Больцмана постоянная для функции распределения

Рис. 5.31. Функция распределения скоростей молекул в газе при температуре Т имеет вид ti ехр (-Мо /ЗйГ), где fe—постоянная Больцмана.

Это — распределение Максвелла — Больцмана здесь Па представляет собой плотность числа частиц в той точке, где потенциал сил обращается в нуль. Отметим, что, в отличие от формулы (4.7), в формуле (4.12) отсутствует средняя скорость движения газа. Очевидно, что наличие такой постоянной скорости связано с выбором системы координат. В то же время при наличии потенциального поля сил выбор системы отсчета приводит к временной зависимости равновесной функции распределения, соответствующей перемещению как целого пространственно неоднородного равновесного распределения. Действительно, в системе координат, движущейся со скоростью — ц, распределение (4.12) выглядит так [c.30]

Из уравнения (5.3) можно вывести знаменитую Я-теорему Больцмана если через границу нет микроскопического потока величины Н или если граница действует как отрицательный источник величины Я, то Н со временем никогда не растет и остается постоянной, только когда функция распределения — максвелловская. [c.69]

Из уравнения (1.3) видно, что /о должно быть решением уравнения Больцмана. Так как нам не известно решений, отличных от максвелловских, то мы фактически вынуждены выбрать функцию /о максвелловской в противном случае определение нулевого приближения было бы столь же трудным, как и решение исходного уравнения. Хотя имеются максвелловские функции распределения с переменными плотностью, скоростью и температурой, являюш иеся решениями уравнения Больцмана, они составляют очень узкий класс решений, пригодный только при весьма специальных условиях (специальные начальные и граничные-данные). Выберем поэтому функцию /о максвелловской с постоянными параметрами (в частности, выбирая подходяш ую систему отсчета, мы всегда можем положить массовую скорость равной нулю). Для наших целей этот выбор достаточно широк. Теперь можно положить /д = /о/г (/г 1) и написать [c.142]

Выведем основное линеаризованное уравнение Больцмана для течения Пуазейля в канале произвольного поперечного сечения (включая плоский канал как частный случай). Предположим, что стенки отражают молекулы с максвелловской функцией распределения /о, с постоянной температурой и неизвестной плотностью р = р ( ) —координата, параллельная потоку). Если длина канала много больше других характерных длин (длины среднего свободного пробега, расстояния между стенками), то можно провести линеаризацию около максвелловского распределения /о, в действительности р %) меняется слабо и /о будет решением в случае, когда р — константа. Таким образом, [c.186]

Гауссова функция распределения ехр [— а /( )] зависит только от квантовомеханических переменных. При переходе к классическому полю I а р и среднее квантовое число (п) стремятся к бесконечности как но так, что их отношение, которое является аргументом гауссовой функции, остается строго определенным. В классическом пределе вид распределения общеизвестен. Исторически одной из причин постановки задачи о хаотическом движении явилось рассмотрение поведения классического гармонического осциллятора, подверженного хаотическому возбуждению [14, 15]. Такие осцилляторы обладают комплексными амплитудами, которые при самых общих условиях описываются гауссовым распределением. Если бы мы не знали квантовомеханического анализа, то вполне могли бы предположить, что гауссово распределение, полученное таким способом из классической теории, может описывать распределение фотонов. Чтобы показать ошибочность такого заключения, необходимо более тщательно изучить природу параметра (п), который в конечном счете является единственным физическим параметром, содержащимся в распределении. В качестве простого примера можно рассмотреть тепловое возбуждение при температуре Т. Тогда среднее число фотонов равно (п)= [ехр (йсо/ Г)—1] к — постоянная Больцмана), а распределение Р (а) в этом случае принимает вид [c.98]

Б стационарных условиях в однородном кристалле, находящемся в постоянных, однородных электрическом и магнитном полях, функция распределения f (к) зависит только от волнового вектора к электрона. В приближении времени релаксации (т-приближение) уравнение Больцмана для пространственно-однородной функции распределения f k) имеет вид [c.193]

К этому же выводу можно прийти с помощью следующих рассуждений. Пусть газ находится внутри замкнутого сосуда с линейными размерами, значительно большими длины свободного пробега атомов. Допустим далее, что газ вместе с сосудом находится в термостате в полном термодинамическом равновесии. А теперь проведем с этим газом некоторые мысленные эксперименты. Допустим, что в некоторый момент г = О стенки сосуда становятся зеркально отражающими и, соответственно, теплоизолирующими. Пусть одновременно один из атомов газа заменяется на пробную частицу с той же массой, скоростью и сечением рассеяния, что и у изъятого атома. Такая замена очень мало меняет состояние газа его тепловая энергия сохраняется, энтропия уменьшается на величину Л 1п(К/ЛК), поскольку пробная частица не тождественна с атомами газа и занимает малую долю А К от полного объема V к—постоянная Больцмана). Далее, казалось бы, должна наступить необратимая релаксация газа. А именно, с точки зрения классической механики пробная частица должна диффундировать в пространстве, так что ее средняя функция распределения будет стремиться заполнить весь [c.191]

Состояние газа неравновесно, если его функция распределения отличается от распределения Максвелла — Больцмана. Б наиболее обычном случае неравновесного состояния температура, плотность и средняя скорость не постоянны внутри газа. Чтобы газ перешел в равновесное состояние, эти неоднородности должны сгладиться путем переноса энергии, массы и импульса из одной части газа в другую. Механизмом, обеспечивающим этот перенос, являются столкновения молекул среднее расстояние, на которое могут быть перенесены молекулярные свойства за одно столкновение, называется средней длиной свободного пробега. Она равна среднему расстоянию, пробегаемому молекулой между двумя последовательными столкновениями. Дадим оценку порядка ее величины. [c.112]

Для невырожденных электронов в полупроводнике можно считать, что функция распределения /о в уравнении Больцмана в примере 4 совпадает с распределением Максвелла — Больцмана. Вычислить электропроводность для этого случая, полагая г р) = р 12т, X = А 1 v s, где Л>0и5> — 7 — постоянные. [c.402]

Рассмотрим теперь вопрос о том, как распределяется доход по субъектам экономической деятельности. В рамках термодинамической модели оказывается, что существует универсальная функция распределения, форма которой, если число субъектов остается постоянным, зависит только от температуры. Эта ситуация хорошо известна в статистической термодинамике, где такое распределение называется распределением Больцмана. [c.45]

Для равновесного газа функция /(г, v, t) является распределением Максвелла — Больцмана. Для приближенной оценки интересующих нас величин предположим, что сечение (T oj,g не зависит от энергии сталкивающихся молекул и может быть заменено постоянной порядка ла2, где а — диаметр молекулы. Тогда мы получим [c.111]

В уравнениях (4-1)—(4-11) Л1, т], бф — давление, молекулярный вес, обобщенные коэффициенты теплопроводности, вязкости и толщина теплового пограничного слоя топочных газов г, Х з, у з — радиус, коэффициент теплопроводности и удельный вес золовых (сажистых) частиц Гд — град ент температуры внутри частицы Тф, Гз — температуры факела и поверхности отложений q — падающий на экран тепловой поток Е, 63, П — напряженность электрического поля, толщина слоя и пористость отложений р — доля частиц, заряды которых нескомпенсированы противоположными зарядами других таких же частиц бд, R, с, е, g, В, — диэлектрическая и универсальная газовая постоянная, скорость света, заряд электрона, ускорение тяжести, индукция земного магнитного поля, постоянная Больцмана v — число элементарных зарядов (зарядов электрона е), приходящихся на одну частицу / (v) — функция распределения числа элементарных зарядов по размерам частиц г tp — время релаксации частиц при турбулентных пульсациях топочных газов, определяющее длину пробега частиц V, (о,Ч — частота и период турбулентных пульсаций v , Уф — скорость распространения турбулентных пульсаций перпендикулярно стене и скорость топочных газов v — степень турбулентности. [c.117]

Больцман (Boltzmann) Людвиг (1844-1906) — выдающийся австрийский физик, один из основателей статистической физики и физической кинетики. Окончил Венский университет (1866 г.), работал в Граце, Вене, Мюнхене, Лейпциге. Вывел (1868 г.) функцию распределения и кинетическое уравнение газов, названное его именем. Дал (1872 г.) статистическое обоснование второго качала термодинамики, связав энтропию системы с вероятностью состояния системы. Впервые применил к теории излучения принципы термодинамики (закон Стефана — Больцмана). Работы по математике, оптике, гидродинамике, теории упругости, теории электромагнетизма, по философии естествознания. Именем Больцмана названа одна из трех универсальных физических постоянных (постоянная Больцмана). Член многих академий наук. [c.20]

Величина /к представляет собой вероятность того, что в кристалле имеется электрон с волновым вектором к. Как видно из (18.2.1), эта величина выражается через равновесную функцию распределения Ферми — Дирака (18.2.2) и, кроме того, содержит член, который представляет собой отклонение от равновесия в нервом порядке. Здесь V — скорость носителя, г — энергия и — энергия Ферми, отсчитываемая от нижней границы зоны, если мы имеем дело с электронами Х = —1), или от верхней границы зоны, если мы имеем дело с дырками ( = - - 1) к — постоянная Больцмана и Г — температура. Поправочный член в уравнении (18.2.1) содержит также функцию описываемую выражением (18.2.3), в которое в явном виде входят электрический заряд [ е , масса носителя т, скорость света с, внешнее магнитное поле Н и время релакса- [c.462]

Очевидно, интеграл столкновений J равен нулю, так как для максвелловского распределения f f[ = ffy Однако легко зидеть, что уравнение Больцмана накладывает определенные условия на зависимость функций га. И и Г от и х . Очевидно, что максвелловское распределение удовлетворяет уравнению (5.15), когда макроскопические параметры га. И и Т постоянны. Имеются также локально-максве,ллов-ские решения уравнения Больцмана, в которых гидродинамические переменные га, и Г зависят от координат (см, 4,1), Однако эти решения не удовлетворяют принятому выше условию отсутствия потока Я-функции через границу области D. [c.63]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...