Классическая теория упругости при бесконечно малых деформациях

Налагая на постоянный тензор L дополнительные ограничения, которые мы обсудим в X. 1, можно, хотя это далеко не просто, доказать теоремы существования, единственности и регулярности для типичной граничной задачи с начальными данными и типичной статической граничной задачи классической теории упругости бесконечно малых деформаций. Без этих ограничений в общем случае типичная граничная задача не имеет решения. [c.300]

Разумеется, читатель, наученный на опыте классической ошибки в теории упругости бесконечно малых деформаций, не станет ожидать, что главные компоненты будут в общем случае компонентами по отношению к какой-нибудь системе координат. [c.274]

В ЭТОМ параграфе будет выведено общее соотношение между напряжением и деформацией в случае классической теории (т. е. теории, соответствующей бесконечно малым деформациям), а затем будет обсуждена форма этого соотношения, которую оно принимает в определенных частных случаях. Поскольку упругий потенциал на единицу объема является инвариантом, то выражение [c.40]

В классической теории упругости рассматриваются деформации бесконечно малые в том смысле, что в случае простого сдвига сохраняется величина s как имеющая первый порядок малости, а величинами второго и более высокого порядка малости можно пренебречь. Из (2.66) явствует, что диагональные величины этого порядка в формулах для у - (/о)—y Ht) равны нулю, тогда как отличные от нуля недиагональные элементы имеют первый порядок. Для конечной деформации, с другой стороны, не все диагональные элементы равны нулю и при достаточно больших сдвигах они могут превосходить отличные от нуля недиагональные величины сдвига. [c.60]

Упругие тела, все размеры которых соизмеримы между собой, работают, как правило, в области малых деформаций. Исключением является мягкая резина, а также некоторые поли меры. Поэтому классическая теория упругости основывается на предположении, что деформации настолько малы, что их можно трактовать как бесконечно малые. Это предположение считают справедливым и при проектировании конструкций, в которых один из размеров значительно меньше остальных. В инженерных конструкциях и машинах делают ограничения не только на деформации, но и на прогибы, считая их очень малыми. [c.28]

Бесконечно малые деформации. В классической теории упругости или в теории бесконечно малых упругих деформаций принимается, что компоненты вектора перемещения и их производные по являются, бесконечно малыми первого порядка, так что произведениями и квадратами этих величин мы пренебрегаем по сравнению с их первыми степенями. Если это приближение использовать в выражении (3.11), то найдем, что кова-риантный тензор деформации примет вид [c.17]

В так называемой классической теории упругости ограничиваются в соответствии с большинством практических приложений малыми (бесконечно малыми) деформациями и кладут в основу линейно-упругое поведение материалов согласно идеализированному закону Гука. Преимущество такого подхода состоит прежде всего в том, что математическое описание существенно упрощается благодаря геометрической линейности. Характерным для линейной теории упругости является линейность всех уравнений относительно искомых величин и их производных. [c.9]

Классическая теория упругости при бесконечно малых деформациях [c.297]

В классической теории, которой посвящены почти все научные работы девятнадцатого века н учебники для инженеров двадцатого века, предполагается, что упругий материал имеет естественную конфигурацию, и рассматриваются только бесконечно малые деформации относительно этой конфигурации. В этом случае соотношения (IX. 2-4) и (IX. 2-6) сводятся к соотношению [c.297]

Как уже упоминалось, на тензор линейной упругости Ь в соотношении (IX. 3-1) для напряжения в классической теории бесконечно малых деформаций из естественной конфигурации принято налагать дополнительные ограничения. Это, во-первых, условие [c.313]

В X. 1 мы видели, что для того, чтобы получить результаты классической теории бесконечно малых деформаций, справедливой для малых деформаций из естественной конфигурации требуется некоторое дополнительное неравенство. С другой сто-роны, как мы видели в VII. 3, мы не можем слепо следовать образцу чистой математики и налагать чересчур сильные условия, достаточные для того, чтобы обеспечить безоговорочную единственность решения граничной задачи с заданными перемещениями и с заданными усилиями, поскольку такая единственность при больших деформациях была бы точно так же неподходящей, как и нарушение этой единственности при малых деформация . Во всяком случае, сейчас это предостережение излишне, поскольку общие дифференциальные уравнения теорий упругости лежат за пределами области, для которой аналитикам удалось построить полезную теорию. В предыдущем параграфе мы изучали возможность наложить требование, чтобы преобразование от главных растяжений к главным силам в изотропном материале было монотонным. Теперь мы рассмотрим соответствующее условие для упругих материалов, имеющих произвольную группу равноправности. [c.321]

В этой главе исследуется приложение метода конечных элементов к задачам теории упругости при конечных деформациях ), т. е. к задачам об очень больших деформациях упругих тел, когда не накладывается никаких ограничений на порядок величин перемещений, градиентов перемещений и компонент тензора деформаций. При этом в качестве частных случаев получаются различные дискретные модели задач классической теории упругости при бесконечно малых деформациях. Однако прежде чем рассматривать свойства дискретной модели, надо охарактеризовать механические свойства материалов, которые считаются упругими. [c.235]

Хотя компоненты деформации yij в (15.43) и предполагаются бесконечно малыми, эти соотношения могут и не привести к линейной теории, поскольку уц могут нелинейно зависеть от градиентов перемещений и,, Функция энергии деформации для классической линейной теории упругости получается из (15.43) при предположении, что, кроме Уц, и вращения (Лц (а значит, и ищ) бесконечно малы. При этом уц = ец, где ец — тензор бесконечно малых деформаций, определенный формулой (4.18а), и [c.247]

Как мы установим в упр. IX. 3.2, в классической теории бесконечно малых упругих деформаций статическая деформация изотропного упругого тела, подвергнутого действию одних усилий на границе, описывается уравнением Навье [c.280]

Тензоры Гц и ец — (антисимметричный) тензор бесконечно малого поворота и линеаризованный эйлеров тензор деформации соответственно. Последний — симметричный тензор деформации из классической линейной теории упругости. [c.87]

В настоящее время разности нормальных напряжений составляют объект все возрастающего числа исследований. Для измерений разностей нормальных напряжений (3.28), рассматриваемых в главе 9, обычно используются сдвиг или сдвиговое течение с искривленными линиями и поверхностями сдвига. Поэтому необходимо распространить сделанный выше анализ на неоднородное состояние деформации и напряжения. Изложенное выше доказательство дано Вейссенбергом Ему же принадлежит обобщение на случай сдвигового течения в зазоре между вращающимися конусом и пластиной Дальнейшее распространение на другие системы, представляющие интерес для экспериментальной реологии, проделали Коулмен и Нолль р ]. Пойнтинг рз2,133 по-видимому, первый предположил, что наложение на упругое твердое тело конечной деформации сдвига может привести к возникновению не равных по величине нормальных компонент напряжения. В классических теориях, ограниченных бесконечно малыми деформациями, нормальные составляющие напряжения при сдвиге равны друг другу. [c.92]

Первая часть настоящей работы (раздел А) посвящена основам общей теории. Несмотря на то, что в этом разделе рассматривается классическая теория упругости, в которой деформации считаются бесконечно малыми, мы следуем здесь теории конечных деформаций, развитой Грином и Церна, поскольку она освещает основные вопросы предмета. [c.8]

Теоремы Стоппелли и Ван Бюрена выявляют роль статической классической теории упругости при бесконечно малых де формациях как приближения для общей теории и способы усовершенствования этого приближения, но они не проясняют положения в задачах с большими деформациями. [c.269]

Несмотря на то что, как неоднократно отмечалось в этой книге, классическая теория упругих жидкостей тривиально включается как частный случай в общую теорию упругости, классическая теория упругости при бесконечно малых деформациях с самого начала исключает из рассмотрения все жидкости, кроме некоторых особых, поскольку жидкость в общем случае не имеет естественной конфигурации. Как показывает (1), для бесконечно малых деформаций относительно естественной конфигурации тензоры напряжений Коши и Пиолы совпадают. С первого взгляда на (IX. 2-4) и (IX. 2-6) видно, что никакого такого совпадения двух т" нзоров напряжения не может быть, если отсчетная конфигурация не является естественной конфигурацией. [c.297]

В этой главе мы ограничимся в основном рассмотрением распространения упругих волн в изотропной упругой пластинке п изотропном упругом цилиндре. Для этих двух случаев точные решения уравнений движения можно получить пз классической теории упругости, которая имеет дело с бесконечно малыми деформациями. Эти решения удовлетворяют уравнениям упругого движения и граничным условиям на свободных поверхностях, параллельных направлению распространения волны. Такими поверхностями для пластинки являются две параллельные плоскости, а для цилиндра — криволинейная внешняя поверхность. Кроме того, решения представляют собой распространяюш,иеся нормальные волны ), которые существуют в этпх двух типах упругих волноводов. Основное внимание в этой главе уделено распространению нормальных волн в неограниченных пластинках и цилиндрах. Одиако кратко рассматриваются танзке специальные задачи, связанные с удовлетворением граничш,1х условий на торцевых поверхностях пластинок и.т]и цилиндров конечной длины для различных нормальных волн. [c.140]

Классическим примером в этом отношении может служить теория напряжений и деформаций в идеальном однородном теле, когда в точке тела выделяется бесконечно малый элемент в виде параллелепипеда и рассматривается его напряженное состояние. Связь между деформациями и напряжениями описывает закон Гука. Развитие этого подхода с учетом возникновения пластических деформаций позволяет найти зависимости между напряжениями и деформациями и за пределами упругости [111]. Необходимость учитывать реальные особенности строения материалов привела к созданию таких наук, как металловедение, которая изучает и устанавливает связь между составом, строением и свойствами металлов и сплавов. Для материаловедения как раз характерно рассмотрение явлений, происходящих в пределах данного участка (зерна, участка с типичной структурой), обладающего основными признаками всего материала. Изучение микроструктур сплавов и их формирования явлений, происходящих по границам зерен, термических превращений и других процессов, проводится в первую очередь на уровне, который описывает микрокартину явлений. [c.60]

Во второй части книги мы рассмотрим акустические волны в твердых телах, характеризующихся различными физическими свойствами — упругой анизотропией, пьезоэффектом, наличием носителей электрического заряда, магнитоупругостью, внутренней структурой и т. д. Однако, прежде чем переходить к изучению такого рода сложных систем, естественно ознакомиться с наиболее простым случаем — классическим идеально упругим изотрот ым твердым телом (диэлектриком). Под идеально упругим будем подразумевать твердое тело, в котором отсутствуют пластические деформации. Иными словами, при снятии силовой нагрузки тело приходит в первоначальное состояние (отсутствие механического гистерезиса). Феноменологически такое тело может быть описано в рамках теории упругости — хорошо разработанного раздела механики сплошных сред (см., например, 1]). Ниже приведены основные сведения из теории упругости, необходимые для понимания дальнейшего изложения. Несмотря на то, что в настоящей главе мы ограничимся рассмотрением волн бесконечно малой амплитуды в рамках линейной акустики, Б целях методического единства здесь приведены и некоторые сведения из нелинейной теории упругости изотропных твердых тел. [c.188]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...