Уравнение для сопряженного потенциала

Перейдем теперь к выводу уравнения для сопряженного потенциала. Для того чтобы вычислить производные от <р по координатам, продифференцируем каждое из равенств (1и) по х ж у [c.379]

Уравнение для, сопряженного потенциала Ф при независимых переменных и Vy является, как видим, линейным дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка. [c.380]

Л. Уравнения для распределения потенциала. Рассмотрим основное (5.11) и сопряженное (5.19) уравнения электропроводности, записанные относительно потенциала [c.147]

Для сопряженного потенциала Ф при этом получается, как нетрудно проверить путем замены переменных в уравнении (19), следующее линейное дифференциальное уравнение [c.383]

Глава 5 посвящена исследованию электротехнических характеристик термоэмиссионных реакторов-преобразователей. В принципе развитый здесь математический аппарат описывает процессы электропроводности в среде с распределенными источниками ЭДС любой физической природы. С единых позиций записаны основные уравнения для тока и потенциала в неоднородной электропроводящей среде и сопряженные к ним уравнения. Обсуждается физический смысл решений этих уравнений. Получены формулы теории возмущений и приведен пример их применения при исследовании характеристик многоэлементного термоэмиссионного преобразователя. [c.7]

Мы получили искомую формулу теории возмущений для линейного функционала потенциала в проводящей среде с распределенными источниками и утечками тока. Она дает связь возмущений функционала с возмущениями параметров среды и граничных условий задачи. Видно, что при р,= р/=0 (однородные граничные условия) предпоследний член формулы (5.83) обращается в нуль. Однако следует подчеркнуть, что при Pi O сопряженный потенциал <р+(г) здесь зависит от распределения потенциала ф(г) на границе среды и может быть найден путем решения сопряженного уравнения (5.25) с граничным условием (5.26) только после решения невозмущенного уравнения электропроводности. [c.154]

При этом оказывается, как увидим далее, что для Ф ( д , и,,.) получается линейное дифференциальное уравнение. Найдя в результате рещения этого уравнения сопряженный потенциал, легко затем установить зависимость между составляющими скорости Ух и Гу и координатами точки х и у. В самом деле, дифференцируя формулу для Ф по получаем [c.377]

В работе [35с] получена формула Кирхгофа для потенциала перемещений Ф, выраженного через значения потенциала и его нормальной производной на поверхности тела. Для Ф найдено разложение по малому параметру сопряжения 8 путем разложения по 8 функций Грина. Для гармонических колебаний в работе [35(1] получены формула Грина для температуры 0 и формула Гельмгольца для потенциала перемещений Ф. В случае плоских гармонических колебаний [44а] получена формула Вебера для Ф и 0, выраженных через значения Ф, Ф,п, 0, 0,п, на границе области. Оригинальным путем получены в работе [7 аналоги формулы Клапейрона для сопряженной термоупругости, из которых следует единственность классического решения задачи Коши для уравнений термоупругости. [c.238]

Такое разнообразие выражений для элементарных работ вызвано принятыми в физике способами описания электрических и магнитных явлений, а не термодинамическими особенностями этих систем. Действительно, соотношение (19.7) показывает, что функцию и можно рассматривать не как внутреннюю энергию, а как термодинамический потенциал Ль являющийся преобразованием Лежандра функции V. Формальный смысл введения этой функции—замена переменной на сопряженную ей интенсивную переменную 6. Соотношение между V" ц. и ъ поляризованной системе подобно соотношению между Я и (У в рассмотренных выше механических системах. Так, если давление в цилиндре создается весом поршня mg, то потенциальная энергия поршня mgh = Pa)h = PV, где h — высота цилиндра, со — площадь поверхности поршня. Можно ограничить рассматриваемую систему телом, находящимся, внутри цилиндра, внутренняя энергия такой системы равна U. Но можно включить в систему и поршень, тогда внутренняя энергия равняется U + PV=H. Физический смысл слагаемых типа VdP, входящих в фундаментальное уравнение функции, Н Т, Р, п) [c.161]

Результат действия внешнего анодного тока прежде всего выражается в том, что потенциал корродирующего металла принимает более положительные значения в. сравнении со стационарным состоянием. По этой причине уравнение баланса между скоростью ионизации металла и сопряженной катодной реакцией нарушается. Скорость первого увеличивается, скорость второго будет понижена. Если т) —смещение потенциала от исходного стационарного значения, при котором скорость саморастворения была равной i корр, то для внешнего анодного тока справедливо следующее выражение [c.153]

Сопоставляя уравнения (1, 2, 3) с учетом выражения химического потенциала для случая изобарно-изотермического сопряжения [c.149]

Сопряженные уравнения электропроводности. Вначале рассмотрим основную задачу с уравнением (5.11) для потенциала электропроводящей среды. Запишем, пока формально, дифференциальное уравнение, сопряженное с уравнением (5.11), в виде [c.143]

Таким образом, выбирая соответствующие функции Р т) и Р(г) и решая сопряженные уравнения электропроводности с той или иной правой частью, можно каждой функции ценности поставить в соответствие функционал, обладающий определенным физическим смыслом. Это делает возможным построение теории возмущений для таких важных характеристик электрогенерирующей системы, как потенциал или плотность тока в выбранной точке схемы, выходное напряжение, полная мощность и полезная мощность, отдаваемая во внешнюю цепь, электротехнический КПД системы (см. 5.3). [c.146]

Тензоры напряжений Пиола и Кирхгофа, с одной стороны, являются удобными вспомогательными тензорами, непосредственно не определяю-ш,ими реальное напряженное состояние. Определение последнего всегда требует возвращения к истинному тензору напряжений Коши. С другой стороны, тензоры Пиола и Кирхгофа играют важную роль в нелинейной теории упругости при построении определяющих соотношений, в частности, в представлении уравнений состояния для гиперупругих, т. е. имеющих упругий потенциал, сред, поскольку тензор Пиола сопряжен тензору градиента места, а тензор Кирхгофа — тензору деформации Коши-Грина. [c.20]

Учитывая, что функции тока и потенциала скорости в потенциальном потоке одновременно удовлетворяют уравнению Лапласа, можно установить, что для любой гидродинамической сетки одно семейство линий может быть принято за линии потенциала скорости, а второе — за семейство линий тока и наоборот, т. е. каждая гидродинамическая сетка характеризует два варианта потенциального движения. Какой из вариантов имеется в данной конкретной обстановке, можно определить только при анализе граничных условий. Функции тока и потенциала скорости одной сетки движения называются сопряженными. [c.407]

Вместо функции тока для составления интегрального уравнения можно использовать потенциал ф скорости в этом случае условием на контуре обтекаемого тела будет d(pldn L = 0. Можно также применить аппарат теории аналитических функций, в частности их представление криволинейными интегралами для получения интегральных уравнений, определяющих комплексный потенциал и сопряженную скорость. Этот метод применяется для расчетов гидродинамических решеток [4]. [c.249]

Пр пмер 2. Плоский источник (или сток) в газе. Рассмотрим плоское установившееся движение газа, для которого сопряженный потенциал Ф зависит в иеременн чх v, Э только от одного V. Из уравнения (29) следует, что в этом случае Ф (г) должно удовлетворять равенству [c.385]

Интересно заметить, что связь между лагранжевой и гамильтоновой формой понятна большинству механиков только в канонической записи. Так в книге [21] гамильтонова форма уравнений динамики твердого тела считается заведомо установленной из некоторых не вполне естественных соображений, в частности, со ссылкой на работу [133], в которой реально автор, не зная общего формализма динамических уравнений, даже переоткрывает углы Эйлера и сопряженные им импульсы. Далее в [21] доказывается несколько странных теорем, что из гамильтоновой формы можно получить лагранжеву, при этом, конечно, возникает некоторая путаница, так как пуассонова коммутация компонент момента с импульсами и направляющими косинусами одинакова, и одни и те же уравнения Кирхгофа можно представлять себе как часть импульсных уравнений на группе (3) — уравнения Эйлера - Пуанкаре для М, р, которая в случае отсутствия потенциала отделяется от позиционных уравнений (для направляющих косинусов), а с другой стороны — как гамильтоновы уравнения на 30(3), при этом необходимо интерпретировать компоненты импульсивной силы р как направляющие косинусы. В этом, кстати, заключается аналогия Стеклова [272] (см. также 4 и гл. 3, 1). [c.38]

Линии, для которых 1 = onst, называют линиями тока. Гармоническая сопряженная с а[з функция ф называется потенциалом скоростей потока. Линии тока и линии, вдоль которых потенциалы скоростей постоянны, взаимно ортогональны. Обе функции (тока и потенциала скоростей) удовлетворяют уравнению Лапласа [ср. например, (21.48) и (23,27)]. Поэтому линии теплового потока и температурного потенциала при двумерной стационарной теплопроводности аналогичны соответственно линиям тока и потенциалу скоростей идеального потока жидкости. [c.249]

Вдали от заряда, r/h > 1, потенциал в пленке почти постоянен. Действительно, если t-q обозначает масштаб длины в плоскости пленки, первое слагаемое в левой части уравнения (3.2) может быть отброшено ввиду его малости по сравнению со вторым хФ [д ф1дг ) та О (h lrl), -h/2 < z < h/2. Поэтому потенциал внутри пленки зависит от г только параметрически. Следовательно, для поля на больших расстояниях г от заряда, т/h 1, средний потенциал в уравнении (3.5) может быть заменен его асимптотически точным значением (р о = (г,0). Учитывая это асимптотическое равенство, задача (3.2)-(3.4) сводится к упрощенной задаче сопряжения для двух функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа в верхней и нижней полуплоскостях и условиям сопряжения [c.61]

С математической точки зрения наиболее простая схема описания самоорганизующейся системы представляется известной схемой Лоренца [7]. Она представляет три дифференциальных уравнения, выражающие скорости Г], к, S изменения величин rj, h, 5 через их значения. Характерная особенность этих выражений состоит в том, что все они содержат диссипативные слагаемые, величины которых обратно пропорциональны соответствующим временам релаксации r,j,Ti Ts. Обычно при исследовании термодинамики фазового перехода принимается адиабатическое приближение г/,, < г,,, означающее, что в ходе своей эволюции сопряженное поле h t) и управляющий параметр 5(i) изменяются настолько быстро, что успевают следовать за медленным изменением параметра порядка ri(t) [1]. При этом эволюция системы описывается уравнением Ландау—Халатникова, в котором роль свободной энергии играет синергетический потенциал. В результате синергетический подход сводится к феноменологической схеме фазового перехода. Отличие состоит в том, что в синергетических системах процесс самоорганизации происходит в области больших значений управляющего параметра 5, а в термодинамических — в низкотемпературной. Таким образом, величина S не сводится к температуре. Кроме того, если для термодинамических систем температура среды совпадает с ее значением для термостата, то для синергетических отрицательная обратная связь между параметром [c.19]

Из теории электродных потенциалов корродирующих металлов, развитой А. Н. Фрумкиным, следует, что скорость электрохимической коррозии i корр ) определяется в стационарных условиях скоростями сопряженных катодных и анодных реакций. При этом зависимость между потенциалом и скоростью электрохимической реакции, выражаемой обычно через плотность тока, может быть представлена известным уравнением Тафеля, что справедливо для случая, когда контролирующей стадией процесса является присоединение электрона к молекуле кислорода или нону водорода, а также переход иона металла в раствор. (Явления, сопровождающиеся концентрационной поляризацией и образованием гидроокис-нокарбонатных пленок, рассматриваются иже). Выразим зависимость потенциала для катодного и анодного процессов в виде функции плотности тока, не расшифровывая пока возможной реакции и объединяя константы [c.22]

Термин молекулярный диффузионный перенос охватывает явления диффузии, теплопроводности, термодиффузии и вязкости. Эти явления описываются некоторыми частями уравнений сохранения массы, количества движения и тепла, приведенных в предыдущем параграфе (см. уравнения (2.1.57)-(2.1.60)). В каждое из этих уравнений входит дивергенция потока некоторой величины, связанной, хотя бы и неявно, с градиентами термогидродинамических параметров (так называемыми термодинамическими силами). Существуют два способа получения линейных связей определяющга соотношений) между этими потоками и сопряженными им термодинамическими силами, основывающихся на макроскопическом (феноменологическом) и кинетическом подходах. Кинетический подход связан с решением системы обобщенных уравнений Больцмана для многокомпонентной газовой смеси и до конца разработан только для газов умеренной плотности, когда известен потенциал взаимодействия между элементарными частицами (см., например, Чепмен, Каулинг, 1960 Ферцигер, Капер, 1976 Маров, Колесниченко, 1987)). Феноменологический подход, основанный на применении законов механики сплошной среды и неравновесной термодинамики к макроскопическому объему смеси, не связан с постулированием конкретной микроскопической модели взаимодействия частиц и годится для широкого класса сред. В рамках феноменологического подхода явный вид кинетических коэффициентов (коэффициентов при градиентах термогидродинамических параметров в определяющих соотношениях) не расшифровывается, однако их физический смысл часто может быть выяснен (например, для разреженных газов) в рамках молекулярно-кинетической теории Маров, Колесниченко, 1987) [c.85]

Образование двухфазной среды газ—жидкость может осуществляться различными способами в барботажных и распылительных системах, оросительных устройствах и т. д. Для устойчивой работы такого аппарата необходимо восстанавливать двухфазную среду газ—жидкость, осуществляя непрерывное улавливание промежуточного теплоносителя (воды) и подачу его к форсункам или барботажным тарелкам. Для уменьшения падения температуры при распылива-нии в газе воды или иной жидкости и улучшения использования потенциала тепла такой теплообменник целесообразно разделить на несколько секций, в каждой из которых осуществляется замкнутый цикл в определенной температурной зоне и для различных зон возможно применение различных теплоносителей, отвечающих заданному температурному уровню. Проблема тепло- и массопереноса в дисперсном газожидкостном потоке относится к сопряженным задачам. Процесс определяется системой уравнений гидромеханики и энергии для газовой и жидкой фаз (капель, пленок), уравнениями конвективной диффузии, условиями сопряжения на поверхности раздела фаз и условиями однозначности. [c.61]

При г->0 интеграл в показателе экспоненты в (12.205) должен таким образом расходиться. Этот интеграл будет либо мнимым, либо действительным, если потенциал f соответственно положительный или отрицательный. Следовательно, если потенциал отвечает притяжению, то функция г з бесконечно быстро осциллирует и за счет предэкспоненциального множителя стремится к нулю при г -> 0. Это должно быть справедливо для обоих решений уравнения, поскольку они являются комплексно сопряженными друг к другу. Однако если потенциал вблизи начала координат соответствует отталкиванию, то интеграл в (12.205) стремится к +i oo. При этом одно решение будет очень быстро стремиться к нулю, тогда как другое будет быстро возрастать до бесконечности. Сравнительно медленно стрел1ящийся к нулю предэкспоненциальный множитель не может повлиять при этом на характер решений. [c.364]

Прежде чем закончить описание математических моделей диффузии в непрерывной среде, следует вкратце остановиться на диффузии в гетерогенных и многофазных системах. Подобные задачи возникают как в фундаментальных, так и в прикладных исследованиях. В однофазных системах уравнение баланса (1.7) выполняется всегда, по крайней мере в неподвижной лабораторной системе отсчета. Одиако в условиях фазового роста и перемещения поверхности раздела фаз уравнение (1.7) оказывается непригодным и должно быть заменено аналогичным уравнением, записанным для движущейся системы координат. Последнее уравнение будет. выполняться в каждой области гомогенности. Необходимо также задать условия сопряжения на поверхностях раздела, связывающие между собой концеитрации одного и того же компонента в двух смежных фазах. Согласно второму Закону термодинамики одним из таких условий является непрерывность химического потенциала при переходе через поверхность раздела. Часто используется второе условие, а именно непрерывность потока рассматриваемого компонента при переходе через границу фаз. Таким образом, концентрация Данного компонента i и ее градиент ие должны быть одновременно непрерывными прн переходе через поверхности раздела в гетерогенных системах. Прекрасным примером подобной диффузионной задачи может служить задача об окислении металла с образованием двух или большего числа окислов с составами, отвечающими различным стехиометрнческим соотношениям. [c.30]

Уравнение (2.84) описывает скорость изменения энтропии для любого неравновесного процесса. Те процессы, которые дают вклад в <7 и представляют для нас интерес, главным образом связаны с потоками заряда, тепла и вещества, т. е. в системе могут быть потоки любого из компонентов К, поток заряда 1е и поток тепла Jq. Силы, вызывающие эти явления, представляют собой градиент химического потенциала компонента К (— У1гк/Г), градиент электрического потенциала Е) и градиент температуры (— УГ/Г). Если обозначить силы Х , а соответствующие или сопряженные им потоки Л-, то можно получить выражение для скорости производства энтропии в единице объема [c.63]

Эго суммирование дает распределение потенциала на больших глубинах по типу свободного [уравнение (21)] или искусственно радиального падения согласно уравнению (22). Это обстоятельство не дает возможности построить с самого начала такую зависимость сопряженной функции, которая дала бы соответствующие физические вариации распределению потейциала для всех типов и проблем фильтрации, встречающихся на практике. Однако приведенные выше примеры должны служить по крайней мере указателями природы косвенных методов нахождения решений проблем течения, так же как и возможностей установления и ограничения их применимости з. [c.275]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...