Сопряженные уравнения

Выражения (6.106) и (6.107), называемые сопряженными уравнениями гидравлического удара, применимы для любой пары сечений. Пользуясь этим, рассмотрим сечения s = О (вместо сечения А) и S = L (вместо сечения В). В последнем, т. е. на входе в трубу, как известно, Ht = Я +д< = Кроме того, для этой пары сечений = Ua = 0/2. С учетом этого из выражения (6.106) получим [c.204]

При записи второго сопряженного уравнения вместо момента i возьмем t - 0/2. Тогда [c.204]

Уравнения (6-107) и (6-108), называемые сопряженными уравнениями гидравлического удара, пригодны для любой пары сечений. Пользуясь этим, применим их к сечениям з = 0 (вместо сечения Л) и а = Ь (вместо сечения В). В последнем, т. е. на входе в трубу, как известно, Яf = = Но. Кроме того, для этой [c.220]

Для того чтобы получить выражение для плотности заряда и плотности тока, можно поступить аналогично тому, как это было сделано в нерелятивистской теории при выводе формул (16.20). Умножим (71.13) слева на Ч и вычтем из него почленно комплексно-сопряженное уравнение [c.384]

Это утверждение непосредственно следует из вещественности коэффициентов векового уравнения (4.83). Действительно, если X есть некоторое решение уравнения (4.83), то, образовав уравнение, комплексно сопряженное уравнению (4.83), мы увидим, что к есть решение того же самого уравнения. Таким образом, комплексные собственные значения всегда входят попарно и являются комплексно сопряженными по отношению друг к другу. [c.141]

Сумму, стоящую в правой части этого равенства, можно записать в виде произведения т. е. в виде скалярного произведения собственного вектора / j и вектора, комплексно сопряженного с собственным вектором Ri. Составляя теперь для It уравнение, подобное (5.22), и переходя затем к комплексно сопряженному уравнению, будем иметь [c.174]

Так как при столь общих преобразованиях, как (41.9), величины утрачивают свое первоначальное значение обобщенных импульсов, то величины Р/г, Qk лучше назвать каноническими переменными в этом случае говорят, что и Qk являются канонически сопряженными . Уравнения Гамильтона, вследствие их инвариантности относительно этих преобразований, называются также каноническими дифференциальными уравнениями . [c.294]

Применительно к инженерно-физическим проблемам изложен, новый метод исследований, основанный на использовании математического аппарата сопряженных уравнений и теории возмущений. Рассмотрено применение метода при решении задач теплообмена и гидродинамики, анализе прочности элементов конструкции ядер-ных реакторов, исследовании электротехнических характеристик систем прямого преобразования энергии, а также при идентификации нестационарных процессов для целей технической диагностики ядер-ных энергетических установок. Обсуждаются преимущества метода и даются рекомендации по его использованию. [c.2]

Глава 2 посвящена исследованию стационарных процессов переноса тепла и движения жидкости в каналах ядерных реакторов. На основе сопряженных уравнений вводится понятие функций ценности источников тепла и движущих сил в потоке теплоносителя. Строится теория возмущений для линейных функционалов температуры и скорости потока. Рассматриваются функции Грина основного и сопряженного уравнений переноса тепла и гидродинамики, поясняющие физический смысл введенных функций ценности. [c.6]

Глава 4 посвящена использованию сопряженных уравнений и теории возмущений для исследования прочностных характеристик твэлов ядерных реакторов. Рассматриваются линейные функционалы перемещений и скоростей перемещений. Математический аппарат этой главы разработан применительно к случаю упругих деформаций в среде. Показано, как можно применить этот аппа- [c.6]

В гл. 6 обсуждается метод решения обратных задач динамики ЯЭУ, основанный на применении формул теории возмущений. Показано, что идентификация нестационарных процессов в ЯЭУ может быть эффективно выполнена с использованием разработанного математического аппарата сопряженных уравнений. Вычислительная процедура идентификации, как следует из приведенных примеров, существенно выигрывает в экономичности при использовании формул теории возмущений по сравнению с традиционным методом минимизации невязки между экспериментально измеренной и модельной характеристиками. [c.7]

СОПРЯЖЕННЫХ УРАВНЕНИЙ И ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЯЭУ [c.8]

Как и (1.1) при постановке основной задачи, уравнение (1.25) в сопряженной задаче для каждого конкретного случая должно быть дополнено соответствующими краевыми условиями, при этом необходимо требовать выполнения соотношения (1.26) для дифференциальных операторов Z и L+ с учетом таких условий к основному и сопряженному уравнениям. Иными словами, гранич- [c.16]

Видно, что величина Fp —линейный функционал /. Параметр Р неоднородного сопряженного уравнения (1.25) (сопряженный источник) придает этому функционалу определенный физический смысл. Следовательно, решая сопряженную задачу с той или иной функцией Р(г, т), можно каждому функционалу вида (1.40) поставить в соответствие функцию /р(г, т) —так называемую сопряженную функцию. Физический смысл этой функции поясним на следующем примере. [c.18]

Интерпретация сопряженной функции как функции ценности позволяет пояснить физический смысл начальных условий (1.35), (1.36) к сопряженному уравнению. Так, условие [c.19]

Отметим, что понятие ценности точечного источника позволяет выводить уравнение для ft (г, т), исходя непосредственно из физического смысла этой величины, на основе принципа сохранения ценности [94, 53, 12], точно так же, как это делается для основных уравнений, например, из закона сохранения энергии. В том случае, когда основное уравнение является векторным сопряженное уравнение также векторное (т. е. fp и Р — векторы, [c.19]

СООТНОШЕНИЯ ВЗАИМНОСТИ и ОБРАТИМОСТИ ФУНКЦИЙ ГРИНА ОСНОВНОГО и СОПРЯЖЕННОГО УРАВНЕНИЙ [c.20]

Исследуем некоторые свойства этих функций применительно к основной и сопряженной задачам. Рассмотрим задачу Грина для общего случая основных и сопряженных уравнений вида (1.1), [c.20]

Соотношение (1.47) является формулировкой теоремы взаимности функций Грина основного и сопряженного уравнений при инверсии координат источника (го, то) и точки измерения (Г(, ti). Аналогичная теорема взаимности для дифференциальных уравне ний второго порядка известна в математике [85] и доказана Б. Б. Кадомцевым для кинетического уравнения переноса лучистой энергии 1[24]. [c.21]

Отсюда с помощью соотношения взаимности (1.47) устанавливаем обратимость функций Грина основного и сопряженного уравнений [c.21]

Рассмотрим основное уравнение для возмущенного поля / (г, т) в среде и сопряженное уравнение для невозмущенной среды [c.22]

Эта формула связывает возмущение функционала AF с возмущениями оператора, источника и параметра правой части сопряженного уравнения. Ее можно считать точной до тех пор, пока в нее подставляются возмущенные значения Если же возмущения Л1 и AQ столь малы, что несильно искажают функцию /(г, т), то в выражении (1.55) можно сделать замену / (г, т) /(г, т). При этом (1.55) перейдет в формулу теории малых возмущений, которая дает возможность, пользуясь известными невозмущенными функциями f(r, т) и f+(r, т), найти в первом приближении изменения величины F f) при изменении условий задачи. Особенно это существенно для тех случаев, когда прямое решение возмущенной задачи затруднительно даже для численного расчета (например, когда возмущение носит локальный характер) или не может обеспечить нужной точности. [c.23]

Отметим, что в случае нелинейных функционалов F f), как и в случае краевых задач с неоднородными граничными условиями, система основного и сопряженного уравнений уже не является разомкнутой, поскольку в правую часть уравнения для ценности приходится подставлять величину, зависящую от решения основного уравнения. Тем не менее формулы теории возмущений (1.55) и (1.56) остаются здесь справедливыми и могут быть использованы так же, как и в случае линейных функционалов при усло- [c.24]

ВИИ, что решение сопряженного уравнения будет найдено после решения основного и с учетом этого решения. [c.25]

Изложенная теория возмущений высоких порядков требует знания базисной системы собственных функций основного и сопряженного уравнений. Другой подход к построению теории возмущений высших порядков, не требующий знания собственных функций, содержится в работе [112], где получено следующее выражение для вариации функционала (в принятых нами обозначениях) [c.28]

Заметим, что в тех случаях, когда известна функция Грина сопряженного уравнения, теорию возмущений высших порядков сравнительно несложно построить по методу, описанному в [70, 74, 76] (см. также 2.4, 4.3, 5.4). [c.29]

ИССЛЕДОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛООБМЕНА В КАНАЛАХ ЯДЕРНЫХ РЕАКТОРОВ. СОПРЯЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [c.29]

Сопряженные уравнения теплопроводности и граничные условия для твэлов ядерных реакторов. Рассмотрим простейшую задачу о стационарном распределении температуры в твэле, охлаждаемом теплоносителем с неизменной температурой. Как известно, оно описывается в этом случае с помощью дифференциального уравнения теплопроводности [48] [c.29]

Величина /, как видим, линейный функционал температуры. Параметр Р г) неоднородного сопряженного уравнения (2.4) придает этому функционалу тот или иной физический смысл. В частности, если Р г) есть дельта-функция [c.30]

Таким образом, в общем случае сопряженное уравнение теплопроводности (2.4) должно быть решено совместно с граничным условием на внешней поверхности твэла, вытекающим из (2.11) и (2.12) [c.32]

При других, более общих условиях теплообмена на наружной поверхности твэла [например, (2.10)], в отличие от описываемого условием (2.2) случая, решение основного дифференциального уравнения теплопроводности должно предшествовать решению сопряженного уравнения. Только после этого можно будет найти распределение по поверхности твэла параметра Р(Гв) с помощью соотношений (2.9), (2.11), что даст возможность сформулировать граничное условие (2.13). [c.32]

Поясним теперь смысл граничных условий (2.11), (2.12) к сопряженному уравнению теплопроводности (2.4). Как известно, в задачах теории теплопроводности на любой выбранной поверхности внутри тела, в частности на поверхности раздела двух различных сред Si, выполняется условие непрерывности теплового потока [c.32]

Физический смысл условия (2.15) рассмотрен в 2.2, сейчас мы лишь укажем на формальное доказательство этого условия. С этой целью проинтегрируем сопряженное уравнение (1.4) по объему твэла, используя соотношение (П. 26) и формулу (2.15) [c.33]

Сопряженные уравнения переноса тепла и граничные условия для твэла и охлаждающего теплоносителя. Рассмотрим общий случай передачи тепла путем теплопроводности и конвек-3—9781 33 [c.33]

Прежде чем перейти к сопряженному уравнению, рассмотрим условие теплового баланса, содержащееся в уравнении (2.17). Для этого проинтегрируем уравнение (2.17) по объему твэла и теплоносителя (от входного до выходного сечения канала) [c.34]

ТЕОРЕМЫ ВЗАИМНОСТИ И ОБРАТИМОСТИ ФУНКЦИЙ ГРИНА ОСНОВНОГО И СОПРЯЖЕННОГО УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ СОПРЯЖЕННОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ [c.40]

Тепловыделяющий элемент. Представим себе, что известны функции грина 0(г го) и 0" (г го) основного и сопряженного уравнений теплопроводности в задаче для твэла (2.1) и (2.4), т. е. найдены решения уравнений [c.40]

Особенности качения волн, образованных из полуокружностей, позволяют найти уравнение траектории движенггя произвольной точки волны, опираясь на сходство движений волны и колеса. Это уравнение в параметрической форме получено путем сопряжения уравнений соответствующих частей циклоид и от- [c.96]

Предлагаемая читателю книга состоит из шести глав и приложения. В гл. 1 обсуждаются общие вопросы применения аппарата сопряженных уравнений и теории возмущений при расчетноэкспериментальных исследованиях инженерно-физических харак- [c.5]

В гл. 3 с использованием сопряженных уравнений исследуются нестационарные процессы переноса тепла в каналах ядерных реакторов. Здесь также в центре внимания находится получение формул теории возмущений, которые в данном случае характеризуют нестационарные процессы. Описываются наиболее общий метод собственных функций, используемый для разложения нестационарного решения в ряд Фурье и требующий для своей реализации знания системы собственных функций сопряженного уравнения, биортогональной к системе собственных функций основного уравнения. [c.6]

Сопряженную задачу можно рассматривать как задачу, поставленную для зеркальной системы, или антисистемы , процессы в которой протекают в обращенном времени. Поэтому начальные условия к сопряженному уравнению инвертируются во времени по отношению к начальным условиям для основного уравнения. В частности, прямой проверкой выполнения условия сопряженности операторов f и f [c.17]

Здесь t+ x, т) — сопряженная функция температуры. Так как при переходе к координаты границ Xi и Х2 не меняются, однородные граничные условия по х, (1-38) совпадают с однородными граничными условиями (1.19) основной задачи. Изменение же знака перед д/дх в сопряженном уравнении указывает на то, что поведение решения этого уравнения во времени противоположно поведению реальной температуры. Реальная теплота распространяется наружу, и при выключении источников реальная температура имеет тенденцию падать со временем в то же время сопряженная система стремится к антидиффузии и сопряженная температура возрастает. [c.18]

Обобщая последний результат, можно сказать, что сопряженная функция // (г, т) имеет смысл функции ценности тоявяного источника Q(r, т)по отношению к функционалу Fp (/)[см. (1.40)]. По этой причине в теории переноса сопряженную функцию част называют просто ценностью, сопряженное уравнение — уравнением для ценности [94, 49], а параметр правой части сопряженного уравнения Р(г, т)—источником для ценности. [c.19]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...