Деформации в криволинейных координатах

Объемная деформация в криволинейных координатах. В декартовых координатах объемная деформация 0 определяется равенством [c.116]

Уравнения совместности деформаций. После замены в уравнениях К4.2) обычных частных производных ковариантными получим уравнения совместности деформаций в криволинейных координатах [c.117]

Используя (4.25) и (4.35), определим компоненты тензора деформаций в криволинейных координатах [c.108]

Связь напряжений и деформаций в криволинейных координатах [c.114]

Как записать в матричной форме формулы для вычисления компонент Тензора деформации в криволинейных координатах - [c.105]

ТЕНЗОР СКОРОСТЕЙ ДЕФОРМАЦИИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 47 [c.47]

Компоненты тензора скоростей деформации в криволинейных координатах [c.47]

ТЕНЗОР СКОРОСТЕЙ ДЕФОРМАЦИИ в КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 49 [c.49]

КОМПОНЕНТЫ ДЕФОРМАЦИИ в Криволинейных координатах 131 [c.131]

КОМПОНЕНТЫ ДЕФОРМАЦИИ в КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 133 [c.133]

Компоненты деформации в криволинейных координатах 65 [c.65]

Так как все прочие введенные в первой главе инварианты можно рассматривать как функции от Ех, Еа, Е3, то отсюда следует, что при их вычислении можно пользоваться компонентами деформации в криволинейных координатах, подставляя их вместо Соответствующих (по месту, занимаемому в матрице) компонентов деформации в декартовых координатах. [c.168]

Совершенно аналогичным образом на случай описания деформации в криволинейных координатах могут быть распространены и все прочие результаты главы III. Не будем на этом останавливаться, поскольку читатель подготовлен теперь к самостоятельному выполнению этих обобщений. [c.178]

Естественно, что построение тензора деформаций возможно и в случае, когда смешения заданы в криволинейных координатах. В произвольной ортогональной системе координат а, р, у) компоненты тензора малых деформаций можно определить следующим образом [c.215]

Величина е называется относительной деформацией элемента ds. Элемент дуги в криволинейных координатах выражается следующим образом [c.214]

На основании гипотезы 3 и равенства (4) из геометрических соотношений теории упругости, записанных в криволинейных координатах и преобразованных с учетом (2), можно. получить следующие выражения, определяющие деформации оболочки через перемещения ее срединной поверхности и к из [1631 [c.218]

Теория деформаций - Основные зависимости в криволинейных координатах 25, 26 [c.613]

Реализация сформулированных гипотез (5.29), (5.30) и оценки порядка величин деформаций и поворотов (5.31) позволяют перейти от общих уравнений нелинейной теории упругости (5,1), (5.2) к уравнениям гибких прямоугольных пластин. Для наших целей указанные уравнения удобно получить предельным переходом из соотношений для гибкого тела в криволинейных координатах при / -->- XI, Лз == 1 (s 1, 2), где / . As радиусы кривизны и параметры Ламе срединной поверхности. Эти уравнения можно разделить па несколько самостоятельных групп [c.100]

Упражнения к этой главе затрагивают также две дополнительные темы. Первая из них связана с условиями совместности и функциями напряжений. В задачах 18 и 19 дан систематический метод получения функций напряжений в случае растяжения пластины, а также ее изгиба с использованием условий совместности. Вторая тема относится к теории изгиба пластины, представленной в криволинейных координатах. Задачи 20—23 посвящены теории изгиба в неортогональной системе координат, в косоугольной системе координат, в ортогональной криволинейной системе координат и в цилиндрической системе координат соответственно. В задаче 24 рассматривается теория изгиба пластины с учетом деформации поперечного сдвига в неортогональной криволинейной системе координат. [c.248]

Обозначения с аналогичными индексами применяются для компонентов тензоров напряжения и деформации и вектора перемещения в криволинейных координатах. Другие обозначения приводятся по ходу изложения. [c.15]

Оператор Лапласа в криволинейных координатах 43 Ось деформации главная 13 [c.580]

Чтобы составить выражения компонентов тензора Т в криволинейных координатах, следует воспользоваться приведёнными выше выражениями (7.4) тензора деформации, заменив в них на При этом Ва (греческий подстрочный индекс) обозначают проекции вектора В на оси системы криволинейных координат. Они могут быть выражены через проекции Вд (латинский индекс) на оси декартовой системы с помощью очевидных формул [c.52]

Этот важнейший вывод из теоремы Гельмгольца, конечно, относится к бесконечно малым деформациям и мог быть сделан уже после введения понятия о тензоре бесконечно малых деформаций ( 2). Более ого, поскольку этот тензор по структуре и физическому смыслу сходен с тензором скоростей деформаций, то и физическая интерпретация компонент тензора скоростей деформаций может быть получена путем процедуры, аналогичной относительно компонент U.J ( 2), Диагональные компоненты тензора представляют собой скорости относительных удлинений по координатным осям, а недиагональные — половину скоростей угловой деформации в соответствующих координатных плоскостях, так что в криволинейных координатах имеем [c.187]

Криволинейные координаты. Во многих случаях является целесообразным заменить декартовы координаты криволинейными например, при наличии осевой и шаровой симметрии цилиндрические и сферические координаты являются наиболее подходящими при решении задач. Чтобы провести наиболее простым образом преобразование основных уравнений, выразим сначала составляющие тензора деформации непосредственно в криволинейных координатах (ограничиваясь случаем ортогональности их) далее, при помощи минимальных принципов сформулируем условия равновесия. [c.56]

Выражения для деформаций е,-, также можно представить в общем виде в криволинейных координатах [54] [c.26]

Основы учения о движении вязкой жидкости были заложены в 1821 г. французским ученым Навье и получили свое завершение в 1845 г. в работах Стокса (1819—1903), который сформулировал закон линейной зависимости напряжений от скоростей деформаций, представляющий обобщение простейшего закона Ньютона, и дал в окончательной форме уравнения пространственного движения вязкой жидкости, получившие наименование уравнений Навье — Стокса. Используя специальные молекулярные гипотезы относительно свойств реальных газов, уравнения движения вязкого газа выводили в 1821 г. Навье, в 1831 г. Пуассон (1781—1846) и в 1843 г. Сен-Венаи (1797—1866). Урав " нения Навье —Стокса в криволинейных координатах в 1873 г. вывел Д. К- Бобылев. [c.26]

Пример, иллюстрирующий использование систем криволинейных координат, дают следующие компоненты деформации в цилиндрических координатах [c.104]

Будем исходить из вариационного уравнения Лагранжа в форме (16). Заменим в этом уравнении тензор напряжений через тензор деформации по формуле (7), учитывающей влияние температуры. Компоненты тензора деформаций в криволинейно-ортогональной системе координат равны [40] [c.24]

Как известно [1], [68], относительные линейные деформации в направлении ортогональных криволинейных координат ai, аг, аз равны [c.234]

Соотношения между напряжениями и деформациями. В прямолинейной прямоугольной системе координат соотношения между напряжениями и деформациями были записаны в форме (3.45) и (3.46). В произвольной системе криволинейных координат соотношения между напряжениями и деформациями имеют вид [c.118]

Величины Ж/,, т. е. декартовы координаты материальной точки до деформации, можно сохранить в качестве индивидуальной характеристики материальной точки, меняющей свое положение в пространстве. Поэтому они играют двойную роль их можно рассматривать как декартовы координаты по отношению к неизменному базису либо как криволинейные координаты в деформированном пространстве координатные линии в этом пространстве представляют собою кривые, образованные теми точками, которые до деформации принадлежали прямым, параллельным координатным осям. [c.213]

Оболочкой называется тело, ограниченное двумя эквидистантными поверхностями. Чтобы сделать определение более точным, выберем некоторую поверхность S. В каждой точке М этой поверхности проведем нормаль и отложим по одну и по другую сторону поверхности отрезки, равные h, так что М М = М М = h. Совокупность точек Mi образует одну сторону оболочки, совокупность точек Мг — другую сторону, 2h — толщина оболочки, S — ее срединная поверхность. Оболочка считается тонкостенной, если h R, где R — наименьший из главных радиусов кривизны срединной поверхности. Техническая теория оболочек основывается на точно такой же гипотезе прямых нормалей, что и техническая теория пластин. Предполагается, что линейный элемент, нормальный к срединной поверхности до деформации, остается нормальным к деформированной срединной поверхности. Если отнести поверхность к ортогональной системе криволинейных координат и выбрать локальные оси Ха в касательной плоскости к срединной поверхности, направив ось z по нормали, то для 27 [c.419]

Для получения общих выражений составляющих деформаций в ортогональных криволинейных координатах и ад рассмотрим две точки упругого тела [c.159]

В 6 изложен, как нам представляется, наиболее простой приём составления основных дифференциальных операций в криволинейных координатах. Мы ограничились случаем ортогональных координат, как наиболее важным для приложений. В 7 этот приём применён для записи в ортогональных криволинейных координатах основных соотношений механики сплошной среды, в том числе для составления условий сплошности. Другой вывод условий сплошности (в любых криволинейных координатах) дан в статьях Т, Н. Блинчикова Дифференциальные уравнения равновесия теории упругости в криволинейной координатной системе (Прикл. матем. и мех., 2, 1938, стр. 407) и В. 3. Власова Уравнения неразрывности деформаций в криволинейных координатах (там же, 8, 1944, стр. 301). Запись уравнений сплошности в сферических и цилиндрических координатах приведена в книге В. 3. Власова Общая теория оболочек (Гостехиздат, 1949). [c.69]

На основании этого мы найдем следующие выражения для состаыляющих деформации в криволинейных координатах [c.196]

Координаты криволинейные ортогональные—, 62 —тождества Ламе, 64 ко мпо-ненты деформации в криволинейных координатах, 65, 69 объемнее расши рение и вращение в криволинейных — 66 —68 вторые производные, выра женные через первые, 69 уравнения рарновесия в криволинейных —, 101 151, 179 см. Биполярные, цилиндри ческие. Эллиптические Полярные — [c.669]

Разделы, касающиеся метода фотоупругости, двумерных задач в криволинейных координатах и температурных напряжений, расширены и выделены в отдельные новые главы, содержащие многие методы и решения, которых не было в прежнем издании. Добавлено приложение, относящееся к методу конечных разностей, в том числе к методу релаксации. Новые параграфы, включенные в другие главы, относятся к теории розетки датчиков деформаций, гравитационным напряжениям, принципу Сен-Венана, компонентам вращения, теореме взаимности, общим решениям, приближенному характеру решений при плоском напряженном состоянии, центру кручения и центру изгиба, концентрации напряжений при кручении вблизи закруглений, приближенному исследованию тонкостенных сечений (например, авиационных) при кручении и изгибе, а также к круговому цилиндру при действии пояскового давления. [c.14]

Теперь мы могли бы уже написать уравнения движеиня в проекциях на криволинейные оси координат, но предварительно мы хотим ещё показать, как вычисляются в криволинейных координатах составляющие тензора скоростей деформаций и тензора напряжений. Пусть Л1, и — две бесконечно близкие частицы жидкости, и пусть Мх и М 2 — положения этих частиц через бесконечно малый промежуток времени Обозначим криволинейные координаты [c.392]

Деформация (малая) теория — Коши 22, 50—55 однородная —. 47 чистая —, 50 компоненты —, 51, 137 преобразование компонентов —, 53 инварианты, 55 типы —, 55—57 разложение — на объемное расширение и сдвиг, 58 тождественные соотношения между компонентами —, 30, tO главные оси —, 48 главные удлинения —, 53 определение смешений по компонентам —, 61 компоненты —в криволинейных координатах, 64 разложение однородной — на чистую — и вращение, 49 среднее значение компрнен- [c.668]

Поскольку мы пользуемся материальными координатами х, у, г, все указанные выше варианты граничных условий формулируются на поверхности тела до деформации (так как в системе криволинейных координат X, у, z уравнение поверхности тела после деформации идентично уравнению этой поверхности до деформации в декартовых координатах XYZ). Возможность задания краевых условий на поверхности недефэрмированного тела является несомненным преимуществом, поскольку форма этой поверхности наперед задана, тогда как форма поверхности, ограничивающей тело после его деформации, является искомой, за исключением того частного случая, когда на всей границе тела краевые условия заданы в перемещениях, т. е. в виде (4.1). [c.116]

Для механики сплошной среды вообще и механики деформируемого твердого тела в частности аппарат теории тензоров является естественным аппаратом. В большинстве теорий выбор системы координат, в которых ведется рассмотрение, может быть произвольным. Проще всего, конечно, вести это рассмотрение в ортогональных декартовых координатах. Очевидно, что доказательство общих теорем и установление обнщх принципов при написании уравнений именно в декартовых координатах не нарушает общности. Что касается решения задач, то иногда бывает удобно использовать ту или иную криволинейную систему координат. Однако при этом почти всегда речь идет о простейших ортогональных координатных системах — цилиндрической или сферической для пространственных задач, изотермической координатной сетке, порождаемой конформным отображением, для плоских задач. В некоторых случаях, когда рассматриваются большие деформации тела, сопровождаемые существенным изменением его формы, система координат связывается с материальными точками и деформируется вместе с телом. При построении соответствующих теорий преимущества общей тензорной символики, не связанной с определенным выбором системы координат, становятся очевидными. Однако в большинстве случаев эти преимущества используются при формулировке общих уравнений, не открывая возможности для решения конкретных задач. Поэтому мы будем вести основное изложение в декартовых прямоугольных координатах, случай цилиндрических координат будет рассмотрен отдельно. [c.208]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...