нужно, однако, сделать еще один важный шаг — вложить конкретный смысл в понятие вероятности. Дело в том, что во всех приложениях понятие вероятности события отождествляется с относительной частотой его появления при тех или иных условиях. В формальной же теории вероятностей конкретный смысл понятия вероятности остается произвольным. Вероятность никак не связывается с какой бы то ни было частотой появления, и поэтому, в сущности, формальная теария вероятностей может применяться так, что вероятности вообще приписывается смысл, ничего общего с частотой появления события пе имеющий. [c.177]

Коэффицпенты этого разложения определяются однозначно. Тогда любой функции у = f x) можно поставить в соответствие определенную совокупность коэффициентов а , Oj,. .., а 6 ,. .., при условии что п выбрано достаточно больщим, так чтобы остаток разложения был достаточно малым. Примем эти коэффициенты за прямоугольные координаты точки Р в (2п + 1)-мерном пространстве. При этом произвольная функция изобразится некоторой точкой этого многомерного пространства значение интеграла /, соответствующее функции f x), можно отложить на перпендикуляре к прежнему пространству, увеличив на единицу число измерений. Мы, таким образом, вновь приходим к картине поверхности в многомерном пространстве. Малому изменению функции f x) отвечает малое перемещение точки Р. Задача нахождения функции f x), которая минимизирует определенный интеграл /, сводится к задаче нахождения наинизшей точки на некоторой поверхности в пространстве 2п + 2 измерений. Это в точности та же задача, которую мы рассматривали в предыдущих пунктах данной главы. [c.74]

Понятие пространство, число измерений которого (размерность) является произвольным целым положительным числом п > 3, возникло при желании использовать термин и представления, аналогичные терминам и представлениям трехмерной (л = 3) аналитической геометрии обычного пространства чтобы характ изовать связи между формулами, аналогичными соответствующим формулам обычной аналитической геометрии. [c.552]

Исключим из 6/г-мерного пространства (11, область с меньшим числом измерений, в которых три функции становятся зависимыми в силу обращения в нуль всех трехстрочечных якобианов. Припишем произвольные фиксированные значения постоянным компонентам С вектора кинетического момента /чп) = = с. Тогда мы получим (6га — 3) -мер- [c.388]

Всякое движение тел совершается в пространстве и во времени. Движение тел в пространстве рассматривается относительно произвольно выбранной системы координат, которая, в свою очередь, связана, с каким-либо телом, называемь1м телом отсчета. Тело отсчета и связанная с ним система координат называются системой отсчета. Пространство в механике рассматривается как трехмерное евклидово пространство. Все измерения в нем производятся на основании методов евклидовой геометрии. За единицу длины при измерении расстояний принимается одни метр. Время в механике считается универсальным, т. е. протекающим одинаково во всех системах отсчета. За единицу времени принимается одна секунда. Время является скалярной непрерывно меняющейся величиной. В задачах кинематики его принимают за независимое переменное. Все другие величины (расстояния, скорости и т. д.) рассматриваются как функции времени. В дальнейшем при изучении кинематики и динамики часто используются понятия момент времени / и промежуток времени А/ . Под моментом времени I будем понимать число единиц из.мерения времени 1 (напри.мер, секунд), прошедших от некоторого начального момента (начала отсчета времени), например, от начала движения. Про.нгжутком времени будем называть число единиц времени At = — П, отделяющих два каких-нибудь [c.89]

Однако блестящего успеха принцип наименьшего действия добился тогда, когда оказалось, что он не только сохранил значение, но и пригоден для того, чтобы занять первое место среди всех физических законов в современной теории относительности Эйнштейна, которая лишила универсальности такое множество физических теорем. Причина этого в основном заключается в том, что величина действия Гамильтона (а не Мопертюи) является инвариантом относительно преобразований Лоренца, т. е. что она независима от специальной системы отсчета наблюдателя, производящего измерения. В этом основном свойстве лежит также глубокое объяснение того, на первый взгляд неудачного обстоятельства, что величина действия относится к промежутку, а не к моменту времени. В теории относительности пространство и время играют одинаковую роль. Вычислить из данного состояния материальной системы в определенный момент времени состояния будущего и прошедшего является по теории относительности задачей такого же рода, какзадача — из процессов, разыгрывающихся в разное время в определенной плоскости, вычислить процессы, происходящие спереди и сзади плоскости. Если первая задача обычно характеризуется как собственно физическая проблема, то, строго говоря, в этом заключается произвольное и несущественное ограничение, которое имеет свое историческое объяснение только в том, что разрешение этой задачи для человечества в подавляющем числе случаев практически полезнее, чем второй. Поскольку вычисление величины действия материальной системы требует интегрирования по пространству, занимаемому телами, то, чтобы пространство не получило предпочтения перед временем, величина действия должна содержать также интеграл по времени. [c.587]

Следует, однако, заметить, что такая возможность внезапной остановки какой-либо величины осуществима только в весьма ограниченном числе случаев-. Так, например невозможно выключить внезапно ядерный заряд протона л тем самым сделать импульс электрона в атоме водорода постоянным во времени. В этом случае удаётся, правда, определить собственную функцию <р (р) в пространстве импульсов с помощью измерения второго рода (непосредственное повторение которого даёт уже другой результат) [возможность (а)]. В общем виде, однако, ещё не доказано, что любая величина может быть измерейа за произвольно короткое время, да>ке если Допустить измерения второго рода. [c.145]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...