Момент инерции около неподвижной оси

В этом состоит закон сохранения момента импульса тела, вращающегося около неподвижной оси. Если момент инерции тела не изменяется (что имеет место для абсолютно твердых тел), [c.240]

Но сумма тг есть не что иное, как момент инерции тела относительно оси О. Следовательно, в случае вращения твердого тела около неподвижной оси момент количеств движения относительно оси вращения равен произведению из угловой скорости на момент инерции тела для оси вращения. [c.199]

Возьмем неподвижную систему осей координат Л т1 , начало которой совпадает с неподвижной точкой Л. Очевидно, когда тело будет вращаться около оси Л , то положение отдельных точек тела относительно осей Л и Лт] будет изменяться и, следовательно, моменты инерции тела относительно осей Л и Ац будут величинами переменными. [c.410]

Уравнения (12) называются динамическими уравнениями Эйлера для движения твердого тела около неподвижной точки. В левые части этих уравнений входят три неизвестные функции р, г, которые представляют собой проекции мгновенной угловой скорости на подвижные оси. хх, уу, гг — осевые моменты инерции относительно главных осей. В общем случае моменты внешних действующих снл зависят от положения (ориентации) тела по отношению к неподвижным осям, т. е. от углов Эйлера [c.436]

Таким образом, произведение момента инерции тела, вращающегося около неподвижной оси, на его угловое ускорение равно сумме моментов всех действующих на тело внешних и реактивных сил относительно оси вращения. [c.104]

Пусть твердое тело под действием силы тяжести движется около неподвижной точки. Направим ортонормированные векторы е 1, е 2, вд с началом в этой точке по главным осям инерции тела. Соответствующие моменты инерции обозначим А, В, С. Примем, что между моментами инерции выполнено соотношение [c.489]

Гладкий стержень свободно вращается в горизонтальной плоскости с угловой скоростью шо вокруг неподвижной вертикальной оси О (рис. 5.27), относительно которой его момент инерции равен I. На стержне около оси вращения находится небольшая муфта массы т, соединенная с этой осью нитью. После пережигания нити муфта начинает скользить вдоль стержня. Найти скорость v муфты относительно стержня в зависимости от ее расстояния г до оси вращения. [c.165]

Положим, что оси Хд и уо не являются главными осями инерции платформы гиростабилизатора тогда вокруг оси Хд, согласно (30), действует инерционный момент М" , возникающий при движении платформы около неподвижной точки О [c.545]

Доказать, что если тело может вращаться около неподвижной точки и находится под действием сил, момент которых относительно мгновенной оси вращения равен нулю, то угловая скорость пропорциональна длине того радиуса вектора эллипсоида инерции, направление которого совпадает с направлением мгновенной оси вращения. [c.127]

Доказать, что если неизменяемая прямая пересекает в точке Q сферу единичного радиуса, описанную около неподвижной точки О, то момент относительной (по отношению к телу) скорости точки Q относительно главной оси инерции ОА равен [c.128]

Можно предвидеть, что предположение о кинетической симметрии около оси так же поведет к упрощению более трудной задачи о вращении под действием каких-либо сил. Кинетическая симметрия имеет важное значение еще и потому, что она существует почти во всех случаях, имеющих практическое значение. Примерами являются разног рода механизмы, гироскоп со всеми его применениями, вращающийся волчок и движение планет. Мы будем, таким образом, во всей настоящей главе предполагать у рассматриваемых тел два главных момента инерции в центре тяжести (или в неподвижной точке) равными между собой. [c.129]

Уравнения Эйлера (13.10.3) можно применить также к задаче о вращении тела около неподвижной точки О. В качестве осей 0123 в этом случае берутся главные оси инерции в точке О, а символы А, В, С обозначают моменты инерции тела относительно этих осей. [c.234]

Из уравнений (108) следует, что для уравновешивания сил инерции в плоском механизме достаточно так подобрать массы этого механизма, чтобы общий центр тяжести движущихся масс оставался неподвижным. Для уравновешивания моментов около осей х и у достаточно подобрать массы механизма так, чтобы центробежные моменты инерции этих масс относительно плоскостей xz и yz были постоянными. [c.56]

Так, в современных гироскопических приборах угловая скорость со собственного вращения достигает иногда 40 000—50 ООО об/мин, а угловая скорость со, вращения оси гироскопа равна одному обороту за 2—3 мин и даже за 20 мин (для гирокомпасов). Рассмотрим сначала случай, когда гироскоп движется около неподвижной точки. Если выбрать начало координат в этой точке О и направить ось г по оси симметрии гироскопа, то оси X, у, Z оказываются главными осями инерции гироскопа в неподвижной точке (рис. 10.21). Момент инерции является полярным моментом инерции гироскопа, а. и 1у — экваториальными моментами инерции. В связи с наличием в твердом теле оси симметрии имеем/ < у [c.530]

В то время как тело движется около точки О, вместе с ним движется также и Неизменно связанный с ним эллипсоид, но так, что он во всякий момент касается неподвижной плоскости в мгновенном полюсе Q (фиг. 12) а так как эта точка касания (положение которой, вообще говоря, изменяется как на эллипсоиде, так и на плоскости) принадлежит всегда мгновенной оси вращения, то движение твердого тела происходит так, как если бы эллипсоид инерции, связанный с телом, катился без скольжения по неподвижной плоскости. [c.87]

Заметим прежде всего, как это было много раз уже указано и использовано выше, что в относительных движениях в различных инерциальных системах отсчета силовые взаимодействия в каждой точке среды, а также и суммарные силы и моменты одинаковы. Если рассмотреть теперь два движения жидкости или газа первое относительно неподвижной инерциальной системы координат и второе относительно неинерциальной системы отсчета, связанной с колесом турбины, вращающимся с постоянной угловой скоростью (О около неподвижной оси, то в последнем случав необходимо ввести в рассмотрение дей-ствуюпще на среду внешние массовые центробежные силы инерции и внешние массовые силы инерции Кориолиса. Наличие массовых сил инерции в относительных движениях связано с появлением обобщенных архимедовых сил и их моментов. [c.109]

Твердое тело вращается около начала координат с угловой скоростью (р, q, г), величины А, В, С, Г, G, Н означают мгновенные значенчя моментов и произведений инерции относительно (неподвижных) осей координат. [c.84]

Вычисление моментов инерцнп неоднородных тел (а также однородных тел сложной геометрической формы) вызывает большие затруднения. Поэтому в современной технической практике методы экспериментального определения моментов инерции тел имеют весьма важное значение. Рассмотренные нами методы изучения движения твердого тела около неподвижной оси и основные теоремы механики дают научную основу для практического осуществления соответствующих установок. [c.422]

При изучении движения твердого тела около неподвижной точки мы будем пользоваться подвижной системой осей координат. Такой метод изучения был впервые применен Л. Эйлером, и он имеет следующие преимущества осевые и центробежные моменты инерции относительно подвижных осей являются величинами постоянными, и мы сможем их определять обычными приемами интегрального исчисления не ограничивая общности решения, подвижные оси координат можно выбрать так, чтобы они совпадали с главными осями инерции для точки О, Соотношения (2) и (5) существенно упрощаются, так как для главных оссй инерции центробежные моменты инерции будут равны нулю. [c.435]

На сх. б — физический М.— твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести Р, около неподвижной горизонтальной оси О, не прохо-дянюй через центр тяжести С. Период малых колебаний такого М. Т = 2п / J/ mgd где J — момент инерции М. относительно оси О т масса М. d = ОС. Физический М. характеризуют приведенной длиной О1О — длиной нити математического М., имеющего тот же период колебаний при одинаковой массе т. Точку О наз, центром качания физического М. [c.215]

Стоящие справа члены равны моментам силы — / , приложенной в точке с координатами (0,0,1) по отношению к осям (х, у, г). Мы можем рассматривать эти урав )ения, как определяющие движение некоторого твердэго тела, вращающегося около неподвижной точки. В этой аналогии линия действия силы R, которая приложена в конце стержня в точке с наибольшим значением 5, соответствует проведенная вверх вертикаль, 5 обозначает время, величина / соответствует весу тела, А, В, С—его моментам инерции относительно главных осей инерции, проходящих через точку опоры, и, наконец, / т) отвечают проекциям угловой скорости на мгновенное положение осей. Центр тяжести тела лежит на оси С на расстоянии единицы от точчи опоры эта ось, которая в момент времени 5 соединяет центр тяжести с точкой опоры, по направлению и стороне вращения тождественна с касательной к упругой линии, проведенной в сторону [c.416]

Уравнения Эйлера. Многие исследования о вращении твердого тела около неподвижной точки под действием внешних сил или при их отсутствии основываются на замечательной системе уравнений, установленных Эйлером (1758) и известных под его именем. Было уже замечено ( 38), что употребление неподвижной системы координат неудобно для уравнений движения, так как коэфициенты инерции непрерывно изменяются. Поэтому Эйлер наметил план введения осей координат, неизменно связанных с телом и движущихся вместе с ним. Для большего упрощения в качестве таких осей принимают главные оси инерции ОА, ОВ, ОС, относящиеся к неподвижной точке О. Пусть Ох, Оу, Oz — система осей, неподвлжных в пространстве, но ориентированных так, что они в данный момент t времени совпадают соответственно с осями ОА, ОВ и ОС. Через промежуток времени Ы положение главных осей инерции определится, как результат трех поворотов рЫ, qbt, rbt, соответственно, вокруг осей ОХ, 0Y, 02. Если мы пренебрежем квадратами и произведениями малых количеств, то для нас будет несущественно, в каком порядке происходят эти повороты. Поворот вокруг Оу не изменит положения ОВ, но поворот вокруг Ог повернет ОБ в сторону от оси Ох на угол гЫ. Поворот же вокруг Ох не изменит угла между ОВ и Ох. Таким образом косинус угла между ОВ и Ох станет равен теперь — rZt. Далее поворот около Oz не изменит положения ОС, а поворот вокруг Оу приблизит ОС к Ох на угол дЫ. Косинус угла между ОС и Ох станет теперь равен -[-Наконец, угол между О Л и Ох бесконечно мал. Таким образом косинусы углов, образованных осями ОА, ОВ и ОС с осью Ох, будут соответственно равны [c.118]

ПРАВИЛО (Стокса длина волны фотолюминесценции обычно больше, чем длина волны возбуждающего света фаз Гиббса в гетерогенной системе, находящейся в термодинамическом равновесии, число фаз не может превышать число компонентов больше чем на два ) ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [Галилея — уравнения классической механики, связывающие координаты и время движущейся материальной точки в движущихся друг относительно друга инерциальных системах отсчета с малой скоростью калибровочные — зависящие от координат в пространстве — времени преобразования, переводящие одну суперпозицию волновых функций частиц в другую каноническое в уравнениях Гамильтона состоит в их инвариантности по отношению к выбору обобщенных координат Лоренца описывают переход от одной инерци-альной системы отсчета к другой при любых возможных скоростях их относительного движения] ПРЕЦЕССИЯ — движение оси собственного вращения твердого тела, вращающегося около неподвижной точки, при котором эта ось описывает круговую коническую поверхность ПРИВЕДЕНИЕ системы <к двум силам всякая система действующих на абсолютно твердое тело сил, для которой произведение главного вектора на главный момент не равно нулю, приводится к динаме к дниаме (винту) — совокупность силы и пары, лежащей в плоскости, перпендикулярной к силе скользящих векторов (лемма) всякий скользящий вектор, приложенный в точке А, можно, не изменяя его действия, перенести в любую точку В, прибавив при этом пару с моментом, равным моменту вектора, приложенного в точку А скользящего вектора относительно точки В ) ПРИНЦИП (есть утверждение, оправданное практикой и применяемое без доказательства Бабине при фраунгоферовой дифракции на каком-либо экране интенсивность диафрагмированного света в любом направлении должна быть такой, как и на дополнительном экране ) [c.263]

В данной статье описывается движение оси системы соосно устанЪвленных п тел около неподвижной точки, когда к одному из тел системы приложен момент внешних сил. Показано, что ось системы описывает в пространстве эпициклоиду. Показано также, что число витков этой эпициклоиды зависит от угловой скорости тела, к которому непосредственно приложен момент, от скорости нутации всей системы. Получены выражения наибольшей амплитуды нутации за заданное время действия приложенного момента оценено итоговое изменение углового положения, обусловленного демпфированием движения нутации найдены угловые положения вектора момента сил, при которых имеют место наибольшая и нулевая амплитуды нутации. Показано, что эпициклоида приводится к кардиоиде, когда система сводится к единственному телу, такому, что отношение его осевого момента инерции к экваториальному равно 2. Построено одиночное твердое тело, моделирующее всю систему в том смысле, что такое тело обладает тем же движением, что и система тел, установленных на общей оси и способных вращаться около этой оси независимо одно от другого ), если вектор внешнего момента вращается со скоростью, отличной от скорости собственного вращения моделирующего тела. [c.9]

Движение твердого тела около неподвижной точки является классической проблемой теоретической механики, но известные случаи Эйлера, Лагранжа и Ковалевской исследованы при весьма существенных ограничениях, налагаемых на действующие силы. Практическая гироскопия наших дней потребовала развития теории движения гироскопа при наличии сил сухого и гидродинамического трения, потребовала учета масс и моментов инерции механизмов подвески, вычисления реальных уходов осей симметрии гироскопов и создания теории сложных гироскопических систем. Мы сошлемся на монографию академика А. Ю. Ишлинского , содержание которой в значительной мере обусловлено новыми задачами гироскопии в связи с разработкой систем управления движущихся объектов (ракет, самолетов, судов и т. п.). [c.32]

Таким образом, уравнение центрального эллипсоида инерции первого эквивалентного тела может быть получено по формуле (11) в предположении, что неподвижная точка находится в центре первой полости. Мы видим из этого, что эквивалентные тела не зависят от места неподвижной точки О так что, заменив все жидкие массы эквивалентными телами, мы вполне заменяем их механический эффект, будет ли твердое тело вращаться около какой-нибудь неподвижной точки или двигаться свободно (последнее видно из 8). Из того обстоятельства, что эллипсоиды инерции эквивалентных тел заключают внутри себя эллипсоиды инерции соответственных жидких масс, следует, что жвивалентные тела имеют относительно всякой оси меньшие моменты, инерции, нежели соответствующие им окидкие массы. [c.182]

Итак, единственное возможное в нашем вопросе движение есть равномерное коническое движение оси фигуры около оси моментов количеств движения. Равномерное коническое движение осп фигуры называется регулярной прецессией. Таким образом, для тела вращения, имеющего неподвижную точку, движение по инерции есть непременно регулярная прецессия. Гораздо более сложным движение по инерции бухет для тела, для которого не существует равенства моментов инерции Jy и [c.219]

Первые интегралы уравнений движения. Исследуем более сложный случай движения твердого тела около неподвижной точки, когда эллипсоид инерции тела относительно этой точки имеет неравные оси (т. е. АФВФС), а сумма моментов действующих на тело внешних сил относительно точки опоры равняется нулю. Практически интересный пример такого движения будет иметь место, если произвольное тяжелое тело закрепить в его центре тяжести. Если произвольное массивное тело будет двигаться в свободном пространстве (т. е. в пространстве без действия внешних сил), то легко понять, что центр масс такого тела будет двигаться прямолинейно и равномерно, а движение около центра хмасс будет соответствовать формулированным выше условиям. Эта задача о движении твердого тела была впервые исследована Л. Эйлером в 1758 г. наглядную геометрическую картину этого движения на осно- [c.443]

В качестве примера далее рассматривается случай вращения около вертикали тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку О. Через Л, В, С обозначаются главные моменты инерции относительно осей связанной с телом системы координат Oxyz причем в опорном движении ось Oz, на которой расположен центр инерции тела, направлена по вертикали ОС. В возмущенном движении положение тела определяется эйлеровыми углами ф, О, ср, причем угол О будет малым. Проекции угловой скорости тела на связанные с ним оси равны [c.736]

Кх = —К,1 — — /уг , А г — / ш, где А. — осевой, а 1 1 и /у, — центробежные моменты инерции. Если же тело движется около неподвижной точки О, то для него в проекгргях иа главные оси инерции, проведенные в точке О, будет К "= [c.310]

Если построить относительный кинетический момент К (одинаковый для всех точек пространства), принимая неподвижное начало О за полюс, то вейтор К будет представлять собой абсолютную векторную координату точки АС, а его геометрическая производная — абсолютную скорость той же точки. Если же построить момент К, принимая за полюс центр инерции (представляющий собой начало подвижных осей), то этот момент будет относительной векторной координатой его конца К, aero производная — относительной скоростью точки К. Предыдущее уравнение выражает тогда теорему моментов в относительном движении около центра инерции, выбранного в качестве центра моментов. Эту теорему можно выразить следующим образом [c.32]

ПРЕЦЕССИЯ, вращение той из главных осей инерции тела, имеющего одну неподвижную точку О (волчка), к-рая совпадает с осью вращения эллипсоида инерции тела относительно точки О в том случае, если этот эллипсоид представляет поверхность вращения причем если центр тяжести тела лежит на этой оси и если помимо силы тяжести и реакции точки О никакие другие внешние силы к телу не приложены, то вращение оси происходит около вертикальной прямой, проходящей через О если же центр тяжести тела совпадает с О, то вращение оси происходит около прямой, проходящей через главный момент количества движения тела относительно точки О. Пусть имеется твердое тело, к-рое может перемещаться около одной своей неподвижной точки О. Для определения положения рассматриваемого тела в пространстве возьмем две прямоугольные системы осей координат, имеющие одно общее начало в точке О, причем пусть одна пз них ( 1, 2/i, i) будет неподвижной в пространстве, а другая (x,y,z)—подвижной, но неподвижно связанной с перемещающимся телом. Положение последней системы относительно первой, а вместе с тем и положение тела определяются 9 os углов, образован- пях осями х,уу0с осями 1,2/1, Zl, к-рые, как [c.327]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...