Теория малых деформаций. Тензоры бесконечно малых деформаций

Так называемая теория малых деформаций в механике сплошных сред имеет своим основным условием требование малости градиентов перемещения по сравнению с единицей. Основной мерой деформации служит разность [йх) — (йХ) , которую можно выразить через градиенты перемещения, подставляя (3.40) и (3.41) в (3.36) и (3.38) соответственно. Если градиенты перемещения малы, то тензоры конечных деформаций в (3.36) и (3.38) сводятся к тензорам бесконечно малых деформаций, а результирующие соотношения представляют малые деформации. [c.120]

В случае классической линейной теории потери устойчивости оболочек поиск нагрузок бифуркации существенно упрощается вместо тензора конечных деформаций (14) в уравнениях устойчивости используется тензор бесконечно малых деформаций (38). В этом случае для конечного элемента оболочки вместо уравнения (41) получаем матричное уравнение устойчивости [c.289]

Что такое бесконечно малая деформация Почему она характеризуется одним тензором деформации Зачем нужна теория бесконечно малых деформаций [c.92]

В линейной теории вязкоупругости, в которой рассматривается случай бесконечно малых деформаций и лагранжевы и эйлеровы переменные не различаются, тензор деформаций имеет линеаризированную форму (1.10). [c.22]

В общепринятых учебниках физики твердого тела для студентов старших курсов предмет теории упругости обычно не рассматривается. Большинство книг ограничивается определением тензора деформации (только для бесконечно малых деформаций) и тензора напряжений и связующим их эмпирическим соотношением, т. е. законом Гука. [c.25]

Бесконечно малые деформации. В классической теории упругости или в теории бесконечно малых упругих деформаций принимается, что компоненты вектора перемещения и их производные по являются, бесконечно малыми первого порядка, так что произведениями и квадратами этих величин мы пренебрегаем по сравнению с их первыми степенями. Если это приближение использовать в выражении (3.11), то найдем, что кова-риантный тензор деформации примет вид [c.17]

Налагая на постоянный тензор L дополнительные ограничения, которые мы обсудим в X. 1, можно, хотя это далеко не просто, доказать теоремы существования, единственности и регулярности для типичной граничной задачи с начальными данными и типичной статической граничной задачи классической теории упругости бесконечно малых деформаций. Без этих ограничений в общем случае типичная граничная задача не имеет решения. [c.300]

Как уже упоминалось, на тензор линейной упругости Ь в соотношении (IX. 3-1) для напряжения в классической теории бесконечно малых деформаций из естественной конфигурации принято налагать дополнительные ограничения. Это, во-первых, условие [c.313]

X. 3.5. В теории бесконечно малых деформаций (напомним, что отсчетная конфигурация является естественной) тензоры T == T (0J, Од, Од) имеют вид [c.546]

Тензоры Гц и ец — (антисимметричный) тензор бесконечно малого поворота и линеаризованный эйлеров тензор деформации соответственно. Последний — симметричный тензор деформации из классической линейной теории упругости. [c.87]

Например, в упругих телах (деталях различных машин и сооружений) деформации часто малы и компоненты тензора деформации, являющиеся в декартовой системе координат отвлеченными числами, имеют порядок долей процента поэтому большое распространение получила линейная теория бесконечно малых деформаций, в которой произведениями малых величин пренебрегают. [c.347]

В этой главе исследуется приложение метода конечных элементов к задачам теории упругости при конечных деформациях ), т. е. к задачам об очень больших деформациях упругих тел, когда не накладывается никаких ограничений на порядок величин перемещений, градиентов перемещений и компонент тензора деформаций. При этом в качестве частных случаев получаются различные дискретные модели задач классической теории упругости при бесконечно малых деформациях. Однако прежде чем рассматривать свойства дискретной модели, надо охарактеризовать механические свойства материалов, которые считаются упругими. [c.235]

Деформация происходит во времени с некоторой скоростью. Скорость деформации в рассматриваемой точке М деформируемого тела характеризуется скоростью деформации бесконечно малой частицы, выделенной в теле вокруг этой точки (рис, 24), и описывается тензором скоростей деформаций В теории деформаций сравниваются два состояния — начальное (в момент времени 4) и конечное (в момент времени t ). В теории скоростей деформаций рассматривается мгновенное состояние в любой момент времени [c.93]

Задача определения сложных пространственных пластических течений относится к задачам математической теории пластичности и в принципе формулируется так соотношения (4.11) выражают шесть компонент тензора напряжений через шесть компонент тензора скоростей деформаций и среднее напряжение а, т. е., согласно (4.4), через три компоненты вектора скорости и , Uy, и и о. Если подставить (4.11) в три уравнения движения бесконечно малого элемента, получатся три уравнения с указанными четырьмя неизвестными функ- [c.201]

Первая матрица правой части симметрична она определяет чистую деформацию (без вращений). Вторая матрица антисимметрична видим, что она определяет жесткий поворот тела (без деформации). Наши рассуждения можно связать с теорией тензоров ) и тогда формулировать последний результат так тензор малой деформации (2.7) может быть разложен на симметричный тензор чистой деформации и антисимметричный тензор жесткого вращения. Тензор (2.7) иногда называют тензором относительных перемещений. Действительно, рассмотрим бесконечно малый параллелепипед с ребрами йх=, у= I, 2=1 тогда очевидно, что [c.52]

Любое из этих уравнений в пространстве (с шестью независимыми компонентами) обобщает соотношение (2.2.54) на случай теории конечных деформаций. Очевидно, тензор 1 — 2е может рассматриваться как метрический для деформированного материального пространства в теории бесконечно малых деформаций. В этом случае уравнение (2.2.55) принимает вид Ai/i i(e) = 0. Однако с тензором кривизны в трехмерном [c.89]

Хотя компоненты деформации yij в (15.43) и предполагаются бесконечно малыми, эти соотношения могут и не привести к линейной теории, поскольку уц могут нелинейно зависеть от градиентов перемещений и,, Функция энергии деформации для классической линейной теории упругости получается из (15.43) при предположении, что, кроме Уц, и вращения (Лц (а значит, и ищ) бесконечно малы. При этом уц = ец, где ец — тензор бесконечно малых деформаций, определенный формулой (4.18а), и [c.247]

В книге сделана попытка дать новое, более наглядное изложение предложенного Мором графического метода представления напряжений и бесконечно малых деформаций. С этой целью автором широко использовано понятие об октаэдрических составляющих напряжений и бесконечно малых деформаций, с помощью которых многие важные факты в теории пластичности нашли простое выражение. Автор надеется, что инженеры и физики будут шире пользоваться этим методом, весьма удобным для наглядного представления тензоров напряжения и деформации и для анализа критериев прочности и пластичности в твердых телах. Одна из глав посвящена векторному аппарату исследования геометрии напряжений и конечных однородных деформаций. Ее можно рассматривать как попытку познакомить читателя, имеющего математические склонности, с основами теории линейных вектор-функций в ее применении к теории деформаций непрерывной среды и с использованием диадного исчисления Гиббса. Удивительно, что простота, совершенство формы и ясность изложения, которые достигаются при пользовании этим методом, не встретили до сих пор широкого признания в литературе по прикладной механике. В гл. XIV автор следовал изложению книги Вилсона Векторный анализ . Хотя присущие диадному исчислению эвристические достоинства и не требуют рекомендаций для механиков, все же нужно добавить, что этот прием не заключает в себе каких-либо преимуществ перед другими методами в качестве средства для нахождения конкретных решений дифференциальных уравнений в частных производных. [c.6]

Несмотря на то что, как неоднократно отмечалось в этой книге, классическая теория упругих жидкостей тривиально включается как частный случай в общую теорию упругости, классическая теория упругости при бесконечно малых деформациях с самого начала исключает из рассмотрения все жидкости, кроме некоторых особых, поскольку жидкость в общем случае не имеет естественной конфигурации. Как показывает (1), для бесконечно малых деформаций относительно естественной конфигурации тензоры напряжений Коши и Пиолы совпадают. С первого взгляда на (IX. 2-4) и (IX. 2-6) видно, что никакого такого совпадения двух т" нзоров напряжения не может быть, если отсчетная конфигурация не является естественной конфигурацией. [c.297]

В теории бесконечно малых деформаций решение граничной задачи с заданными усилиями, если оно существует, единственно лишь по отношению к бесконечно малым поворотам. Так, если и (Х)—решение системы (12), то решением будет также и + (X — Хо) + onst, где W —любой постоянный антисимметричный тензор. В общей теории упругости не следует ожидать никакой подобной неопределенности, ибо произвольный поворот тела как целого в общем случае не сохраняет равновесие моментов. Чтобы согласовать эти факты, Синьорини предложил определять W с помощью условия совместности (18). Если существует лишь единственный поворот W , то неопределенность поворота устраняется. [c.309]

Это означает, что в теории бесконечно малых деформаций лаг-ранжев и эйлеров тензоры деформаций совпадают. В частности, можно использовать только одну систему координат (например, хи). Тогда уравнения (2.2.44) и (2.2.45) принимают вид [c.87]

Введенные выше тензоры деформации в пространстве имеют в общем случае по шесть независимых компонент. Однако они выражаются через вектор перемещения, который имеет самое большее три независимые компоненты. Если произвольно задать шесть компонент тензора деформации, то сразу возникнет вопрос, существует ли однозначное непрерывное поле вектора перемещения, соответствующего этой деформации. Очевидно, уравнения (2.2.40) и (2.2.41) не имеют решений для трех неизвестных функций ик или ы,-, если не выполняются определенные условия интегрируемости или совместности. Эти условия в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных содержат только компоненты тензора деформации. Например, в теории бесконечно малых деформаций условия совместности, известные как соотношения Ламе, имеют вид [Ег1пдеп, 1967] [c.88]

Заметим, что не всякий объект, являющийся тензором по отношению к линейным преобразованиям декартовых координат, есть тензор по отношению к преобразованиям криволинейных координат например, большие пзремещения, рассматриваемые в геометрически нелинейной теории упругости, при нелинейных преобразованиях (13) преобразуются по нелинейному закону, а не по векторному. В данной книге используются только бесконечно малые перемещения и деформации, являющиеся векторами и тензорами. [c.211]

Феноменологическое исследование механических свойств композиционных материалов может быть проведено двумя путями. Первый основан на рассмотрении армирующего материала как конструкции и учитывает реальную структуру композиции. В этом случае задача состоит в установлении зависимостей между усредненными напряжениями и деформациями. Второй путь основан на рассмотрении армированных материалов как квазноднородных сред и использовании традиционных для механики твердых деформируемых тел средств и методов их описания. Краткая схема аналитического расчета упругих констант композиционного материала методом разложения тензоров жесткости и податливости в ряд по объемным коэффициентам армирования приведена в монографии [60, 83]. Установлено, что при малом содержании арматуры можно ограничиться решением задачи для отдельного волокна, находящегося в бесконечной по объему матрице. Однако такой подход заведомо приводит к грубым погрешностям при расчете упругих характеристик пространственно армированных материалов, объем которых заполнен арматурой на 40—70 %. К тому же следует учесть, что пространственное расположение волокон в этих материалах приводит к росту трудностей при решении задачи теории упругости по определению напряженно-деформированного состояния в многосвязанной области матрица—волокно. Коэффициент армирования при этом входит в расчетные выражения нелинейно, что приводит к очередным трудностям реализации метода разложения упругих констант материала по концентрациям его компонентов. [c.55]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...