Дифференцирование (см. Производная

Дифференциал тензорный 28 Дифференцирование (см. Производная) [c.731]

Дифференцирование параметров многоскоростного континуума (см. Производная) [c.333]

Производная по времени, стоящая слева, понимается как индивидуальная (субстанциональная) производная (см. 76), т. е. производная, которая следует за всеми изменениями со временем — локальными и конвективными ( 76)—некоторой величины, в данном случае главного вектора количества движения среды в движущемся вместе со средой объеме т. Эгу производную можно вычислить по общим правилам дифференцирования интеграла [c.148]

Формулы дифференцирования. Погрешность. Если функция /(д ) задана в точках Xoестественным способом вычисления ее производной в точке х (считаем, что Хп) является дифференцирование интерполяционного многочлена. Интерполяционный многочлен Лагранжа (1.3) приближает функцию f x) с погрешностью Rn(x) [см. формулу (1.5)], поэтому замена производной f(x) производной полинома Лагранжа порождает погрешность. Имеем [c.10]

При достаточной гладкости поверхностного тензорного поля операцию ко-вариантного дифференцирования можно повторить несколько раз. Так возникают повторные ковариантные производные, причем их значения зависят от порядка, в котором они вычисляются. Например, для поверхностного векторного поля и = имеем (см. [72, 203]) [c.21]

Заметим, что уравнение для виртуальных перемещений можно получить и с помощью уравнения (7.9), для которого второе равенство в (13) не выполнено, однако при этом нужно операцию частного дифференцирования в (14) заменить операцией полного частного дифференцирования, предварительно вычислив частные производные от а по X п у (см. пример в заметке 7). [c.73]

Заметим теперь, что согласно (2.3) для I = 1, 2, 3 Ф 4 (у — х, со) — ограничены, а их первые производные (см. (П1, 3.6)) допускают особенность вида I X — у и Ф44 также имеет сингулярность типа х — у Ч Далее, на основании определения оператора (ду, п), 3 при , / == 1, 2, 3 содержит операцию однократного дифференцирования по геометрической координате, а 4 и 4 для 1= 1, 2, 3, 4, вовсе не содержат операторов диффе- [c.400]

При рассмотрении вероятностных характеристик производных ( ), V = 1, 2,. . ., гауссовского процесса t) наиболее важную роль играет свойство устойчивости нормальных распределений при линейных преобразованиях процесса. В результате дифференцирования (являющегося линейной операцией) гауссовского процесса t) всегда получается также гауссовский случайный процесс, и, следовательно, для полного описания производной t) t)ldt , т. е. для нахождения многомерных распределений процесса ( ), в данном случае достаточно по известным правилам (см. разд. 1.4) найти математические ожидания (к) = М ( ) И корреляционные функции ti, tj), [c.29]

Далее методом графического дифференцирования или в некоторых случаях уже известным методом планов скоростей и ускорений строят производные графики V = а = Ф(/> (см. например, рис. 32). Анализ последних двух графиков, особенно а = Ф( ), дает возможность судить о величине динамических нагрузок, возникающих в механизме при его работе. При" отклонении их от заданных значений легко установить те изменения, которые необходимо внести в закон образования профиля кулачка, т. е. в графики 5 = fl(t) или ч = 2(0- [c.53]

Наиболее часто применяемые производные элементарных функций, а также общие правила дифференцирования достаточно хорошо изложены во многих справочниках, учебниках и в сборниках формул, так что в данном справочнике можно только ограничиться перечислением литературы (см. [7], [121, [17], [18], [19], [20], [24], [26], [28], [29], [34], [35]). [c.53]

Формулы для производных находятся также при дифференцировании аппроксимирующей функции F t), полученной по методу наименьших квадратов (см. 1.07). Такие формулы учитывают сглаживание узловых значений функции f t), так что они меньше зависят от возможных ошибок этих узловых значений. Приведем следующие формулы [c.657]

Следовательно, по отношению к ковариантному дифференцированию компоненты фундаментального тензора ведут себя как константы. Это свойство в сочетании с операцией поднимания индексов (см. 1Л6) дает простой способ вычисления ковариантных производных от смешанных и контравариантных компонент любого тензора, ес.гш известны все ковариантные производные от его ковариантных компонент, [c.26]

Здесь производная по времени лагранжева, т. е. дифференцирование ведется вдоль траектории частицы. Так как энтропия идеального газа пропорциональна In Е (см. формулу (1.28)), то уравнение [c.83]

Важно учесть тот факт, что дополнительная энергия деформации элемента О строится по полю напряжений а, задаваемому с помощью производных соответствующего порядка от поля функции напряжений Ф (см. (6.74) и (4.4)). Например, порядок производных для случая плоского напряженного состояния равен двум. Следовательно, и определяется с точностью до членов, которые исчезают в результате дифференцирования. Ситуация совпадает с той, которая возникает для конечно-элементного представления с использованием перемещений, когда нельзя выделить движение тела как твердого целого из-за выполняемых для определения поля деформации е операций дифференцирования перемещений А. [c.221]

Во многих случаях полного решения второй задачи не требуется. Достаточным оказывается установление некоторых отдельных свойств движения точки. В таких случаях решение задачи по приведенной выше схеме нецелесообразно. Вместо полного решения здесь может оказаться достаточным знание некоторых первых интегралов движения. В первые интегралы входят еще первые производные по времени от координат, т. е. решение дифференциальных уравнений выполнено не до конца (см. примеры 6.1—6.6). Рассмотрим смысл первых интегралов. Общее решение, выраженное формулами (6.6), и три уравнения (6.9), получающиеся из него в результате дифференцирования по времени, можно рассматривать как систему уравнений относительно шести неизвестных констант Сь Сг,. .., Сб. Предположим, что ее решили. Решения имеют вид [c.86]

Как показано в п. 4.2.1, осцилляционное изменение температуры А Г по существу представляет собой производную по температуре интеграла от намагниченности М по полю Н [см. (4.3)]. Это означает, что при слабом МВ гармоники в случае единственной частоты относительно столь же интенсивны в осцилляциях как А Г, так и М (поскольку ослабление гармоник при интегрировании по Н компенсируется их усилением при дифференцировании по 7). Однако при сильном МВ проявляются и новые черты, такие, как обострение формы линии осцилляций и прогрессирующее ослабление ос- [c.376]

Для проверки допустимости определяющих соотношений (19.4) путем их подстановки в (19.5) требуется вычислять производные по времени от определяющих функционалов. Это приводит к необходимости использовать дифференцирование по Фреше, описанное в п. 10.1 [см. (10.19)]. В набранном петитом тексте мы воспроизведем в новой форме и разовьем далее нужный математический аппарат. [c.384]

Чаще всего используется внешняя проба производных, основанная на численном дифференцировании. При этом, как следует из 19, алгоритм вычисления производных не зависит от физического смысла параметров оптимизации х и оптимизируемых функций Этот алгоритм включает в себя последовательное изменение параметров оптимизации на небольшие величины б. у и выполнение проб в полученных точках (см. схему 3.9). В данном случае под х нужно понимать параметры оптимизации, а под — оптимизируемые функции. Такой процесс вычисления элементов матрицы А не связан с конкретным содержанием пробы и оптимизационной модели. Он пригоден для оптимизации любых объектов, т. е. внешняя проба производных относится к аппарату оптимизации, а не к оптимизационной модели. Как следует из 19, для получения матрицы Якоби внешней пробой производных требуется выполнить п или 2п проб, т. е. внешняя проба производных отличается значительной трудоемкостью. [c.206]

Производная (iyv/d(() подсчитывается или численным дифференцированием на ЭВМ, или графическим дифференцированием (см. 3.4). Другой значительно более точный (но и более трудоемкий) способ определения производной iyv/(li( можно найти в литературе. (См. Минут С. Б. Об определении производной приведенного момента инерции массы звеньев механизма. — Науч. тр. МВТУ им. Н. Э, Баумана, 1970 Зиновьев В. А.. Бессонов А. fl. Основы динамики машинных агрегатов. М., 19Н4). [c.155]

В качестве примера определения скоростей движения звеньев приведем плоский кривошипно-коромысловый механизм (см. рис. 3.2), вектор-функции положения звеньев которого представлены равенствами (3.38) и (3.39), имея в виду, что fio, bg fio. Со и fio Со являются функциями параметра времени, поскольку они зависят от вектор-функцип а = a (<р) = = a ((Oi), где (О — угловая скорость входного звена О А, которую принимаем постоянной. Для наглядности операций дифференцирования выделим постоянные величины, не зависящие от параметра времени i и входящие в компоненты равенств (3.38) и (3.39), после чего определим производные по параметру времени [c.57]

Пусть имеется двумерное плоское движение жидкостей Максвелла (У2 = 0) и Олдройда (7,)<2 0) с реологическим уравнением состояния (1.6), в котором применяется оператор субстанциональной производной по времени (1.7), /и = О, / = О. Несовершенство этой модели в том, что для нее не выпо н1яется принцип материальной объективности (подробное обсуждение этого вопроса имеется в обзоре [88]). Вместе с тем вариант т О является предельным для моделей Максвелла и Олдройда и содержит все основные гиперболические черты общей модели, когда т О. Подробный сравнительный анализ этих операторов дифференцирования показал [89]. что существует диапазон гидродинамических параметров, где простая конвективная производная дает результаты, которые качественно и количественно близки к производной Олдройда. Этот вывод подтверждается и нашими расчетами, см. п. 1.5.2, рис. 1.21. Отметим также, что оператор конвективной производной успешно применяется при описании релаксационных свойств ту рбулентных сдвиговых течений в пограничном слое [15], [c.40]

Часто возникает необходимость в минимизации функций, обладающих достаточным числом производных, которые тем не менее недоступны для прямого вычисления. В этих случаях проводят модификацию одного из алгоритмов спуска, заменяя входящие в него производные их аппроксимациями в соответствии с формулами численного дифференцирования. В связи с высокой чувствительностью формул численного дифференцирования к поп ешностям в вычислении функции (см. [c.143]

Дифференцирование вариационных функционалов. Нормирование пространства состояний позволяет при исследовании вариационных формулировок применять понятия производной и дифференциала. Дифференциал функционала энергии в нормированном пространстве (дифференциал Фреше) в вариационном исчислении называют вариацией. Производная функционала энергии (производное отображение) является дифференциальным оператором соответствующей краевой задачи. Этот оператор получают, преобразуя вариацию функционала методами вариационного исчисления (см гл. I). Производную функционала иногда называют его градиентом. Точкой стаинонарности функционала называется такое значение его аргумента, при котором его градиент равен нулю, т. е. соответствующие дифференциальные операторы обращаются в нуль. [c.207]

Для дальнейшего исследования поставленных для системы (1.4) задач с началь ными данными (1.5) на линии г = О будем предполагать, что функции Ф и Г имеют непрерывные четвертые производные, содержащие дифференцирование дважды по г и (f (независимо от порядка дифференцирования). Это предположение естественно. Такое свойство функции Ф и Г осуществляется в ряде конкретных течений, например (см. также [1]), в автомодельном течении, возникающем за конической нормальной детонационной волной, вызванной движением с постоянной скоростью точечного пни ципрующего источника. В этом течении, исследованном впервые в [5], автомодельная двойная волна через слабый разрыв примыкает к области движущегося с постоянной скоростью однородного газа. [c.115]

Непосредственный вывод этих соотношений (см., например, [7]) ничем принципиально не отличается от выкладок 2, проведенных относительно и. . Отметим, что здесь рассматривается материальная производная по времени, так что компоненты тензора малых деформаций могут быть взяты и в лагранжевом описании, когда дифференцирование по / и по координатам взаимно переставимо. [c.187]

При этом удельные объемы находились по методике, указанной выше, а производная определялась дифференцированием уравнения (5). Вычисленные таким образом значения г л были незначительно (не более чем наО,15/о, кроме температурной области ниже —90° С) изменены и представлены в таблицах (см. стр. 43). Эти новые величины г соответствуют плавной и правильной по форме кривой. Автору известны только два экспериментальных значения теплоты парообразования фреона-22, которые приведены в работе [45] г = 240,01 кдж1кг при t = —51,16° С и г = = 233,97 кдж1кг при t = —40,66° С. В работе [45] указывается, что первое значение г было найдено с погрешностью 0,03%, второе — 0,26%. Представленные в таблицах настоящей работы значения г совпадают в пределах указанной погрешности с опытными. [c.35]

Перейдем теперь к исследованию распространения волн в оптически двуосных кристаллах. В общем случае вектор D может зависеть не только от вектора Е, но и от его пространственных производных. Это явление называется пространственной дисперсией (см. 96). В слабых полях такая зависимость, конечно, может считаться линейной. Для плоских монохроматических волн дифференцирование Е по координатам х, у, г сводится к умножению его проекций на —ikj , —iky, —ikg. В этом случае зависимость от пространственных производных можно учесть прежней формулой (75.2), если диэлектрический тензор e jf считать комплексным. Формально так можно поступать и в случае неплоских волн. Однако волны должны предполагаться монохроматическими. [c.491]

Вообще, компоненты ковариантной производной тензора А я-й валентности являются ковиюнентами тензора (л + 1)-Й валентности vA (см.следующий пункт). Очевидными являются правила дифференцирования суммы и разных типов произведений тензоров. [c.46]

Мы приходим к заключению, что две оценки совпадают, за исключением дополнительной полунормы и [а, р, к (появляющейся при дифференцировании функции, образованной с помощью другой функции, отличающейся от аффинной см. конец доказательства теоремы 4.3.2) Кроме того, последние оценки были установлены при дополни 1ельном предположении достаточной малости диаметра h , что делалось в основном для юго, чтобы обеспечить oбpaти ю ть производных DF x), х К (см. доказательство теоремы 4.3.3). [c.239]

В кинетических уравнениях (2.10) a и t являются независимтл-ми переменными, поэтому операции < . . ) усреднения по статистике Q и дифференцирования по а и i перестановочны (если, конечно, существуют соответствующие производные (см. [28, 29]), что и предполагаем ). Поэтому для получаем [c.20]

Гари [1964] впервые применил схему Лакса — Вендроффа к уравнениям в неконсервативной форме и нашел, что волны разрежения рассчитываются при этом более точно. Моретти рассмотрел двумерный вариант схемы в неконсервативных переменных (см. разд. 6.2). В этом случае не было необходимости вычислять элементы матрицы А, а вторые производные находились перекрестным дифференцированием (так же, как для линейных модельных уравнений). Моретти сочетал методику выделения скачков с этой схемой продвижения решения по времени (см. разд. 6.2). Уоткинс [1970] показал, что методику выделения скачков можно также легко сочетать со схемой Лакса— Вендроффа в неконсервативных переменных, по крайней [c.371]

Если принято (8) решение об обработке входной информации о дискретно заданной поверхности Д в неаппроксимированном виде, методами дифференцирования дискретно заданных функций (см. гл. 1) определяются (14) необходимые частные производные поверхности Д по всем ее параметрам, а полученные значения частных производных подаются в блок (5). [c.513]

При дифференцировании была использована лемма о производной ортогонального оператора (см. 2.3). Спроектируем ускорение точки М на оси подвижной системы координат Сххх и получим ,, [c.36]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...