Уравнения Прандтля безразмерные

Характер этих особенностей тоже непосредственно следует из сказанного. Действительно, дойдя до линии отрыва, течение отклоняется, переходя из области пограничного слоя в глубь жидкости. Другими словами, нормальная составляющая скорости перестает быть малой по сравнению с тангенциальной и делается по крайней мере одного с нею порядка величины. Мы видели (см. (39.11)), что отношение так что возрастание Vy до Vy Vx означает увеличение в Vr раз. Поэтому при достаточно больших числах Рейнольдса (о которых, разумеется, только и идет речь) можно считать, что Vy возрастает в бесконечное число раз. Если перейти в уравнениях Прандтля к безразмерным величинам (см. (39,10)), то описанное положение формально означает, что безразмерная скорость и в решении уравнений становится на линии отрыва бесконечной. [c.232]

Это обстоятельство есть свойство уравнений Прандтля (3.1). Если применить преобразование (3.5) к уравнениям Навье—Стокса, то в результате получим безразмерные уравнения, содержащие параметр R, вследствие чего дальнейшие выводы теряют свою справедливость в применении к уравнениям Навье—Стокса. [c.124]

Мы удовольствовались пока рассмотрением лишь одного простейшего случая интегрирования системы уравнений (61), а именно случая н = 1, когда первое уравнение этой системы становится автономным и интегрируется отдельно от второго. Представляет интерес и другой также простой случай, когда число Прандтля а принимается равным единице (для воздуха (т = 0,72). К этому случаю нам еще придется вернуться при рассмотрении более сложной задачи о ламинарном пограничном слое при наличии продольного перепада давления, а сейчас ограничимся лишь следующим общим анализом этого случая. Обратимся к первой форме уравнений пограничного слоя, представленной системой (46). Полагая в третьем уравнении системы 0 = 1, получим линейное относительно hf, уравнение в безразмерных величинах [c.666]

Вывод дифференциального уравнения Прандтля методом преобразования масштабов. В связи с тем, что поперечные размеры слоя малы по сравнению с продольными б (х)< х, а поперечная компонента скорости мала по сравнению с продольной компонентой Ну щ (б (х)/х) щ, в пограничном слое имеется анизотропия в размерах и скоростях. Воспользуемся этим свойством слоя и приведем математическое описание его (6.3) к безразмерному виду, вводя масштабы времени, поперечные и продольные расстояния, скорости, а также давления [c.259]

Безразмерная функция, определяющая распределение температуры, зависит как от параметров от обоих чисел R и Р распределение же скоростей — только от числа R, поскольку оно определяется уравнениями (53,3), в которые теплопроводность не входит вовсе. Два конвекционных потока подобны, если их числа Рейнольдса и Прандтля одинаковы. [c.294]

Для теплообмена в потоке движущейся жидкости также имеет место закон подобия. Действительно, из уравнения (11.8) видно, что при стационарном движении данного типа безразмерная температура = (Т—То)1(Тст—То) является (если учесть, что Шу зависит от Ху и Ке для всех движений данного типа одинаковым образом) одной и той же функцией координат ху = ху//о и чисел Ке и Рг. Таким образом, процессы теплообмена в потоках жидкости одинакового типа подобны, если числа Рейнольдса и Прандтля одинаковы закон теплового подобия). [c.367]

При исследовании неизотермических систем физические свойства жидкости изменяются в соответствии с изменением температуры, которая описывается дифференциальным уравнением энергии. Анализ безразмерной формы этого уравнения позволяет заключить, что поле безразмерной температуры зависит от безразмерных скоростей и критерия Пекле Ре = Шо/о/а [а = Я/(ср)—коэффициент температуропроводности Я, — коэффициент теплопроводности с — удельная теплоемкость жидкости]. Вместо критерия Ре обычно используется критерий Прандтля, не содержащий скорости и размера [c.16]

Аналогия Рейнольдса распространяет эти положения на турбулентный пограничный слой. Для этого достаточно, чтобы турбулентное число Прандтля Ргт = = Vт/aт равнялось единице, т. е. aт=Vт. При этом безразмерные уравнения энергии и движения системы [c.363]

Анализ уравнений (2.239) и (2.240) позволяет обнаружить подобие между распределением скорости и температуры в пограничном слое, если V = я или число Рг = 1. Уравнение движения и энергии при этом условии (Рг = 1) становятся идентичными. Это означает, что поля скоростей и температур в пограничном слое подобны, а кривые распределения безразмерной скорости и безразмерной температуры по толщине пограничного слоя одинаковы. Таким образом, физический смысл числа Прандтля состоит в подобии кинематического и теплового полей. Для газов число Прандтля практически не зависит от температуры и давления и определяется в соответствии с кинетической теорией газов атомностью газа для одноатомных газов Рг = 0,67 для двухатомных Рг = 0,72 для трехатомных Рг = 0,8 и многоатомных Рг = 1. Из приведенных значений Рг следует, что полное подобие полей скорости и температуры сохраняется лишь для многоатомных газов. В других случаях имеют место отклонения от подобия. Точные решения дифференциальных уравнений пограничного слоя отличаются большой громоздкостью и сложностью. Приближенные решения могут быть получены из интегральных уравнений пограничного слоя. [c.172]

Приведение уравнений (2.206) и (2.209) к безразмерному виду позволяет получить числа подобия при массопереносе диффузионное число Нуссельта Nud = и диффузионное число Прандтля [c.225]

Остается выяснить, какие безразмерные комплексы являются параметрами задачи. Из гидромеханической подсистемы уравнений, входящей в (4-26), получено число Рейнольдса, а из уравнения энергии — число Пекле, сочетание которого с числом Re может быть заменено сочетанием Re и числа Прандтля. Тогда для механической стороны явления имеем [c.99]

В соответствии с общепринятым методом подобия, по Прандтлю и Колмогорову, размерные уравнения (1) — (8) преобразуют в безразмерные обобщенные, заменяя переменные по соотношениям [c.179]

Краткое содержание. Методом разложения в ряд решены преобразованные безразмерные уравнения, определяющие скорости и энтальпии. Получены числовые решения для трех типов основного потока (ускоренного, равномерного и замедленного) при числе Прандтля а, равном 1,0 и 0,725, и показателе степени в законе зависимости вязкости от температуры (О, равном 1,0 и 0,76. Решения допускают оценку влияния а и ш. Эти решения могут служить основой для проверки приближенных решений. [c.147]

В общем, для более точного определения Л к.в необходимо знать число Маха и влияние других, не затронутых нами здесь величин. Тем ие менее зависимости типа (5-159) применимы во многих случаях и согласуются с приведенными выше качественными рассуждениями, ибо, напоминаем, число Прандтля есть безразмерный комплекс, включающий в себя и вязкость, и теплопроводность уравнение (4-12)]. [c.225]

Безразмерная величина в правой части уравнения (55.10) называется критерием Стантона S и выражается через числа Нуссельта N, Рейнольдса R и Прандтля Р [c.408]

Понятие динамического подобия подразумевает подобие динамического поведения жидкостей. Для описания подобия явлений теплопередачи может быть использовано понятие теплового подобия. Условия теплового подобия получаются путем преобразования к безразмерной форме уравнения энергии подобно тому, как это было сделано выше с уравнениями движения жидкости. Таким путем находятся безразмерные комплексы, свойственные задачам о теплообмене, такие как числа Прандтля и Нуссельта [Л. 4]Ч [c.169]

Здесь 0 , — безразмерная температура, соответствующая Г ,. Так как для канала с заданными формой и распределением теплового потока на стенках уравнение (9.37) имеет единственное решение, то число Нуссельта в виде (9.41) является константой, не зависящей от чисел Рейнольдса и Прандтля (локальное число Нуссельта в общем случае будет изменяться по периметру в результате изменения локальной плотности теплового потока, а также вследствие геометрических особенностей поперечного сечения канала). [c.185]

В ЭТИ уравнения наряду с обычными безразмерными параметрами — числами Рэлея К и Прандтля Р — входят два новых параметра, характеризующих влияние магнитного поля на движение проводящей вязкой жидкости [c.173]

В эти уравнения, кроме чисел Рэлея R и Прандтля Р, входит новый безразмерный параметр — число Рейнольдса Re = Uh/v, пропорциональное характерной скорости горизонтального течения. [c.269]

Для тех, кто интересуется гидродинамикой, мы дадим пояснения. Здесь а — число Прандтля, г = R/R , где R — число Рэлея, а Rl. — критическое число Рэлея (определяющее возникновение конвекции), Ь = 4я7(я -Ь ]), где Щ — безразмерное волновое число. Структура уравнений (8.7) — (8.9) весьма проста. Это обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие только два нелинейных члена Х1 и XV. Для многих физиков и математиков оказалось неожиданным, что такие уравнения могут иметь совершенно нерегулярные решения. Подобные решения были получены путем компьютерных вычислений. На рис. 8.2 представлена кривая из- [c.207]

В расчетных уравнениях конвективного теплообмена наибольшее применение получили следующие безразмерные комплексы (критерии) подобия Нуссельта Ыи, Рейнольдса Ке, Прандтля Рг, Пекле Ре и Грасгофа Ог. Числам подобия присвоены имена ученых, сделавших большой вклад в область теплообмена и гидродинамики. [c.161]

Вводя обозначения для безразмерных параметров, входящих в уравнения диффузии (11.13) и энергии (11.26) число Прандтля [c.561]

Для использования уравнения (V. 30) в целях получения конкретных результатов необходимо сделать дополнительное допущение, правильность которого в определенных пределах может подтвердить только сравнение результатов расчета с опытными данными при соответствующем выборе безразмерных постоянных. Так, по Л. Прандтлю, при постоянном То можно путь перемешивания I выразить линейной функцией расстояния до граничной стенки [c.114]

Если теперь использовать концепцию Прандтля, то можно вычеркнуть из (2.65) часть членов в том случае, когда Ке велико. Заметим, что благодаря разумному выбору характерных величин длин и скоростей все безразмерные производные в равенствах (2.64а) и (2.646) одного и того же порядка. После возвращения к размерным переменным получим следующее уравнение для 5-компо-ненты уравнения сохранения количества движения для пограничного слоя [c.40]

Полагая в равенствах (21) и (22) Ке- схз, убедимся, что при этом (безразмерная кривизна коитура К предполагается непрерывной и дифференцируемой по х ) будет Я ->1, дН /дх - 0, дН 1ду ->0, а система уравнений (22) пе )еидет в прандтлевскую форму (20). Это еще раз, но па более строгой основе, подтверждает правильность сделанного ранее заключения о возможности трактовки уравнений Прандтля как предельной (Не->оо) формы уравнений Стокса. Но, сравнивая между собой системы (22) и (19), можем сразу же заметить одно существенное их различие, которое должно сказаться уже на втором (после прандтлевского первого ) приближении. Различие это заключается в наличии отсутствующего в уравнениях (19) последнего члена в левой [c.567]

Здесь р. р - давление и плотность газа, а м, V - компоненты вектора скорости течения в выбранной нами системе координат (х, у). Ниже для простоты предполагается, что обтекаемая поверхность теплоизолирована, число Прандтля Рг = 1, а первый коэффициент вязкости 1 = СТ (С-постоянная Чепмена). Тогда согласно закону Крок-ко [11] температура на пластине является постоянной величиной. Обозначим через / (0) значение безразмерной плотности на стенке. Из уравнения состояния сразу следует, что р = N(0). Подстановка выписанных выше разложений, справедливых в нижнем вязком подслое, в уравнения Навье - Стокса дает уравнения Прандтля для несжимаемого пограничного слоя [c.51]

Эти критерии получены на основе анализа дифференциальных уравнений движения закрученного потока в трубе в проекциях на оси хкув приближении погра ничного слоя. Использование этого приближения для течений с интенсивным радиальным градиентом давления требует дополнительного исследования и тщательного обоснования, отсутствующего в цитируемых публикациях. Достаточность этих критериев для описания течения закрученных потоков в теплообменных аппаратах, циклонах, горелоч-ных устройствах с предварительной закруткой потока некоторых классов не обеспечивается, когда речь идет об интенсивно закрученных потоках, которые наблюдаются в камерах энергоразделения вихревых труб [15, 62, 196]. Это связано с неоднозначностью обеспечения подобия режимов течения в них при равенстве приведенных выше критериев. Вопрос о подобии потоков в камерах энергоразделения в вихревых трубах интересует исследователей достаточно давно [15, 18, 29, 40, 47, 62, 70, 204]. Пытаясь объяснить наблюдаемые эффекты по энергоразделению турбулентным противоточным теплообменом, А.И. Гуляев предположил, что в геометрически подобных вихревых трубах режимы подобны тогда, когда одинаковы такие критерии, как показатель изоэнтро-пы к= С /С , число Рейнольдса Re-= Kp i/v, число Прандтля Рг = v/a, число Маха М = и безразмерный относительный [c.10]

В эту систему пяти уравнений, определяющих неизвестные функции V, р7р, Т, входят три параметра v, х и g- 3. Кроме того, в их решение входят характерная длина h и характерная разность температур 0. Характерная скорость теперь отсутствует, поскольку никакого вынужденного посторонними причинами движения нет, и все течение жидкости обусловливается ее неравномерной нагретостьго. Из этих величин можно составить две независимые безразмерные комбинации (напомним, что температуре надо при этом приписывать особую размерность — см. 53) В качестве них обычно выбирают число Прандтля Р = v/x и число Рэлея ) [c.308]

Эти уравнения при условии 1/Re = 1/Ре или WJIv = WJla, откуда v = a или Pr = v/a = l, будут тождественными, т. е. если для жидкости, которая омывает пластинку, число Прандтля равно единице, то кривые распределения безразмерной скорости по толщине динамического слоя и безразмерной температуры по толщине тепг левого слоя совершенно одинаковы. [c.120]

Уравнения (9-21) и (9-22) хорошо согласуются с опытными данными при числах Прандтля от 0,5 до 30 в широком диапазоне чисел Рейнольдса. По рассмотренным причинам эти уравнения неприменимы при очень малых числах Прандтля. При высоких числах Прандтля уравнения дают заниженные по сравнению с опытными данными значения числа Нуссельта (по причинам, которые (будут рассмотрены ниже). Прежде чем обсуждать различные уточнения изложенного метода анализа, полезно несколько подроб нее исследовать полученное решение. Заметим, что Nu = = Ф(КеРг), а не постоянное ЧИСЛО, как в соответствующей задаче при ламинарном течении. Рассмотрим безразмерные профили температуры, построенные на рис. 9-4 по уравнениям (9-14), (9-15) и (9-19). При высоких числах Прандтля эти профили -почти прямоугольные , тогда как при низких числах Прандтля они более пологие и напоминают профили температуры при ламинарном течении. Выясним, в какой области потока в каждом из этих случаев сосредоточено основное термическое сопротивление. При высоких числах Прандтля оно сосредоточено преимущественно в подслое, тогда как при низких числах Прандтля термическое сопротивление распределено по всему сечению потока. Причину этого различия можно понять, если рассмотреть член уравнения энергии, определяющий полный перенос тепла, (ет/v) + (1/Рг). Ясно, что относительная роль турбулентного и молекулярного переноса тепла непосредственно зависит от числа Прандтля. Член уравнения энергии, определяющий молекулярный перенос тепла, 1/Рг не изменяется по радиусу трубы. Величина 8t/v, определяющая турбулентный перенос, напротив, изменяется от большого значения в ядре потока до нуля на стенке трубы. Форма профилей температуры и характер теплообмена при турбулентном течении зависят от [c.200]

Символы А — энергия активации, исходная газообразная химическая компонента В —химическая компонента в виде твердой фазы С — газообразный продукт реакции Ср — теплоемкость при постоянном давлении D —коэффициент диффузии / — безразмерная функция (уравнение (6)) i — э нтальпия /С — константа равновесия —весовая доля газа в смеси k — безразмерная концентрация компоненты газа (уравнение (9)) Le — критерий Льюиса е — компонента твердой фазы т — молекулярный вес т—параметр уноса вещества (уравнение (23)) п — порядок реакции Рг — критерий Прандтля — универсальная газовая постоянная Re = — критерий Рейнольдса /- — теплота реакции [c.308]

Влияние обоих факторов отражено на рис. 5-9, где показана зависимость безразмерного потока массы от движущей силы В для ламинарной осесимметрической точки торможения и числа Прандтля (Шмидта), равного 0,7. Изображенная кривая получается в результате сочетания уравнений (5-ЭО) и (4-39) и поэтому включает приближения, принятые выше. Точки представляют собой точные решения уравнений пограничного слоя, полученные Хо-ве и Мерсманом (1959) для случая испарительного охлаждения выдувом воздуха, причем изменение свойств последнего подсчитывалось для пяти различных отношений величин То и Ts- [c.171]

На фиг. 5 результаты опытов по пузырчатому кипению сравниваются с уравнением Розенова и с уравнением Форстера — Зубра. Линия по уравнению Форстера— Зубра была построена и на фиг. 4. Розенов вывел свое уравнение в виде выражения, характеризующего взаимосвязь между тремя безразмерными комплексами числом Нуссельта, числом Рейнольдса и числом Прандт-ля. Число Прандтля характеризует только свойства жидкости. Другие же комплексы учитывают свойства [c.270]

Изложим сначала обычный вариант метода малого параметра. Предварительно, введя число Релея Ra = gj35l /иж и число Прандтля Рг = и jж, преобразуем уравнения (2.1), (2.2) в стационарном случае к безразмерному виду [c.373]

Bee параметры, входящие в эти уравнения, безразмерные линейные параметры s, п, г отнесены к длине тела L, компоненты скорости и, v, w отнесены к скорости набегающего потока Voo, а газодинамические параметры р, р, J, р, е — отнесены соответственно к р о, PooV , V , роо, Рг и Prt — молекулярное и турбулентное числа Прандтля, предполагаемые постоянными величинами -yt — коэффициент перехода от ламинарного ъ = 0) течения к турбулентному (jt = 1), js, < п, — компоненты угловой скорости /3 в подвижной системе координат. [c.147]

Эту задачу можно решить и для эллипсоидальной статистической модели (Черчиньяни и Тирони [16]), причем если известно решение БГК-уравнения (Рг = 1), то можно найти решение уравнения эллипсоидальной статистической модели для произвольного числа Прандтля. В частности, безразмерный расход в цилиндрическом случае равен [c.234]

Перейдем теперь к случаю свободной конвекции. Здесь дифференциальные уравнения содержат три размерных коэффициента V. X и (где для идеального газа р = 1/7 о) граничные же условия теперь будут характеризоваться типичной длиной /, и типичной разностью температур Тт — То (заметим, что никакой типичной скорости в этом случае не будет). Из этих величин, очевидно, можно составить две безразмерные комбинации. В качестве таких комбинаций можно принять, например, число Прандтля Рг и так называемое число Грасхофа [c.56]

Ниже приведенный расчет проведен для теплоизолированной поверхности, так как влияние градиента давления на пограничный слой в этом случае максимально. Число Прандтля а полагалось равным единице. Вблизи кромки ( = 0) использовались два члена ряда для функции L, а, начиная с некоторого значения производился подбор значения /L на каждом шаге интегрирования по из условий удовлетворения двух последних уравнений системы (5.88). Для решения остальных уравнений применялась методика, изложенная в работе [Петухов И.В., 1964]. При построении графиков координата была нормирована таким образом, чтобы безразмерное давление = = Poou ) при е = 1 отличалось на —20% от значения этого параметра для [c.224]

Здесь безразмерная величина (число Рейнольдса ) Ке = VQLQ/lУ, имеющая порядок отношения сил инерции к силам вязкости, предполагается большой, т. е. Ке 1. В силу того, что К й для несжимаемых сред, а число Прандтля ис /Л равно (по порядку) единице (для воздуха), 10" (для воды и ртути), 10 (для смазочного масла), — вся правая часть уравнения (2.142) в рассматриваемом приближении несжимаемых невязких сред может считаться равной нулю. [c.381]

Изучение движения вязкой жидкости в области пограничного слоя основывается, как уже упоминалось, на интегрировании уравнений пограничного слоя, представляющих уравнения Стокса, существенно упрощенные за счет принятия в расчет малости толщины пограничного слоя. Решение этих, носящих имя своего создателя Л. Прандтля ) уравнений, как будет показано в следующем параграфе, представляется первым членом разложения решения уравнения Стокса в ряд по степеням малого безразмерного параметра — отношения масштаба толщины пограничного слоя к характерному для потока в целом масштабу обтекаемого тела (например, хорде крыла) — имеющего порядок обратной величины корня квадратного из рейнольдсового числа. Этот первый член содержит малый параметр в нулевой степени, поэтому уравнения пограничного слоя можно рассматривать как нулевое приближение в асимптотическом (при больших рейнольдсовых числах) разложении болееобщих уравнений движеиия вязкой жидкости — уравнений Стокса. [c.557]

Как показывает простое сопоставление безразмерных форм только что приведенных уравнении и граничных условий, соотношения толщин скоростного, температурного и диффузноиного пограничных слоев зависят как от распределения давлеиия по поверхности тела (формы обтекаемого тела), так и от значений теплового и диффузионного чисел Прандтля. [c.657]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...