Расплывание волновых пакетов

Дифракция, дисперсионное расплывание волновых пакетов. Наиб, адекватна нелинейным задачам юнгов-ская трактовка дифракции (см. Дифракция волн). Её матем. аппарат никак не связан с принципом суперпозиции и базируется на параболич. ур-нии для комплексной амплитуды (см. Волны), описывающем поперечную диффузию поля, что тесно связано с методом медленно меняющихся амплитуд. [c.297]

В рамках приближений, в которых получены уравнения (14) и (16), между поведением волновых пакетов и волновых пучков можно проследить чрезвычайно полезную пространственно-временную аналогию 14—16]. Из формального сравнения (14) и (16) прежде всего видно, что времени т) в волновых пакетах соответствует поперечная координата г в волновых пучках, а дисперсии групповой скорости кз — параметр k l. С физической точки зрения дисперсионное расплывание волнового пакета, связанное с к. Фд, во многом аналогично дифракционному расширению волнового пучка. Поэтому часто говорят [c.22]

Применяемые с этой целью оптические системы можно разделить на два типа. В одних воздействие на спектральные компоненты импульса происходит без разделения их в пространстве. Примеры таких устройств, базирующихся, по существу, на аналогии между дисперсионным расплыванием волновых пакетов и дифракцией волновых пучков, рассмотрены в этом и следующем параграфах. В другом типе систем, принципиально отличающихся от первого, спектральные компоненты импульса сначала разделяются в пространстве, что дает возможность независимо изменять их амплитуды и фазы (см. также 4.6). [c.45]

Суперпозиция волн (3.9) не столь тривиальна, как аналогичная суперпозиция в линейных дискретных системах. Это связано с тем, что процессы во времени здесь связаны с пространственными изменениями. Ключевыми новыми понятиями здесь являются групповая скорость и дисперсия [107, 132]. Эти две величины описывают, как перемещается в пространстве и изменяется со временем волновой пакет, представляющий собой суперпозицию гармонических волн в некотором небольшом интервале частот и соответствующих волновых чисел. Групповая скорость — это скорость перемещения волнового пакета как некоторого образования. Дисперсия характеризует скорость расплывания волнового пакета. При отсутствии дисперсии волновой пакет не меняет своей формы, т. е. является бегущей волной неизменной формы—так называемой стационарной волной. При наличии дисперсии со временем происходит расплывание волнового пакета. Комплексное ш влечет экспоненциальный рост или уменьшение высоты пакета. Таким образом, групповая скорость определяет скорость движения пакета, дисперсия — его расплывание, а мнимая часть (о — возрастание или убывание его высоты. Групповая скорость равна йш/й/с, а дисперсия определяется величиной [c.30]

Расплывание волновых пакетов [c.169]

Итак, в любой момент времени волновую функцию пробной частицы можно считать локализованной внутри малого объема с поперечным размером масштаба нескольких длин пробега. Давайте теперь мысленно возвратимся в прошлое, стартуя с I = о. При движении в прошлое все расходящиеся волны превращаются в сходящиеся. Это значит, что при увеличении о — I волновая функция пробной частицы должна постепенно сжиматься в малый комочек, предельные размеры которого определяются конкуренцией между квазиоптической фокусировкой лучей и дифракционным расплыванием волнового пакета (см. рис. 15). Поэтому размеры такого волнового пакета значительно меньше длины свободного пробега. Соответственно, эволюцию волновой функции пробной частицы в прошлом можно описывать в терминах случайного блуждания компактного волнового пакета, испытывающего последовательные рассеяния на атомах газа. Сходным образом должны вести себя и волновые функции атомов газа. [c.193]

Лапласиан А описывает расплывание волновых пакетов в относительной системе координат, движущейся со скоростью и. Как мы знаем, такое расплывание компенсируется столкновениями, и поэтому оператор Ау можно опустить. После этого сумма XI Ау (351) превращается просто в оператор 0 /0 (мы учитываем, что суммирование по у сводится к умножению на /V и усреднению siп хх). [c.314]

Здесь — потенциал скорости, с — скорость звука в среде, 3 В ( характеризует дисперсию В имеет смысл длины расплывания волнового пакета). Знак дисперсии может быть как положительным (/3 > 0), так и отрицательным (3 < 0). Будем интересоваться волнами, профиль которых становится круче под действием нелинейности. Такое изменение профиля происходит лишь в направлении распространения, поэтому зависимость от остальных координат (rJ ) можно считать медленной, т. е. искать решение в виде [c.405]

Нетрудно видеть, что эти соображения напрямую приводят к формуле (25), за исключением фазового множителя тг/4, определение которого требует более тщательного анализа, сводящегося, но сути, к методу стационарной фазы. В случае, если задача многомерная, необходимо сделать поправку в амплитудном множителе, учитывающую расплывание волнового пакета по нескольким направлениям. [c.102]

Роль нелинейности. Время расплывания свободного волнового пакета. [c.169]

Условие полного растекания волнового пакета по фазе А (г) 2я приводит к выражению для времени расплывания, совпадающему [c.176]

Эта функция не зависит от переменных у — у2, — 22. Поэтому по этим переменным волновой пакет можно разрезать на куски с размерами, большими Л. Но тогда каждый из таких кусков можно рассматривать как классический объект, т.е. можно пренебречь их расплыванием за время т. Классические частицы имеют разбегающиеся траектории, так что приближенно можно считать, что [c.232]

В соответствии с уравнением (4.4) по мере распространения волны происходит диффузия ее амплитуды в поперечном направлении — пучок из-за дифракции расширяется. Этот процесс аналогичен дисперсионному расплыванию во времени волнового пакета, которое обсуждалось в 8 гл. П. [c.262]

Несостоятельность гипотезы волнового пакета. Г лавный аргумент против этой гипотезы заключается в следующем. Частица является стабильным образованием. В процессе своего движения частица как таковая не изменяется. Такими же свойствами должен обладать и волновой пакет, претендующий представлять частицу. Поэтому надо потребовать, чтобы с течением времени волновой пакет сохранял свою пространственную форму или по меньщей мере сохранял свою ширину. Однако именно этим необходимым свойством волновой пакет не обладает только в первом приближении, как это видно из (8.15), он сохраняет свою форму и ширину. Учет следующих членов в разложении (8.11) показывает, что волновой пакет с течением времени расплывается и не сохраняет ни свою форму, ни ширину. Причиной расплывания волнового пакета является дисперсия фазовых скоростей составляющих его волн, вследствие чего более быстрые волны уходят вперед, а более медленные отстают от волн со средней ско- [c.59]

При трехчастотных синхронных взаимодействиях волновых пакетов в квадратично-нелинейных средах, когда существенным становится расплывание волновых пакетов, могут существовать истинные солитоны [24]. При этом, как и в случае шредингеровских солитонов, дисперсионное расплывание импульсов компенсируется их нелинейным сжатием. Однако здесь захваченными оказываются импульсы на разных частотах — формируются многочастотные солитоны. Рождение, столкновение и распад параметрических многочастотных солитонов подробно изучены в [25] (см. также [106]). [c.129]

Понятие фазовой скорости, использовавшееся во всем предыдущем изложении, при наличии дисперсии применимо только к монохроматической волне, бесконечно протяженной в пространстве и во времени. Но такая волна непригодна для передачи сигнала, и сама постановка подобных вопросов требует отказа от монохроматической идеализации. В любом опыте (в том числе и в описанных выше опытах по измерению скорости света в веществе) мы всегда имеем более или менее сложный импульс или, как говорят, волновой пакет , ограниченный в пространстве и во времени. При определенных условиях деформация ( расплывание ) волнового пакета происходит медленно и можно говорить о его скорости как о скорости какой-либо точки пакета, например точки максимальной амплитуды. Стокс впервые обратил внимание на то, что скорость пакета будет отличаться от фазовой скорости любой из составляющих его моно-роматических волн. [c.130]

Величина 1Тнп вычисляется с учетом всех каналов надпорогового поглощения, а также пространственно-временного распределения сфокусированного лазерного излучения. Вероятность 1Тстолк рассчитывается с учетом различных (равновероятных) фаз поля лазерного излучения (в 50 % случаев электрон вообще не достигает атомного остова). При квантовом подходе следует учитывать также и расплывание волнового пакета, моделирующего фотоэлектрон, за половину периода лазерного излучения, в течение которого он удаляется и возвращается к атомному остову. [c.196]

Когерентные состояния занимают центральное по важности положение в квантовой механике и, в частности, в квантовой оптике. Это состояния гармонического осциллятора, которые максимально возможным образом близки к классическому движению частицы в квадратичном потенциале. Такие состояния были введены для механического осциллятора Э. Шрёдингером для того, чтобы избежать нежелательных свойств расплывания волновых пакетов. Осцилляторы квантованных электромагнитных полей были детально исследованы Р. Глаубером, Дж. Клаудером и Ю. Сударшаном. С учётом особой важности таких состояний для квантовой оптики, мы отведём обсуждению их свойств заметное место. В данном разделе будет дано только краткое введение, основанное на аналогии с механическим осциллятором. Полный формализм когерентных состояний будет рассмотрен в разделе 11.2. [c.133]

Этот же вывод был получен в конце 9.4 пз общих соображений о расплывании волнового пакета для устойчивой системы. Покажем, что неравенство (5.37) возникает и в случае квантовой Я-системы. Известно, что для классической Я-спстемы минимальным характерным временем является время Тс перемешивания в фазовом пространстве. Только на временах г Тс могут проявиться стохастические свойства системы. Совмещение этого условия с условием (5.32) снова приводит к неравенству (5.37) для существования квазиклассического приближепия па таких временах, на которых могли бы проявиться стохастические свойства системы. [c.177]

Предположим, что в начальном состоянии при г = О, волновые функции молекул вь лядят как волновые пакеты типа (204). Выберем некоторую пробную частицу и проследим за ее эволюцией. Допустим, что ширина пакета Л не очень мала, а именно ЯЯв. В этом случае квантовомеханическое расплывание волнового пакета за время свободного пробега т = Я/г т оказывается не больше Л. [c.214]

Далее в [68] идут обычные в таких случаях слова о расплывании волнового пакета, рассеянии волн, коллапсе вол1Ювой функции и подрб- [c.153]

Приведенный здесь метод рассмотрения неустойчивости солитонов принадлежит Дерику [2.12]. Так как в трехмерном пространстве при фиксированном Р гамильтониан не ограничен снизу, что следует из (2.42), то он может принимать любые значения, в том числе и отрицательные. Как было показано в [2.13], при Я > Я (где Не = иР — значение гамильтониана на трехмерном солитонном решении) преобладает тенденция к расплыванию волнового пакета, а при Н < Не возможно его самосжатие, сопрововдающееся бесконечным ростом амплитуды (при фиксированных Я и Р). Такое явление назьшают коллапсом. Оно имеет место только при положительной дисперсии. Это было продемонстрировано с помощью численного счета [2.13]. Результаты численного счета приведены на рис. 2.1, Видно, что центральная часть волнового пакета начинает отставать от периферии. При этом наблюдалось интенсивное излучение из каверны, что приводило к уменьшению Я и Р. В принципе такое излучение могло бы остановить коллапс. Однако, как оказалось, при излучении Я уменьшается быстрее, чем Р. Поэтому излучение усиливает коллапс. При распространении звукового пучка в средах с положительной дисперсией возможен еще один интерес- [c.36]

Оптические солвтоны. Чем определяется предельное нелинейное сжатие светового импульса и светового пучка При самосжатии плоских волновых пакетов, обусловленном продольными взаимодействиями, компрессия сдерживается дисперсионным расплыванием. При этом оказывается возможным устойчивый баланс [c.302]

Выбор достаточно узких волновых пакетов приводит к большому разбросу по импульсам, что, в свою очередь, влечёт за собой быстрое расплывание пакетов (квадратичный по времени закон расплывания ). Т. о., волновой пакет можно сопоставить с частицей только для очень коротких временных промежутков. Поиск нерасплываю-щихся волновых пакетов или частицеподобных решений приводит к рассмотрению нелинейных обобщений ур-ний динамики (см. Солитон). [c.637]

Следовательно, волновой пакет, первоначально локализованный в объеме Л , занимает при > г объем V (Rt/т) = [M/mR] . Этот результат согласуется с соотношением неопределенностей начальная неонределен-ность величины импульса Ар h/R приводит к расползанию размеров за время t до величины tAp/m ht/mR [82]. Для электрона, локализованного в области Л 10 см, величина т 10 с. Для классической частицы массой т — 1т, локализованной в области R 10 см, характерное время расплывания пакета т 300 млрд. лет. [c.294]

Описанному процессу классической механики соответствует в квантовой механике отсутствие нерасплывающихся волновых пакетов в тех случаях, когда система является нелинейной. Пусть, например, начальный волновой пакет локализован в области (Д/о, А о) соответственно по действию и по фазе. С течением времени расплывание пакета должно приводить к полной неопределенности по фазе А 2я. Пусть, например, система является нелинейным осциллятором с частотой ю(/). Тогда максимальное значение для времени расплывания по фазе волнового пакета дается величиной [c.170]

Связанные солитоны [31]. Как мы видели в гл. 17, при резонансном взаимодействии трех (или двух) пространственно однородных или стационарных волн в среде с квадратичной нелинейностью обмен энергией и, следовательно, изменение амплитуд волн осуществляется не при любых фазовых соотношениях между ними. При определенных разностях фаз возможно существование стационарного состояния (на рис. 17.5 ему соответствуют состояния равновесия), в котором амплитуды волн не меняются. Естественно предположить, что подобное состояние должно существовать и при взаимодействии модулированных волн — волновых пакетов, если изменение фаз при их нелинейном взаимодействии сбалансируют эффекты дисперсионного расплывания. На спектральном языке это, по существу, тот же самый нелинейный сдвиг частоты, компенсирующий линейный рассинхронизм, о котором мы говорили в связи с генерацией сателлитов и установлением солитонов огибающей при распространении волнового пакета в среде с кубичной нелинейностью. В простейшей постановке, когда взаимодействуют основная волна ш и ее вторая гармоника 2ш, а дисперсионные эффекты внутри узкого спектрального интервала существенны лишь на основной частоте, мы приходим к стандартному уравнению, описывающему солитоны и двумерные волноводы в среде с кубичной нелинейностью Р/<1 — аа - - [c.429]

Рассмотрим распространение плоских волновых пакетов с од-Еювременным учетом эффектов самовоздействия и дисперсионного расплывания. В среде с нелинейным показателем преломления [c.300]

Единственное существенное отличие заключается в том, что если пространственная самофокусировка пучков происходит в среде с О, то самосжатие волновых пакетов может наблюдаться в среде с ёг > О, т. е. при д%1д( > < О, или ди дш 0. Напротив, нелинейное расплывание импульсов (аналог дефокусировки пучков в среде с ег < 0) развивается в среде с ён,тт < [c.301]

При условии 7 нл Lp или W Т кр волновой пакет испытывает на длине z 7 нл,г самосжатие, если О, или нелиней-аое расплывание, когда < 0. При этом, очевидно, импульс гриобретает дополнительную фазовую модуляцию. [c.302]

В результате частотный спектр пакета сильно уширяется. При 2 > О частота увеличивается от фронта импульса к хвосту. В среде с нормальной дисперсией групповой скорости это приводит, очевидно, к более быстрому расплыванию пакета, чем в линейной среде. Если дисперсия аномальна, спектральные ВЧ-компоненты, группируюпщеся на хвосте импульса, догоняют НЧ-компоненты, располагающиеся иа фронте при этом частотно-модулиров. импульс сжимается — возникает самосжатие, самофокусировка во времени . Во многом аналогичные явления возникают и при распространении волновых пучков. Рис. 10 иллюстрирует картину [c.301]

Подобно тому, как для пространственно-временных пакетов, распространяющихся в одномерной слабонелинейной среде, дисперсия оказывала стабилизирующее действие и в результате могли устанавливаться стационарные волны модуляции, в случае развития неодномерных возмущении нелинейной фокусировке волны поперек направления распространения в принципе может воспрепятствовать дифракционное расплывание (описываемое в (20.8) слагаемым, пропорциональным А ьа). В результате совместного действия дифракции и нелинейности становится возможным существование стационарных сфокусированных волновых пучков [27]. Такие пучки, например цилиндрические волноводы, представляют собой чрезвычайный интерес с практической точки зрения — реализовав их, можно было бы передавать энергию, скажем, электромагнитного поля в нелинейной среде на большие расстояния, не опасаясь потерь, вызванных дифракцией. Однако такие волноводы неустойчивы. [c.426]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...