Граничные условия в комплексной

Комплексные постоянные А , В , С , в выражении (30) подбираются из условия, чтобы удовлетворялись однородные граничные условия (24). Комплексные собственные числа (у которых в приведенных выше уравнениях индекс п опущен) являются корнями уравнения, получающегося путем приравнивания нулю определителя системы уравнений, следующей из (24). Это нелинейное уравнение решается методом Мюллера с использованием начальных значений Левина [18] для итерационного процесса для общего решения (29) берутся корни только из первого квадранта комплексной плоско сти. [c.163]

Для того чтобы расширить результаты, полученные для помеш,е-ний с границами, способными поглощать звуковую энергию (см. VI 1.4), достаточно идеализированные граничные условия заменить граничными условиями, в которых учитывается комплексный импеданс границы [c.365]

Интеграл в правой части представляет собой заданную комплексную функцию координат контура, и из (8.79) следует граничное условие в форме Мусхелишвили > (переменная г пробегает вдоль контура) [c.210]

При исследовании пространственных течений приходится пользоваться различными криволинейными системами координат цилиндрической, сферической, эллиптической и др. Такой подход не только упрощает описание картины движения, но иногда просто неизбежен от удачного выбора системы координат зависит возможность разделения переменных в дифференциальных уравнениях, простота приемов удовлетворения граничных условий. В плоском безвихревом движении переход от физической плоскости г = х +1у к вспомогательной плоскости = I + гг] был эквивалентен пользованию в физической плоскости криволинейными координатами I, г вместо прямолинейных х, у. В пространстве трех измерений столь удобного аналитического аппарата, как комплексное переменное, нет, и приходится непосредственно применять формулы перехода от прямолинейных координат к криволинейным, выражая в этих координатах сами дифференциальные уравнения и соответствующие граничные условия. [c.347]

В силу непрерывности смещений на контуре о, о имеем следующее граничное условие для комплексных потенциалов [c.117]

Граничное условие в начале трубопровода при х = О можно принять соответствующим открытому концу трубопровода, граничное условие на конце трубопровода задано в виде комплексного импеданса. Тогда расчет резонансных частот можно вести с помощью уравнения (см. Приложение) [c.231]

Соответственно представится в виде суммы w = w w также и комплексная скорость, причем граничные условия на отрезке (О, а) для обоих членов суммы гласят [c.267]

Важную роль при этом играет выбор рациональной системы координат одну и ту же задачу, не разрешимую в произвольно выбранной системе, можно решить, если выбрать подходящую специальную систему координат. Граничные условия при математической формулировке задачи назначаются в соответствии с данными предварительного качественного изучения явления или логического анализа. Математический аппарат, применяемый в гидромеханике, весьма разнообразен, но наиболее широко используемыми разделами математики являются обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения математической физики, функции комплексного переменного, интегральные уравнения, численные методы. [c.23]

Исследование устойчивости пограничного слоя представляет собой задачу о собственных значениях параметров в уравнении возмущающего движения (7.2.10). Если основное течение V (х, у) задано, то это уравнение содержит четыре параметра а, Re , с, и с,. Из них следует считать известными R j и а. Таким образом, для каждой пары значений Re и а при заданных граничных условиях из (7.2.10) можно получить собственную функцию ф (у) и комплексное собственное значение с = Поскольку [c.453]

Здесь p, и фг —корни соответствующего (6.11.4) характеристического уравнения, которое мы здесь не выписываем. Для неизвестной получается квадратное уравнение, имеющее один положительный и один отрицательный корень, которые зависят от жесткости, длины и массы стержня, а также от силы Р. Функция Z(z) удовлетворяет граничным условиям (6.11.3). Подставляя (6.11.5) в эти граничные условия, получаем однородную систему уравнений, которая имеет нетривиальное решение, если определитель ее равен нулю. В данном случае равенство нулю определителя приводит к нетривиальному результату, множитель в показателе экспоненты находится как функция сжимающей силы Р. Соответствующее трансцендентное уравнение мы не выписываем, исследование его довольно сложно и может быть выполнено лишь с помощью численных методов. Результат исследования состоит в следующем. При малых Р для со получается два действительных значения, с увеличением Р эти корни сближаются и при Р = Р сливаются в один действительный корень. При > , величина со становится комплексной, следовательно, прогиб неограниченно растет. [c.207]

В случае замены границы тела и каверны особенностями типа источников и стоков используют известные из кинематики жидкости формулы для комплексного потенциала и комплексной скорости. Составляют выражение для суммарной скорости, обусловленной скоростью потока, присутствием тела в потоке, а также распределенными по поверхности каверны неизвестными источниками и стоками. С помощью граничных условий на каверне составляют интегральное уравнение для нахождения неизвестной интенсивности особенностей и их распределения по телу и каверне. [c.68]

Таким образом, задача сводится к отысканию функции v (безразмерной вызванной комплексной скорости) по заданным смешанным граничным условиям. Как уже указывалось ранее, это задача Римана—Гильберта. Для ее решения в данном случае можно воспользоваться формулой Келдыша—Седова. Согласно (II.2.И) перепишем ее еще раз с учетом обозначений настоящей задачи [c.111]

Из рис. III. 14, в видно, что реальные части вызванной скорости должны удовлетворять граничным условиям на оси х, а мнимые части — граничным условиям на единичном круге. Выражение для вызванной комплексной скорости представим в виде [c.145]

Получение решения для Uj оказывается более сложным, так как согласно (111.4.14) л , входящая в граничные условия, — сложная функция. Ее нельзя прямо использовать для составления выражения комплексной скорости, так как имеет полюс в точке t = t . [c.150]

Задача состоит в отыскании вызванной комплексной скорости V Vx — iVy, где и Vy — горизонтальная и вертикальная составляющие вызванной скорости. Составим граничные условия течения [c.152]

Все граничные условия удовлетворены. Однако мы не можем быть уверены, что комплексные потенциалы (п) представляют решение нашей задачи до тех пор, пока мы не убедились, что они не вызывают разрывов в перемещении. Декартовы компоненты перемещения можно найти из уравнения (86), которое в данном случае приводит к зависимости [c.200]

Чтобы построить точную гидродинамическую сетку при заданных граничных условиях, необходимо решить уравнение Лапласа (78) или (86), что представляет значительные математические трудности. В некоторых случаях точное решение получается с помощью теории функций комплексного переменного (метод конформных преобразований). Имеются приближенные графические способы построения гидродинамической сетки. В последние годы в связи с бурным развитием вычислительной техники получают распространение численные способы решения уравнений Лапласа. [c.73]

В связи с этим посмотрим, как преобразуются компоненты тензора напряжений и вектора перемещений в плоскости z при переходе от декартовой системы координат х и у к указанной криволинейной системе координат установим вид зависимости компонент тензора напряжений и вектора перемещений в этой криволинейной системе координат от вспомогательной комплексной переменной и сформулируем граничные условия, которым должны удовлетворять искомые функции комплексного переменного ф (г) и (г) в плоскости на единичном круге, соответствующем границе С в плоскости 2. [c.500]

Поскольку мы получили выражения, определяющие напряжения и перемещения через комплексные потенциалы, удобно записать в таком же виде и граничные условия. Сформулируем статические граничные условия, при которых на границе задаются напряжения. Итак, рассмотрим упругую пластину, ограниченную кривой L, вдоль которой заданы нормальные и касательные напряжения [c.53]

В заключение отметим, что постановка смешанных граничных условий, при которых на одной части границы заданы напряжения, а на другой — перемещения, также может быть сведена к заданию на границе действительных частей комбинаций комплексных потенциалов. [c.54]

Ву [73] оценил влияние стрингеров, образованных неразрушенными волокнами, путем замены действия этих волокнистых стрингеров эквивалентными силами, распределенными по длине приращения трещины. Таким образом, это позволило учесть влияние неоднородности путем изменения граничных условий и сохранить постановку задачи в обычной однородной форме. Предположим, что тормозящее влияние уцелевших волокон заменено нормальной п и тангенциальной I силами, равномерно распределенными по берегам трещины (рис. 21). Коэффициенты интенсивности напряжений можно оценить непосредственно через комплексные потен- [c.246]

Этот вид граничного условия принят потому, что за исходную величину при анализе процесса нагрева нами принята температура поверхности трения, измерявшаяся при экспериментальном исследовании (см. стр. 622). Температура поверхности трения является комплексной величиной, так как она зависит от совместного действия процессов теплообразования и теплоотдачи в результате конвекции (с поверхности всех теплоотдающих элементов) и лучеиспускания. Применение данного вида граничного условия позволяет освободиться в расчетных уравнениях от коэффициента теплоотдачи, на величину которого влияет большое количество разнообразных факторов. [c.605]

Одно из основных свойств отраженных и прошедших волн устанавливает закон Снеллиуса i[173]. Согласно этому закону следы на препятствии всех падающих, отраженных и прошедших волн совпадают, в противном случае нельзя было бы точно удовлетворить граничным условиям на линии препятствия. В случао отражения от линейного препятствия на пластине следы всех этих волн равны ехр (iky), где к комплексно, а падающие и отраженные волны имеют вид [c.179]

Рис. II 1.1. Кавитационное обтекание слабоизогнутого профиля с фикси б — плоскость комплексного потенциала и граничные условия в — ли

Таким образом, задача о кручении сводится к отысканию решений уравнения (б), удовлетворяюш,нх граничным условиям (в). Чтобы получкть эти решения в форме полиномов, воспользуемся функцией комплексного переменного [c.306]

Приведен способ получения соотношения ортогональности собственных форм колебаний одного класса механических систем, которые описываются дифференциальным уравнением, содержащим комплексный параметр в виде полинома степени п, и граничными условиями, в которые этот параметр входит линейно. Соотношение ортогональности получается в виде равенства нулю скалярного произведения л-мерных векторов. Таким способом может быть установлена ортогональность нормальных волн в некоторых твердых волноводах, резонансных форм движущихся струн и стержней со специальными условиями опираиня на концах. [c.109]

Впервые этот метод применил Г. В. Колосов Он показал, что интеграл бигармопического уравнения для функции напряжений, а также граничные условия в напряжениях или смещениях могут быть выражены через функции комплексного переменного. Ряд важных результатов получил Н. И. Мусхелишвили С помощью функций комплексного переменного можно легко получить решение плоской задачи теории упругости для внутренности круга. Если же задана некоторая односвязная область, отличная от круга, то в этом случае надо воспользоваться конформным отображением области на круг. Кроме того, использование интеграла тина Коши позволяет свести плоскую задачу теории упругости к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, для решения которого существуют хорошо разработанные приближенные методы. В некоторых случаях (например, для [c.252]

Если зеркала поглош ают излучение или первое и второе зеркала пропускают его наружу, то энергия, запасенная в резонаторе, со временем уменьшается, т. е. колебания в резонаторе затухают. В этом случае модули R и R2 меньше единицы и корни уравнения (3.4) комплексны. Исследование уравнения (3.4) в общем случае достаточно сложно. Одпако с практической точки зрения наиболее интересен случай, когда потери малы, т. е. модули R и R2 близки к единице. Поэтому вначале исследуем свойства сложного резонатора при Ri = R2 = = — 1. Такой коэффициент отражения соответствует наиболее простому граничному условию на зеркале — обращению в нуль электрического поля па пем. Как уже отмечалось, конкретный вид граничного условия в лазерном резонаторе не очень существенен, поскольку его вариация может лишь немного изменить набег фазы волны на зеркале (О -i- 2тг), в то время как полный набег фазы в резонаторе составляет (10 10 )2тг. Приведеппое выше условие соответствует дополнительному набегу фазы на зеркале, равному тт. [c.170]

Если в задаче дифракции нет других потерь, кроме, быть может, потерь на поверхности тела, то однородная задача (она не зависит от истинных граничных условий) будет, как правило, самосопряженной, а собственные значения — вещественными В общем случае однородная задача несамосопряженная, собственные значения комплексны, причем знак их мнимых частей соответствует выделению с поверхности вспомогательного тела энергии, расходуемой на поддержание незатухающих колебаний, происходящих с истинной частотой, в отсутствие истинных источников. Вспомогательные граничные условия в таком случае описывают некую активную (т. е. с отрицательными потерями) пленку, излучающую пропорционально квадрату поля на ней и имеющую форму границы тела. [c.86]

Такой подход позволил эффективно приложить (Г. Н. Савин, 1964) развитый ранее применительно к линейным задачам метод функций комплексного переменного и интегралов типа Коши. Р1зучены особенности и условия однозначности комплексных потенциалов, сформулированы различные варианты статических и геометрических граничных условий в начальном и деформированном состояниях (Г. Н. Савин и Ю. И. Койф-ман, 1961). Затем был рассмотрен ряд задач о концентрации напряжений около кругового и эллиптического отверстий (свободного и с подкреплением) при однородном напряженном состоянии на бесконечности Ю. И. Койфман, 1961—1964). Здесь же рассмотрены родственные задачи для пластинки с жестким ядром. [c.77]

В волновой оптике вопрос о преломлении и поглощении световых волн исследуется путем решения уравнений Максвелла с соответствующими граничными условиями. Вопрос о взаимодействии нуклона с ядром также исследуется путем решения уравнения Шре-дннгера при наличии комплексного потенциала. [c.198]

В неограниченной среде, когда не надо учитывать никаких граничных условий, это уравнение обладает как вещественными, так и комплексными решениями. В частности, оно имеет решение, пропорциональное е ", приводяш,ее к потенциалу вида Ф = onst е Такое решение представляет собой волну, распространяющуюся с определенной скоростью, или, как говорят, бегущую волну. [c.375]

Но для среды конечного объема комплексные решения, вообще говоря, не могут суш,ествовать. В этом можно убедиться путем следующего рассуждения. Уравнение, которому удовлетворяет фо, вещественно, и то же самое относится к граничным условиям. Поэтому, если (ро(х,у,2) есть ешение уравнений движения, то и комплексно сопряженное ф тоже есть решение. Поскольку, с другой стороны, решение уравнений при заданных граничных условиях, вообще говоря, однозначно ) (с точностью до постоянного множителя), то должно быть ф = onstф , где [c.375]

Уравнение (81) называется дифференциальным уравнением возмущающего движения. Исследование устойчивости решения этого уравнения представляет собой задачу о собственных значениях дифференциального уравнения (81) при граничных условиях (78). Предположим, что основное течение задано, то есть известно распределение скоростей в ламинарном пограничном слое и (у). Тогда уравнение (81) будет содержать четьхре параметра R, а, Сг, Си Для каждой выбранной пары R и а можно найти собственную функцию ф и комплексное собственное значение с = Сг + i i, причем здесь Сг — безразмерная скорость распространения возмущений, а i — безразмерный коэффициент [c.310]

Любое из этих уравнений должно решаться при определенных граничных условиях. Последние ввиду изломанности подземного контура напорных гидросооружений крайне осложняют определение потенциала скорости Ф или функции тока Ф в отличие от рассмотренных выше простых случаев потенциального движения. При этом для решения таких вопросов приходится прибегать к некоторому специальному математическому аппарату теории фу икций комплексного переменного, конформным отображениям и др. [c.323]

НИИ точных или приближенных решений этих уравнений. Тот или иной метод может быть построен на одной из указанных моделей среды. Кроме того, на основе предварительного изучения стрюится расчетная модель или расчетная схема данного явления, в которой по возможности полно учитываются его существенные черты и игнорируются остальные. Общие уравнения движения упрощаются на основе учета характерных особенностей данного явления или задачи, и выбирается подходящий математический метод решения полученных таким путем уравнений. Важную роль при этом играет выбор рациональной системы координат одна и та же задача, неразрешимая в произвольно выбранной системе, может быть решена, если выбрана подходящая специальная система координат. Граничные условия при математической формулировке задачи назначаются в соответствии с данными предварительного качественного изучения явления или логического анализа. Математический аппарат, применяемый в гидромеханике, весьма разнообразен, но в качестве разделов математики, наиболее широко используемых, можно назвать обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения математической физики, функции комплексного переменного, интегральные уравнения, численные методы. [c.26]

Предположим, что кавитационное обтекание профиля у = у (х) происходит в безграничном потоке по первой схеме М. Тулина при числе кавитации х, давление и скорость на бесконечности известны и соответственно равны / и 1/ . Физическая плоскость течения дана на рис. III.1, а. Как уже указывалось в гл. II, задача об определении характеристик такого течения — нелинейная. В нелинейной постановке граничные условия задачи даны на горизонтальном разрезе плоскости комплексного потенциала (рис. III.1. б). Как указывалось в гл. II, комплексный потенциал равен W = ф - - пр, комплексная скорость [c.96]

Проблема отыскания функции Эри и решение соответствующей плоской задачи сводятся к определению двух функций комплексного переменного ф (г) и х (2), регулярных в области 2), занятой уиругим телом, и удовлетворяющих определенным граничным условиям. [c.495]

Граничные условия для функций комплексиого переменного в плоскости комплексного переменного 5 [c.504]

Однако методика 6 дает лишь грубое приближение, так как в ней не учитывается сопротивление на пути тока по боковым граням секций тигля. Влияние этого распределенного комплексного сопротив.че-ния (Z) на ток учтено в методике 7. В этой методике получают и сотласуют методом итераций решения двух взаимосвязанных двумерных задач — цилиндрической и щелевой (геометрия системы и распределение линейной плотности тока в индукторе А принимаются при этом эаданными). В первой эадаче находят распределение азимутальных токов в расплаве, считая известными азимутальные токи в тигле. Во второй задаче находят решение для поля и В2 в средней плоскости щели между боковыми гранями секций тигля, принимая заданными, наоборот, токи в расплаве (азимутальные токи тигля с этим полем не связаны). По значениям В и, используя граничные условия Леон-товича, определяют токи в боковых гранях секций, а по ним азимутальные токи в обеих цилиндрических поверхностях тигля. Решения обеих задач чередуют в порядке последовательных приближений [67]. [c.92]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...